階梯波多電平變換器特定諧波消除開關角度的求解方法

2023-07-12 10:24:51 2

階梯波多電平變換器特定諧波消除開關角度的求解方法
【專利摘要】本發明涉及一種關於階梯波多電平變換器特定諧波消除開關角度的求解方法，使用了初等對稱多項式對方程組進行降次以及groebner基算法對方程組進行三角化，將多元高次多項式方程組的求解轉化為兩個一元高次多項式方程以及一組單變元一次方程的求解，並結合約束條件可以得出消諧方程組的所有解，通過評價每一組解的總諧波失真，進而可以得出最優開關角度。與目前常用的數值算法和隨機搜索算法相比，無需給定初值，且能夠得出消諧方程組的所有解；與目前已有的其他代數算法相比，計算量大幅降低，可以處理更多的開關角度，具有更高的實用價值。
【專利說明】階梯波多電平變換器特定諧波消除開關角度的求解方法

【技術領域】
[0001] 本發明涉及電力電子系統及其控制方法領域，特別是關於逆變器以及多電平變 換器的控制與諧波消除方法，具體地說，是一種關於特定諧波消除（Selective Harmonic Eliminated, SHE)開關角度的求解方法。

【背景技術】
[0002] 特定諧波消除（以下簡稱SHE)調製不同於傳統的波形調製PWM技術，它是一種通 過求解方程組來求得開關角度的方法。與正弦脈寬調製技術相比，SHE調製具有開關頻率 低、開關損耗小和波形質量高等特點。由於消除了低次諧波，剩餘諧波多集中於高頻，可以 大大降低對濾波器的要求，此外還可以獲得較高的電壓增益，節約能源。如圖1所示為階梯 波11電平SHE調製的輸出波形，其中％ 、是四分之一周期中的開關角度，V d。為 直流電平的電壓大小。根據函數的奇偶對稱性，輸出波形的傅立葉級數中只含有奇數次正 弦分量，如(式1)所示。
[0003] U = 2n=1bnsin(nciit) (式 1) 其中n = 2k-l，k為自然數，bn為各奇次諧波的幅值，計算公式如下： bn =^^^€08^) (式 2) SHE調製的基本思想是通過控制四分之一周期波形中的開關角度α ρ α 2··· α 5，使得 輸出電壓的某些高次諧波的幅值為零，即如(式2)所示的諧波幅值bn-0。那麼可以得到如 下關於開關角度的非線性方程組： fEf=1 cosot^m iEf=a cos(na-i) = 0, η = 3,5,7 · · · 八 其中〇〈 αι〈 〈…〈a5〈 3i/2,調製比111=0.25311^/%。，表示基波幅值h與直 流電壓Vd。的比值關係，方程的個數等於開關點數5,能夠消除的諧波個數為4,對於三相變 換器，零序諧波將會在線電壓中相互抵消，因此在(式3)中無需列出三次及其整數倍次諧波 的方程。（式3)很容易推廣至開關點數為N的情形，以下稱之為SHE方程組。
[0004] 關於SHE方程組的求解，目前多採用數值方法(如牛頓迭代法、同倫算法等)或隨機 搜索算法(如遺傳算法、群體智能算法等）進行求解，由於數值算法或隨機搜索算法的局部 收斂性，求解過程嚴重依賴於初值的選擇，合適的初值可以使收斂的速度大大加快，否則會 收斂很慢甚至發散，而關於初值的選取目前尚沒有系統有效的方法。而且SHE方程組很有 可能會存在多個局部極值點，通過數值算法或隨機搜索算法求得的局部最優解不能保證就 是全局最優的，從而變換器的性能也不能保證是最優的。近年來，有基於代數理論(例如結 式消元法、吳方法等）的求解方法提出，此類方法無需給定初值且能給出SHE方程組的所有 解，但是目前能夠有效處理的開關點數最高為5,對於開關點數更多的情形由於計算量太大 而無法給出最終結果。因此，研究能夠處理更多開關角度、無需給定初值且能得出所有開關 角度組合的求解方法對於進一步提高變換器的諧波消除效果、提高電網的電能質量具有重 要的實際應用價值。


【發明內容】

