雅可比行列式的推導知乎（終於了解雅可比行列式的實際意義）

2023-04-18 20:51:28 1

是誰

在呼喚雅可比

今天小天整理留言的時候，看到有模友留下了這麼一條留言：

恭喜你！你被翻牌……哦不，你的願望實現了

不過在此之前，小天需要先介紹一下他的粑粑——多產堪比歐拉，被廣泛認為是歷史上三大最具運算能力的數學家之一的雅可比先生。

卡爾·雅可比

1804年12月10日，卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）出生於普魯士的一個殷實猶太人家庭，成為家中的老二，父親（Simon Jacobi）是一位成功的銀行家。

雅可比是個聰明的孩子，幼年跟隨舅舅學習古典語言和數學，12歲進入波茨坦大學預科學習，不到半年跳級到高年級，甚至在自學歐拉的《無窮小分析引論》後嘗試解決五次方程式。（每當此時，小天就十分懷疑數學家的成長套路都是一個模子印出來的）

當時的大學並不接受16歲以下的學生，因此雅可比在1821年才得以入讀柏林大學。

雅可比對哲學、數學等領域均懷有濃厚的興趣，曾磨刀霍霍準備向「全才」發起進攻。奈何數學的磁場實在太強，最終他義無反顧地投奔了數學。（據說是因為數學最難，雅可比才選擇它的╮(╯▽╰)╭）

這一投，無疑給數學史添上了濃墨重彩的一筆。

雅可比不僅天賦高，人還特別勤奮，一直不知疲倦地進行著科研與教學，讓他年紀輕輕就收穫了一堆榮譽。

1825年，獲得柏林大學理學博士學位，並留校任教；1827年，被選為柏林科學院院士（同時是倫敦皇家學會會員，巴黎等科學院院士）；1829年，成為哥尼斯堡大學數學系的終身教授，並擔任主席15年；

19世紀的數學以單複變函數為主要研究領域，而橢圓函數是其中一顆螺絲釘。1827年，雅可比迷上了它，埋頭苦幹2年後發表的人生第一篇傑作《橢圓函數理論的新基礎》（橢圓函數領域關鍵性著作），讓當時的研究有了質一般的飛躍。

雅可比與阿貝爾幾乎同時各自獨立發現了橢圓函數，因此被公認為橢圓函數理論獨立奠基人。而該理論的出現不僅引進了θ函數，還為推動複變函數理論的發展和n個變量的阿貝爾函數論的產生帶來了不可磨滅的影響。

橢圓函數，源自：Wikipedia

緊接著，拘泥於一個領域，已經遠遠無法滿足日益膨脹的欲望後，雅可比開始瘋狂掃蕩各大數學分支，甚至是物理學分支。

得益於強大運算天賦，他最終在力學和數學物理等應用領域也收穫了一番成就。

用於表述經典力學的哈密頓-雅可比理論是唯一可用於量子力學的理論；第一個將橢圓函數理論應用於數論研究的人；是決定因素理論的早期創始人之一；... ...

掃蕩過程中，行列式理論也淪為了他的囊中之物。而在他發表的著名論文《論行列式的形成和性質》中所引進的函數行列式正是大家熟悉的「雅可比行列式」。

此文標誌著行列式系統理論的建成，文中不僅求出了函數行列式的導數公式，還證明了函數之間是否相關的條件就是雅可比行列式是否為零，並給出了該行列式的乘積定理。

若雅可比行列式恆等於零，函數組（u1,…,un）是函數相關。

雅可比行列式在多重積分的變量替換中佔據著決定性的作用，勢必引起人們的全方位關注。

雅可比粑粑：我兒砸就長這樣

可以看出雅可比行列式辨識度很高，比常規的行列式長得更有特色，構成元素竟然均為偏導數。

一個多變量函數的偏導數是指它關於其中一個變量的導數，而其他變量保持恆定。比如：若函數f(x,y)保持x值不變，改變y值可得到對應的f0(x,y △y)。當△x→0時，f0-f/ △y的極限存在，則可以稱該比值為f對y的偏導數，記作：∂f/∂y；同理，保持y值不變情況下的偏導數，記作：∂f/∂x。

眾所周知，矩陣和行列式是一對好基友，經常結伴出行。因此在介紹雅可比行列式的定義之前，小天打算先給大家講講雅可比矩陣。

假設f: Rn→Rm為一個從歐式n維空間轉換到歐式m維空間的函數，並且由m個實函數組成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn)。若將該函數的偏導數(若存在)組成一個m行n列的矩陣, 那麼這個矩陣就是所謂的雅可比矩陣：

當m=n時，雅可比矩陣妥妥地變成一個方陣，該方陣的行列式則可稱為雅可比行列式。

雅可比矩陣重要之處在於它能夠體現一個可微方程與給出點（設該點為點A）的最優線性逼近，因此雅可比行列式可用於求解點A的微分方程組的近似解。

如下圖所示，映射f: R2→R2將左邊的正方形變成右邊扭曲的平行四邊形，其中右邊半透明白色區域是扭曲圖形的最優線性近似，而平行四邊形面積與原始正方形面積的比值則是雅可比行列式。

圖一，源自： Wikipedia

簡單來說，在n維歐幾裡得空間中，行列式描述的是一個線性變換對「體積」所造成的影響，代表著變換後的縮放比例，而雅可比行列式也不例外。

就拿圖一來講，圖中的映射並非線性，但其微元變換實際上可以看做是線性的，因此雅可比行列式實際意義就是坐標系變換後單位微元的比率或倍數。

現在讓我們以二維空間為例，看看究竟怎麼一回事。

設f=(x,y)，其中x=x(u,v)，y=y(u,v)，可求得偏導數分別為：

那麼函數的雅可比矩陣為：

那麼，雅可比行列式就是：

還是看圖一，假設圖中正方形所在的坐標系是uv坐標系，而平行四邊形所在的坐標系是xy坐標系，平行四邊形的面積微分用dB表示，可得：

今天提到的雅可比行列式只是一階行列式，大家可以思考一下如何表示雅可比行列式的二階、三階形式哦。

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