基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法
2023-05-17 20:30:56 1
基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法
【專利摘要】本發明公開了一種基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法，首先在待測平面放置一光闌，採集欠焦、聚焦、離焦三幅光強圖像，並利用欠焦與離焦光強圖像進行數值差分得到光強的軸向微分信號；然後利用離散餘弦變換求解光強的軸向微分信號的逆拉普拉斯，並基於離散餘弦變換，將光強的軸向微分信號的逆拉普拉斯求取梯度，並除以聚焦光強圖像，然後再求散度運算；最後利用離散餘弦變換將第三步所得結果求取逆拉普拉斯，就得到了光強傳輸方程的解，也就是所要求解的相位分布。本發明提高了相位恢復的精度，實現十分簡單高效，所需的外儲量也非常低。
【專利說明】基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法
【技術領域】
[0001] 本發明屬於光學測量中的相位恢復與定量相位成像技術，特別是一種基於離散餘 弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法。
【背景技術】
[0002] 相位恢復是光學測量與成像技術的一個重要課題，無論在生物醫學還是工業檢測 領域，相位成像技術都在發揮著重要的作用。縱觀光學測量近半個世紀的進展，最經典的相 位測量方法應該非幹涉測量法莫屬。然而，幹涉測量法的缺點也十分明顯：幹涉測量一般需 要高度相干性的光源（如雷射），從而需要較為複雜的幹涉裝置；額外的參考光路的引入導 致對於測量環境的要求變得十分苛刻；高相干性的光源引入的散斑相干噪聲限制了成像系 統的空間解析度與測量精度。
[0003] 不同與幹涉測量，另一類非常重要的相位測量技術並不需要藉助幹涉，它們統稱 為相位恢復。由於直接測量光波場的相位分布非常困難，而測量光波場的振幅/強度十分 容易。因此，可以將由強度分布來恢復（估算）相位這一過程考慮為一個數學上的"逆問 題"，即相位恢復問題。相位恢復方法還可細分為迭代法與直接法。光強傳輸方程法是相位 恢復方法中的一種典型的直接法。光強傳輸方程是一個二階橢圓偏微分方程，其闡明了沿 著光軸方向上光強度的變化量與光軸垂直的平面上光波的相位的定量關係。在光強軸向微 分以及光強分布已知的情況下，通過數值求解光強傳輸方程可直接獲取相位信息。相比與 幹涉法與迭代相位恢復法，其主要優點包括：（1)非幹涉，僅僅通過測量物面光強直接求解 相位信息，不需要引入額外參考光；（2)非迭代，通過直接求解微分方程獲得相位；（3)可以 很好的應用於白光照明，如傳統明場顯微鏡中的科勒照明（KShler illumination);⑷無需相 位解包裹，直接獲取相位的絕對分布，不存在一般幹涉測量中的2 相位包裹問題；（5)無 須複雜的光學系統，對於實驗環境沒有苛刻的要求，振動不敏感。
[0004] 準確、高效地求解光強傳輸方程是利用其實現相位恢復與動態定量相位顯微應用 的基礎。光強傳輸方程是一個關於相位的二階橢圓型偏微分方程。從數學上看，基於光強 傳輸方程的相位恢復問題本質上是一個邊界條件問題（邊界條件問題=微分方程+邊界 條件），即在某些特定的邊界條件的約束下去尋找這個偏微分方程的解。求解偏微分方程 最常見的邊界條件包括Dirichlet邊界條件與Neumann邊界。根據橢圓型偏微分方程的 基本結論，對於Dirichlet邊界條件問題，光強傳輸方程的解存在且唯一。對於Neumann 邊界條件問題，當邊界值滿足相容性條件時，光強傳輸方程的解存在且唯一到一個任意 的加性常數。針對光強傳輸方程的求解，目前已有許多方法提出：如格林函數法（M. Reed Teague，''Deterministic phase retrieval: a Green's function solution, ^J. Opt. Soc. Am. 73, 1434-1441 (1983) ?)、澤尼克多項式展開法（T. E. Gureyev and K. A. Nugent，''Phase retrieval with the transport-of-intensity equation. II. Orthogonal series solution for nonuniform illumination, ^J. Opt. Soc. Am. A 13, 1670-1682(1996) ?)、快 速傅立葉變換法（L.J. Allen and M.P. Oxley，''Phase retrieval from series of images obtained by defocus variation, 〃Opt Commun 199, 65-75 (2001))。這些方法存在並沒有 很好地解決一個非常重要的實際問題，即如何獲得、並施加求解光強傳輸方程的邊界條件。 通常情況下，均是採用簡單的周期性邊界條件或者均勻Dirichlet邊界條件與Neumann邊 界條件，當這些簡化邊界條件無法滿足時，所恢復相位的精度就會大受影響。另一方面，算 法求解效率較低，難以滿足高速、實時應用的場合。
【發明內容】