[0005] 本發明要解決目前已有的關於階梯波多電平變換器SHE調製開關角度的求解方 法所存在的以下三個問題：1.初值的選取。目前，初值的選取仍沒有系統、有效的方法，研 究者普遍採用試湊的手段，能夠得到一些經驗公式或在某些特定情況下有效的方法，但是 指導性理論的缺乏不能保證已有的這些方法能夠適應所有的情況，並限制了該技術的實用 化。2.全局最優解的求取。由於數值算法和隨機搜索算法本身的局部收斂性，不僅求解過 程嚴重依賴於初值的選擇，而且對於一個給定的初值也只能是收斂到一個局部最優解，而 實際上SHE方程組往往存在多組解，如何找出所有的局部最優解進而確定全局最優解對特 定消諧逆變器的設計具有重要的價值。3.代數算法計算量太大。目前能夠處理的開關點 數最多為5,對於開關點數更多的情況由於計算量太大而無法給出最終結果。
[0006] 為達成所述目的，本發明階梯波多電平變換器特定諧波消除開關角度的求解方法 包括如下步驟。
[0007] 步驟si :利用三角函數倍角公式及變量代換Xi = coscii (i = 1,2.,…，Ν)將 SHE方程組轉化為多項式方程組[H..., fN〗，不難發現[匕,^,..., fN]中的每一個多項式 關於變元Xi都是對稱的。
[0008] 步驟S2 :根據任一對稱多項式都可以唯一地表示為關於初等對稱多項式 6力=1,2,?,叩的多項式這一結論，將的為,?,％]轉化為關於6沿=1,2,.",：?) 的多項式方程組thphh..., hN]。
[0009] 步驟S3 :令調製比m為一個具體的數值，然後將ei = m代入fh2i,Ii3,...,iiN] ，並計算[h 2,h3，…，hN]在純字典序（e2,e3,)下的約化groebner基，為
[gi?g2,…,Sn-i]，其中Si為關於％的一兀高次多項式，Si (i = 2,3, .,,,Ν - 1)為關於 的二兀多項式，且關於6丨是一次的。
[0010] 步驟S4 :求解一元高次多項式方程gl = 0 ,並結合約束條件〇 < eN < 1，得 到b個滿足約束條件的實解〇Νυ = 1,2，...?3。
[0011] 步驟S5 :將步驟S4中求得的每一個代入fg2, 代入之後的
[g2,…,gn] = 0 為線性方程組，求出(e2,e3i m,eN)i,i = 1,2,…b。
[0012] 步驟S6 :對每一組(epej，…，eN)i#i = l,2,...b，構造如下的一元N次多項式方 程： xN - e^-1 + e2xN-2 - e3xN_3 + …+ (-+ (-1)? =0 根據初等對稱多項式的定義，可以將的求解轉化為上述的一元N次 多項式方程的求解。
[0013] 步驟S7:求解步驟S6中得到的b個一元高次多項式方程，得到b組解 (X!·X2，…，Xn)I，i --1…b 〇
[0014] 步驟S8 :依次檢驗（xlsx2，…，xN)i,i = 1,2,…b是否滿足以下兩個條件：（1) 為：N個互異實解；（2)所有實解都位於區間〖0,1]之間。捨棄不滿足 以上兩個條件的解，最終得到一共存在k組解l,2,...k。
[0015] 步驟S9 :對步驟S8中得到的k組解（χ1;χ2, ...,χΝ)?,i = 1,2,…k中的每一 組，根據cq = cos_1Xi (i = 1,2, ...,Ν)計算出相應的開關角度,並將開關角度按照從 小到大的順序排列得到…,aN)i,i = 1,2,…k。
[0016] 步驟S10:評價k組開關角度1,2,…k的消諧效果，給出 消諧效果最優的那一組開關角度為全局最優解。
[0017] 本發明提出的技術方案通過利用對稱多項式和groebner基方法對SHE方程組進 行簡化和三角化，將多元高次方程組的求解等價轉化為求解兩個一元高次方程以及線性方 程組。不同於常用的數值算法和隨機搜索算法，該方法無需給定初值，且能得到SHE方程組 的所有解。相對於目前已有的代數算法，能夠處理的開關角度數量得到了大幅提升。具有 更強的實用性。對SHE方程組的所有解進行評價進而可以得到最優開關角度，從而可以設 計出性能最優的變換器。

