基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法
2023-12-05 08:24:36 2
專利名稱：基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法
技術領域：
本發明是一種應用於可展開結構設計、空間結構施工分析的方法，特別是涉及一種基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法。
背景技術：
可動結構具有可動自由度，且結構的剛度矩陣奇異，無法藉助常規有限元方法，需採用力法、動力學方法等對該類結構進行運動過程分析。然而，分析中涉及大量的杆件約束，若不對結構的廣義坐標進行及時的修正，將引起部分杆件產生不協調變形，使結構偏離應有的運動路徑。因此，可動結構廣義坐標的違約修正是精確模擬結構展開、摺疊過程的關鍵因素，有助於指導可展結構的形態、展開過程分析，以及空間結構的施工控制。由於矩陣的逆只適用於非奇異方形矩陣，Moore和Penrose提出了廣義逆的概念，用於計算任意非方形矩陣或奇異矩陣的偽逆。廣義逆具有強大的解決逆問題的能力，已廣 泛應用於數理統計、線性規劃、最優化理論、控制設計及識別等領域，在土木工程領域也逐漸得到了應用。Hangai提出了基於廣義逆理論的廣義增量法，以分析整體剛度矩陣奇異的非線性體系；趙孟良和關富玲採用廣義逆，得到了空間可展桁架結構運動學約束方程的解；羅堯治和陸金鈺運用廣義逆得到了結構力平衡方程的特解，並提出了用於求解柔性結構的非線性力法。運用廣義逆方法，可有效地對可動結構的廣義坐標進行違約修正。但是，隨著可動結構規模的增大、幾何形態的複雜化，結構具有的節點及杆件數目逐漸增加，結構的廣義坐標進行違約修正過程將十分耗時。鑑於土木工程領域大部分可動結構均為對稱結構，採用基於群集理論的對稱方法能提高廣義坐標違約修正過程的計算效率。群集理論是一種採用數學語言描述結構的對稱屬性的方法，已成熟應用於分子結構、量子力學等領域，在可展結構領域應用極少。本專利將提出一種基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法。
發明內容
技術問題本發明的目的是提供一種基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法。鑑於可動結構廣義坐標的常規違約修正方法計算效率較低，本發明的關鍵技術問題是針對任一對稱的可動結構，能夠精確並高效地對其進行廣義坐標的違約修正。技術方案針對以上問題，本發明基於群集理論方法，將原結構的廣義坐標違約修正問題轉變成多個相互獨立的子問題，並利用並行計算有效提高違約修正過程的求解效率。技術方案如下一種基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法，步驟I建立可動結構的廣義位移協調方程J. d = e
式中J為bXq階結構的廣義位移協調矩陣，其中b為可動結構中杆件的總數，q為節點的運動自由度，且上式中d為q維的結構廣義坐標向量，e為b維的結構廣義變形向量，並向可動結構輸入微小位移U，步驟2確定可動結構所屬的對稱群，所屬對稱群包括以下特徵s個獨立的對稱操作，μ類不可約表示，步驟3分別計算與所屬對稱群的各類不可約表示相關聯的轉換矩陣，具體可通過下式計算=F^j-jyks{t,t)-R^,=F[ijyks(t,t)-T^, 式中變量k = 1，. . .，μ，μ為所屬對稱群的不可約表示的總類型數，變量t = 1，. . .，lk，且Ik為所屬對稱群的第k類不可約表示的維數，h為所屬對稱群內不同對稱操作的總數，Γ丨( ,O為體系所屬對稱群的第s個對稱操作下，第k類不可約表示中的第t行、t列的元素，矩陣Rs和Ts分別為可動結構廣義坐標向量d和廣義變形向量e的轉換矩陣，表示與所屬對稱群的不可約表示Γ丨相關聯的第t個關於廣義坐標向量d的轉換矩陣，K，)表示與所屬對稱群的不可約表示Γ丨相關聯的第t個關於廣義變形向量e的轉換矩陣，函數F(X)用於求取變量矩陣X的列空間，X為(⑶4或丨(⑶·7；，步驟4分別計算對角化矩陣