[0005] 本發明的目的在於提供一種基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法， 在光強分布不均勻性的情況下，有效解決了相位恢復問題。
[0006] 實現本發明目的的技術解決方案為：一種基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快 速求解方法，包含以下步驟：
[0007] 第一步，在待測平面放置一光闌，採集欠焦、聚焦、離焦三幅光強圖像，並利用欠焦 與離焦光強圖像進行數值差分得到光強的軸向微分信號；
[0008] 第二步，利用離散餘弦變換求解光強的軸向微分信號的逆拉普拉斯，記作
【權利要求】
1. 一種基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法，其特徵在於包含以下步 驟： 第一步，在待測平面放置一光闌，採集欠焦、聚焦、離焦三幅光強圖像，並利用欠焦與離 焦光強圖像進行數值差分得到光強的軸向微分信號； 第二步，利用離散餘弦變換求解光強的軸向微分信號的逆拉普拉斯，記作
其中DCT代表離散餘弦變換，DCT1代表離散逆餘弦變換，（u，v)是與空間坐標（x，y)相 對應的頻域坐標；對於二維的數據矩陣{f (X，y), X = 0, 1，. . .，N-1, y = 0, 1，. . .，M-1},其 中X，y代表二維空間坐標，N，M為圖像的二維尺寸，其離散餘弦正逆變換可以定義為：
方便起見，第二步最終運算得到的光強軸向微分信號的逆拉普拉斯 簡記 為 V (r); 第三步，基於離散餘弦變換，將光強的軸向微分信號的逆拉普拉斯求取梯度，並除以聚 焦光強圖像，然後再求散度運算； 第四步，利用離散餘弦變換將第三步所得結果Ur)求取逆拉普拉斯，就得到了光強 傳輸方程的解，也就是所要求解的相位分布。
2. 根據權利要求1所述的基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法，其特徵 在於第一步的具體實施過程如下： (1)在待測物平面放置一光闌（位於物平面z = 0)，光闌的區域記作Q，其邊界記作 況I，將光闌區域Q連同其邊界an之和記作閉區間由於光闌的存在,待測物的聚焦光強 分布表為
其中lei是在沒有光闌情況下的聚焦光強分布；As2是光闌函數，當reQ時，As2 = I ;當 r€〇時，As2 = O ;在此情況下，光強傳輸方程表示為
的相位分布沿光闌邊界的法嚮導數，4*1為沿光闌邊界的delta函數；上式右側的第一 項代表了區域內部由於相位的斜率與曲率所導致的軸向光強信號的改變量；右側第二項
是一個猶如delta函數般的尖銳信號，其僅出現在區域的邊界上，這為求解 光強傳輸方程提供了求解所需的Neumann邊界條件，這裡稱其為邊界信號； (2)採集欠焦、聚焦、過焦三幅光強分布，分別記作I+(r)，I(r)與I_(r)，其中I+(r)與
至此完成了基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法的數據準備工作，即： 得到了聚焦光強分布I (r)，光強軸向微分信
3. 根據權利要求1所述的基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法，其特徵 在於第三步的具體實施過程如下： 基於離散餘弦變換，將光強軸向微分信號的逆拉普拉斯V求取梯度，得到VdctU^基 於離散餘弦變換的梯度算符▽ DCT具體可表示為 ▽ DCT { ? } = DCT1 U uDCT { ? }，i uDCT { ? }} 其中i為虛數單位，得到▽ DCT V後，將其除以聚焦光強分布I (r)，得到r1 ▽ DCT V，再 基於離散餘弦變換對r1 ▽ DCT V求散度，得到▽ DCT ? (r1 ▽ DCT no，基於離散餘弦變換的散 度算符▽ DCT ? {?}具體表示為 v DCT ? { * } = DCr1 {i 31 uDCT { ? }} +DCr1 {i n vDCT { ? }} 式中?代表向量點乘，為方便起見，第三步最終運算得到的結果▽ DCT ? (r1 ▽ DCTV)簡 記為€ (r)。
4. 根據權利要求1所述的基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法，其特徵 在於第四步的具體實施過程如下： 利用離散餘弦變換將第三步所得結果Ur)基於離散餘弦變換求取逆拉普拉斯，再乘 上一個常數_k(k為波數），就得到了光強傳輸方程的解，也就是所要求解的相位分布，即 ^(#-) =-A-V1;, {|(r)} 其中基於離散餘弦變換的逆拉普拉斯運算▽ _2{ ?}具體表示為
其中DCT代表離散餘弦變換，DCT1代表離散逆餘弦變換，（u，v)是與空間坐標（x，y)相 對應的頻域坐標。
5.根據權利要求1所述的基於離散餘弦變換的光強傳輸方程的快速求解方法，其特徵 在於在第四步的基礎上將恢復得到相位y)通過下式轉換為樣品的物理高度/厚度 h(x, y)
其中A為光波波長，An為樣品與周圍介質的折射率之差。
【文檔編號】G06F19/00GK104331615SQ201410588578
【公開日】2015年2月4日 申請日期:2014年10月28日 優先權日:2014年10月28日
【發明者】陳錢, 左超, 馮世傑, 孫佳嵩, 胡巖, 陶天陽, 顧國華, 張玉珍, 喻士領, 張良, 張佳琳 申請人:南京理工大學