【專利附圖】

【附圖說明】
[0018] 圖1為階梯波11電平SHE調製的輸出波形。
[0019] 圖2為本發明階梯波多電平變換器特定諧波消除開關角度的求解方法的流程圖。
[0020] 圖3為階梯波11電平變換器輸出的相電壓波形。
[0021] 圖4為階梯波11電平變換器輸出的相電壓波形的傅立葉分析。
[0022] 圖5為階梯波11電平變換器輸出的線電壓波形。
[0023] 圖6為階梯波11電平變換器輸出的線電壓波形的傅立葉分析。

【具體實施方式】
[0024] 下面就本發明所採用的技術方案給出一些具體的實施例，應當指出的是，所描述 的實施例僅旨在便於對本發明的理解，而不對其起任何限定作用。
[0025] 具體實施例一：結合開關點數N=3的階梯波多電平變換器對求解方法中的各個步 驟進行詳細說明。
[0026] 對於N=3的三相階梯波多電平變換器，其SHE方程組為： (cosc% + cos?2 + cosg3 = m cos(5a1) + cos(5a2) + cos(5a3) =0 (式;4) cos( 7 αχ) + cos{7 a2) + cos(7 a3) = 0 其中0〈 a, a2〈 a3〈 ji/2,調製比m取值範圍一般為0〈m〈3,在實際中m的 值一般事先給定，這裡不妨以m = 2為例進行說明。
[0027] 步驟S1 :根據餘弦函數多倍角公式有： cos(5a) = 16ο〇83α - 20cos3a + 5cosa (式 5) cos(7a) = 64cos7a - 112cos5oe + 56cos3a - +7cosa (式 6) 將(式5)和(式6)代入(式4),並令Xi =C0Sai，消諧方程組轉化為如下的多項式方程 組： ?χ, + + ? = m |ful6Sf-20sf + 5X| = 0 (式 7)。
[Ef=i 64Xir - 112xf + 56sf - 7xt = 0
[0028] 步驟S2 :N=3時，初等對稱多項式的定義為： !e· = + x, + s3 e; = x-x- + x：x3 + x2x- (式 8) e3 = ^-- 根據對稱多項式理論，任一對稱多項式都可以唯一地表示為關於初等對稱多項式 的多項式。也就是說(式7)可以轉化為關於ei,e2,e3的多項式方程組。轉化的方 法有逐步消首項法和待定係數法等，本實施例中調用了符號計算軟體mathematica的 SymmetricReduction 命令，得到如下與(式7)等價的方程組： r e, = IB 16θ^ - 80ef e7 - 20ef + 80eres + 80β^β~ + 60θ^θ^> - S0e7e3 +5e； - 60?2 = 0 -7e, + 56ef - 112e! + 64-el ~ 1680,8, + 560e?e, - 448e?e,(式 9)。 -5600?^ 02 + 896θ?02 - 4480^^2 ~?~ 168β^ ：- 560β^θ^ + 4480?^ w+56Oe?0g 一-13446^02^3 44802 0^ 44881et = 0
[0029] 步驟S3 :令m = 2,由（式9)第一個方程得ei = 2,代入(式9)的後兩個方程，得 f 160es - S0e2e3 - 520β2 + 260e3 + 362 = 0 至lj !-896e!+448e!es+6048ei-4S16e2es + 896e· (式 10) (-1019*2e2 + 5096es + 5 042* = 0 對(式10)等式左邊的兩個多項式，計算其在純字典序下的約化groebner基，關於 groebner基的計算方法為現有技術，具體技術細節可以參考有關文獻(例如：《計算機代數 基礎：代數與符號計算的基本原理》，張樹功主編，科學出版社，2005)，這裡不做詳細介紹。 