&(t,,) = (ve(A>)廣 JVf-0，其中變量k=l,..., μ,且t = l,..., Ik,符號OT表示矩陣的轉置，步驟5採用列主元QR分解法，分別求解對角化矩陣^^的廣義逆，引入置換矩陣P，
對對角化矩陣進行分解
^ =QRPt其中矩陣Q、R、P均為臨時變量矩陣，對角化矩陣的廣義逆為式中泛為經列主元QR分解法得到的矩陣Q的正交列向量的前r列，其中r為矩陣 的秩，互為經列主元QR分解法得到的矩陣R的正交行向量的前r行，符號(Γ1表示矩陣
的逆，步驟6將每個對角化矩陣的廣義逆設_]+根據變量k的大小，當k相同時，再根據變量t的大小，依次沿對角線方向增序排列，組建對稱型廣義位移協調矩陣的廣義逆F，並基於下式求得可動結構各節點的修正位移Λ
A = -V^+(VJT S ，δ為b維向量，表示可動結構中各杆件因微小位移U所產生的不協調變形，Vd, Ve分別為將結構的廣義坐標向量d、廣義變形向量e轉換到對稱坐標系下的整體轉換矩陣，且κ=ΣΣ ^=ΣΣ v<ekJ)，
k=\ t=\ k=\ t=\最後，將修正位移△施加給可動結構的各節點，完成對可動結構各節點廣義坐標的違約修正。有益效果本發明的優點在於充分利用可動結構所固有的對稱屬性，將原可動結構的廣義坐標違約修正問題轉變成多個相互獨立的子問題，並利用並行計算對各子問題進行求解，顯著降低了違約修正所消耗的時間，並且可動結構所具有的對稱屬性越高，分解得到的子問題個數越多，求解效率越高。
圖I為一簡單可動結構廣義坐標的違約修正示意圖。圖2為基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正流程圖。
具體實施例方式本發明公開了一種基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法。以下結合附圖，對所公開的方法作進一步地描述。I.可動結構廣義坐標的違約修正在給定的幾何構形下，根據可動結構中節點及杆件間的約束關係，可建立整體結構的廣義位移協調方程J · d = e(I)式中J為bXq階廣義位移協調矩陣，其中b為可動結構中杆件的總數，q為節點的運動自由度，方程(I)中d為q維的結構廣義坐標向量，且方程(I)中e為b維的結構廣義變形向量。在運動過程分析中，對可動結構施加一個微小位移u後，各節點相應地獲得新的廣義坐標d+u，但由於節點與杆件間的約束關係，部分杆件將產生不協調變形。例如圖I中為一個最簡單的單根杆件的可動結構，當產生新的幾何構形後，杆件沿軸向伸長，節點偏離了正確的運動路徑。因此，必須對各節點的廣義坐標進行違約修正，使結構回歸正確的運動路徑上，其中修正位移Λ為Δ = -J+ · δ(2)式中J+為廣義位移協調矩陣J的廣義逆，δ為b維向量，表示了各杆件因微小位移u所產生的不協調變形。
2.廣義逆的定義與計算對於任意矩陣A，定義矩陣A+為A的唯一的廣義逆，且矩陣A、A+之間滿足如下四個性質AA+A = A,A+AA+ = A+，(AA+)T = AA+,(A+A)T = A+A(3)式中，Ot表示矩陣的轉置。當矩陣A為非奇異方陣時，矩陣的廣義逆A+等於矩陣 的逆Α-1。
