等腰三角形底邊上任意一點到兩腰（等腰三角形底邊上任意一點）

2023-10-07 21:40:37 4

我們在研究「等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離和為定值」時，在△ABC中，AB=AC，點P為底邊BC上的任意一點，PD⊥AB於點D，PE⊥AC於點E，求證：PD PF是定值，在這個問題中，我們是如何找到這一定值的呢？

我們可以先將底邊BC上的任意一點P移動到特殊的位置，將點P移動到底邊的端點B處，這樣，點P、D都與點B重合，此時，PD=0，PE=BE，這樣PD PE=BE。

這也是特殊值法中的一種特殊位置法，也可以說是極限法。在特殊位置時，我們可以得到結論，該點到兩腰的距離之和等於腰上的高。那麼，對於底邊上的任意一點適用嗎？我們可以過點B作AC邊上的高BF，然後藉助「等積法」來解決這一問題。即△ABC的面積為△ABP與△ACP的面積之和，可以得到AB×PD÷2 AC×PE÷2=AC×BF÷2，由於AB=AC，那麼可以得到：PD PE=BF（定值）。因此，可以得到結論：等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離和為定值，等於腰上的高。

利用該結論，我們可以解決哪些問題呢？

例題1：如圖，△ABC中，AB=AC=8，點P是BC邊上任意一點，PD⊥AB於點D，PE⊥AC於點E，且△ABC的面積是14，求PD PE的值．

分析：利用等面積法解決，可連接AP，由圖可得：S△ABC=S△ABP S△ACP，代入數值求解即可，如果記得結論的話，可以直接求出等腰三角形一腰上的高。

要注意的是，該三角形為等腰三角形，該點為底邊上的任意一點。當然，有些題目的背景圖可能不是直接的等腰三角形。

例題2：如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E，F，則PE PF的值是多少？

分析：利用勾股定理列式求出AC，過點D作DH⊥AC於H，連接OP，根據△AOD的面積列方程得到PE PF=DH，再根據△ACD的面積列方程求出DH。

那麼，當該點不在底邊上，而在底邊上的延長線上呢？因此，我們在解題時，要注意題目中所給的條件，「線段」、「射線」、「直線」所得到的情況可能都不一樣。在底邊的延長線上，可能是在線段BC的延長線上，也可能在線段CB的延長線上，還需要分兩種情況進行討論。

若點D是底邊CB延長線上的任意一點，DE⊥AB交AB的延長線於點E，DF⊥AC於點F，DE DF還為定值嗎？

若點D是底邊BC延長線上的任意一點，DE⊥AB於點E，DF⊥AC交AC的延長線於點F，DE DF還為定值嗎？

若點D是底邊BC延長線上的任意一點，DE⊥AB於點E，DF⊥AC交AC的延長線於點F，DE DF還為定值嗎？證明的方法與前面一樣，不再重複證明，得到的結論也一樣。