在具體實施中可以調用符號計算軟體Maple中Groebner工具箱中的Basis 函數來計算， 具體的調用方式為： with (Groebner); Gj : = Basis ([h2, h3], plex (e2, e3)); 其中h2, h3為(式10)中等式左邊的多項式，得到如下等價的多項式方程組： f2S3S0S00el - 14918400e| + 3642380es - 432461 = 0 〇 l-405440e| + 72S2S2e2 - 608160e3 - 740015 = 0 試、 根據groebner基理論，（式11)和(式10)具有相同的解。
[0030] 步驟S4 :求解(式11)中的第一個方程。在Maple環境下可以調用fsolveO函數 求解，得出方程只有1個實解，且滿足0 < e:3 < 1,為： e3 = 0.2569763493。
[0031] 步驟S5 :將e3代入（式11)的第二個方程，求得e2如下： e2 = 1.272759971。
[0032] 步驟 S6:根據 e1 = 2, e2 = 1.2+72759971, e3 = 0.2569763493 構造如 下方程： X3 - 2x2 + 1.272759971X - 0.2569763493 = 0 (式 12)。
[0033] 步驟S7 :求解(式12)，得到： Xl = 0.4298378971, x2 = 0.6490389154, x3 = 0.92Π231875。
[0034] 步驟S8 :檢驗步驟S7中得到的三個解：Χι,χ2,χ3為三個互異實解，且都位於區間 [0,1]之間，因此為方程組(式7)的解。
[0035] 步驟S9:根據cos-將步驟S8中求得的關於（式7)的解轉化為開關 角度，並且按照從小到大的順序排列，最終得到開關角度為： cii = 22.909 , α2= 49.531, α3 = 64.543。
[0036] 步驟S10 :由於當m=2時，只存在步驟9中求得的一組開關角度，所以自然這組開 關角度是全局最優的。如果存在多組解，可以以如下的總諧波失真指標來評價每一組解的 諧波消除效果： THD = JV"1+V"a+2V|
[0037] 其中￥1，￥11，￥13，￥ 17，19分別為基波幅值和第11、13、17、19次等非零序諧波的幅值， 其計算公式如(式2)所示。最終選擇THD最小的那一組解作為最優解。在本實施例中選擇 了第11、13、17、19次諧波的總和來評價開關角度的消諧效果，也可以選擇更多的高次諧波 來計算。
[0038] 為了更好地說明本發明所採用的技術方案，以N=5的情況給出第二個實施例，由 於N=5時中間過程的表達式比較龐大，這裡只給出計算結果，省略具體的表達式。每一步驟 所使用的方法與具體實施例一相同。
[0039] 具體實施例二：當N=5時，三相階梯波變換器需要消去的諧波次數為5, 7, 11，13次 諧波，因此SHE方程組除了基波方程外，還需令5, 7, 11，13次諧波的幅值為零，一共5個方 程。
[0040] 步驟S1 :根據餘弦函數多倍角公式和變量代換χ￡ = COSCCj將原始的SHE方程組 轉化為多項式方程組 Κχ),?·2(χ),f^xXf = 0,其中X = 。
[0041] 步驟S2 :將[fjxlf^x),…,f5(x)] = 0轉化為關於初等對稱多項式的多項式 方程組^(eXf^e),…,f3(e)] = 0,其中為關於X的初等對稱多 項式。
[0042] 步驟S3 :令調製比m = 3. 5,根據匕（e) = 0得e: = 3.5,代入