目前求解矩陣廣義逆的理想途徑是採用奇異值分解法，這種方法對於任意矩陣都有很好的適用性，計算精度高，但計算非常耗時。為了提高求解效率且適用於奇異矩陣，採用列主元QR分解法並引入置換矩陣P，對矩陣A進行分解A = QRPt(4)需要說明，數值計算過程中為了避免矩陣的病態性，當任意元素的值小於ξ (ξ=le-6)時，該元素修正為零。上式(4)中，矩陣R的對角元素非負、降序排列，且非零值的個數r為矩陣A的秩。因此，矩陣的廣義逆A+可表示為A+ = PR(RRT yl (QT Qy1Q1(5)式中泛為式⑷中經列主元QR分解法得到的矩陣Q的正交列向量的前r列，互為式(4)中經列主元QR分解法得到的矩陣R的正交行向量的前r行。3.群集理論的基本概念及矩陣表示對稱群G= {gs，s = l，2，3，...，h}通過數學語言描述結構的對稱性質，群內各元素gs對應著描述結構各種對稱屬性的對稱操作，h為對稱群內不同對稱操作的總數。對稱操作主要包括恆等操作E (不進行任何操作)，旋轉操作(繞主軸逆時針旋轉2 π i/n),鏡像操作σΑ鏡像面與豎向平面的夾角為2 π (i-l)/n)等。在對稱操作gs下，可動結構由初始的幾何構形轉換成等效的另一構形，其中ds = Rs · d, es = Ts · e(6)式中，ds和es分別對應第s個對稱操作下結構的廣義坐標向量d、廣義變形向量e，Rs和Ts分別為向量d和e的轉換矩陣。轉換矩陣是稀疏矩陣，可分解成相互獨立且不能繼續約簡的子矩陣，稱作矩陣的不可約表示Γ。不同坐標系下的轉換矩陣不相同，但轉換矩陣的不可約表示始終不改變，各對稱群的不可約表示可查閱群集理論的相關書籍(例如Point-Group Theory Tables)。土木中常見的可動結構,如可開啟屋蓋、可摺疊柱結構、可展屋面等均屬於循環對稱群Cnv，當η為偶數時，Cnv群的不可約表示如表I所示表I Cnv型對稱群的不可約表不 [注表中》^ = sin 4)找,Cik = cos 4)找]
ηη
權利要求
1.一種基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法，其特徵在於 步驟I建立可動結構的廣義位移協調方程J · d = e 式中J為bXq階結構的廣義位移協調矩陣，其中b為可動結構中杆件的總數，q為節點的運動自由度，且上式中d為q維的結構廣義坐標向量，e為b維的結構廣義變形向量，並向可動結構輸入微小位移u, 步驟2確定可動結構所屬的對稱群，所屬對稱群包括以下特徵s個獨立的對稱操作，μ類不可約表示， 步驟3分別計算與所屬對稱群的各類不可約表示相關聯的轉換矩陣，具體可通過下式計算 式中變量k = 1，. . .，μ，μ為所屬對稱群的不可約表示的總類型數， 變量t = 1，. . .，lk，且Ik為所屬對稱群的第k類不可約表示的維數， h為所屬對稱群內不同對稱操作的總數，為體系所屬對稱群的第S個對稱操作下，第k類不可約表示中的第t行、t列的元素， 矩陣Rs和Ts分別為可動結構廣義坐標向量d和廣義變形向量e的轉換矩陣，表示與所屬對稱群的不可約表示Γ丨相關聯的第t個關於廣義坐標向量d的轉換矩陣，表示與所屬對稱群的不可約表示Γ丨相關聯的第t個關於廣義變形向量e的轉換矩陣， 函數F(X)用於求取變量矩陣X的列空間，X為(⑶4或丨(⑶·7；， 步驟4分別計算對角化矩陣
全文摘要
本發明公開了一種基於群集理論的可動結構廣義坐標的違約修正方法，涉及可展開結構的設計、空間結構施工分析等領域。所公開方法將可動結構的廣義坐標違約修正問題轉變成多個相互獨立的子問題，並利用並行計算對各子問題進行求解，有效地降低了可動結構廣義坐標違約修正過程所消耗的時間。方法的主要步驟為建立可動結構的廣義位移協調方程，並確定可動結構所屬的對稱群。隨後，分別計算對稱型廣義位移協調矩陣的各分塊子矩陣，求解相應的廣義逆。最後，沿對角線組建整體結構的對稱型位移協調矩陣的廣義逆，對可動結構各節點的廣義坐標進行修正。可動結構的對稱性越高，廣義坐標違約修正過程的求解效率提高愈顯著。
文檔編號G06F17/16GK102779113SQ20121001664
公開日2012年11月14日 申請日期2012年1月19日 優先權日2012年1月19日
發明者馮健, 夏仕洋, 莊麗萍, 陳耀 申請人:東南大學