[f2 (e), ,:f5(e)],並計算[f2 (e),,f5 (e)]在純字典序[e2i e3, e4,e5]下的 groebner 基，方程組轉化為匕1(?),§2(01,.",84(?)] = 〇，其中第一個方程為65的一元高次多 項式方程，gi(e)(i=2,3,4)除了變元e3夕卜，只含有一個變元et,且關於 ei是一次的。
[0043] 步驟S4 :求解gl (e〕= 0,並捨棄不滿足0 < e5 < 1的實解，最終得一共有3個 滿足條件的實解，分別為： e51 = 0.1111169935,e52 = 0.13514693·,e33 = 0.+7508553827。
[0044]步驟 S5 :將 e51 代入 g2 (e) = 0, g3 (e) = 0,g4(e) = 0,求得 e2, e3,e4 為： e4 = 0.9619692231,e3 = 3.1005+71742,? = 4.749810320 ;將e32 和也代 Ag2(e) = 0,g3(e〕= 0,g4(e) = 0求得相應的e2,e3,e4，最終得到關於61,6 2, ...,es 的三組解，如下： 2=3,5 f6|? = 3.5 ' = 3·5 02! = 4.749810320 e 2I = 4J98057031 e23 = 5.122657460 ^ = 3.100571742 , e,^ = 3.216577089 ,{Bn = 4,250747767 e41 = 0.9619692231 = L054042029 e43 = 2.317943995 le51 = 0.1111169935 le 5Z = 0.1351469399 le53 = 0.7508553827 步驟S6 :根據步驟S5得到的三組解[βι?/62?,β3ρ64?,6 5?；Μ = 1,2,3分別構造如下 的一兀五次多項式方程：
[0045] 步驟S7:分別求解步驟S6中得到的三個一元五次多項式方程，得到關於 %,又2,...,又5的三組解13￡:〇,乂2卜1辦叉4|,又 3；|],1 = 1,2,3。
[0046] 步驟S8 :檢驗步驟S7中得到的三組解[χΜ,χ2?,χ3|,χ4?,χ 5?],:? = 1,2,3是否滿 足以下兩個條件：（1)_11,1%,又幻,又4:1,1 51]為5個互異實根；（2)_1^21,}￡3|,又 41,：%:|]是 否都位於區間[0,1]之間。檢驗的結果為第三組解不滿足條件，前兩組解滿足條件，如下 ： fxn = 0.9896793116 /x12 = 0.9576821224 x21 = 0.87751 096 46 x22 = 0.89387 30438 ^ = 0.7512060206,1x33 =0.6946466739 。 x41 = 0.59566581% x42 = 0.4895956448 lx51 = 0.285937883? l%2 = 0.4642025151
[0047] 步驟S9:根據〇i 將步驟S8中求得的兩組解轉化為開關角度，並 且按照從小到大的順序排列，最終得到兩組開關角度為： = 8.2387 fat2 = 16.7278 α2ι =- 28.6566 ot22 = 26.6361 ^ %i = 41.3049, ^ a23 = 46.0 009 。 α41 = 53,4398 ci24 = 60.6861 λ51 = 73.3851 l?25 = 62.3413
[0048] 步驟S10 :對步驟S9中得到的兩組解，分別按照以下公式計算THD : V；, + VI + V4 + Vi + V4 + % T_= ........^---^^^.-Χ100% 。 ^ νΓ
[0049] 求得兩組解的THD分別為：THDi = 6.16%, THD2 = 6.12%,所以第二組解 為最優解。
[0050] 以本實施例中得到的兩組開關角度控制三相11電平級聯式階梯波多電平變換器 得到的輸出電壓波形及電壓波形的傅立葉分析見圖3、圖4、圖5和圖6所示，直流電源電壓 為100伏特，輸出電壓頻率為50赫茲。圖3為輸出的相電壓波形，橫坐標為時間(單位：秒)， 縱坐標表示輸出電壓(單位：伏特)，VP1為第一組開關角度生成的相電壓，VP2為第二組開 關角度生成的相電壓；圖4中VPl_fft和VP2_fft分別為為相電壓VP1和VP2的傅立葉分 析，橫坐標為頻率(單位：赫茲)，縱坐標為電壓(單位：伏特)，表示基波和各次諧波的幅值大 小。可以看到第5, 7, 11，13次諧波都已經被消去，但是第3, 9次等零序諧波分量依然存在。 圖5為輸出的線電壓波形，VL1和VL2分別為第一組和第二組開關角度生成的線電壓，圖6 中VLl_fft和VL2_fft分別是線電壓VL1和VL2的傅立葉分析，可以看出，第5，7，9，11， 13，15次諧波都已經被消去，最低次諧波為第17次。
[0051 ] 需要指出的是，可以將階梯波多電平SHE調製推廣至一般的多電平SHE調製，此時 輸出的PWM波形中，基波和各次諧波分量幅值的通用計算公式為 士cosCnoq) (式 13) ? -- ? Α 1 其中Ν為開關點數，餘弦項前面的"土"號依賴於該開關時刻PWM波形的躍遷狀態，如果 為上升沿，則為"+"號，如為下降沿，則為號。根據需要消去的諧波，同樣可以得出類似 於(式3)的SHE方程組，區別在於餘弦項前面不再全部為" + "號，而是有正有負。此種情況 下，由於當η為奇數時，有：一= cos(n(n -。所以對前面為號的餘弦 項，做變量代換Xi = cos (π - aD ,對前面為"+"號的餘弦項，做變量代換& = coscq， SHE方程組就可以轉化為對稱形式，本發明提出的求解方法依然適用。
[0052] 以上所述，僅為本發明中的【具體實施方式】，但本發明的保護範圍並不局限於此，任 何熟悉該技術的人在本發明所揭露的技術範圍內，可理解想到的變換或替換，都應涵蓋在 本發明的包含範圍之內，因此，本發明的保護範圍應該以權利要求書的保護範圍為準。
【權利要求】
1. 一種關於階梯波多電平變換器特定諧波消除開關角度的求解方法，包括以下步驟： 利用三角函數倍角公式及變量代換將特定消諧方程組轉化為多項式方程組 將轉化為關於初等對稱多項式= 的多項式方程組 令調製比m為具體的數值，將e1 = m 代入[h+2,h3, ，並計 算[h2,h3,.."hN]在純字典序（e2,e 3/…#eN)下的約化groebner基，得到 [§1，§2,…，SN-1]; 求解一元高次多項式方程gi = 0 ,並結合約束條件0 < eN < 1，得到b個滿足 約束條件的實解,i = l,2,...b ; 將每一個（eN)i 代入[g2,…,gN_j_]，求出(e2,e3,…,e N)i, i = 1,2,…b ; 對每一組…+,eN)i, i = 1,2,…b，構造一兀N次多項式方程： xM - ejX1"^1 + e2xN"2 - e3xN?3 +- + + (-1)? =0 求解上一步得到的b 個一元N次多項式方程，得到b 組解 j ^^2, , ) " ι 1 f j ?* ， 檢驗〇q,x2，…,χΝ)ρ? = 1,2,…b是否滿足以下兩個條件：（1) Ο^,Χι ...,xNX 為N個互異實解；（2)所有實解都位於區間[0,1]之間。
2.捨棄不滿足以上兩個條件的解，最終得到一共存在k組解 根據反餘弦公式計算出CKuXh ...,XNU = l,2,...k所對應的開關角度，並將開關 角度按照從小到大的順序排列得到（《^?2,….,aN)i,i= 1,?…k ; 評價所有開關角度的諧波消除效果，給出開關角度 的最優解。
【文檔編號】H02M7/483GK104092394SQ201410225007
【公開日】2014年10月8日 申請日期:2014年5月27日 優先權日:2014年5月27日
【發明者】楊克虎 申請人:中國礦業大學(北京)