電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器的實現方法與流程
2023-05-18 14:05:31 1
本發明涉及一種控制器，具體涉及一種電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器的實現方法，屬於機電伺服控制領域。
背景技術：
電機伺服系統由於具有響應快、傳動效率高、維護方便以及能源獲取方便等突出優點，廣泛應用於工業及國防等重要領域，如工具機進給、火箭炮隨動系統、機器人等。隨著這些領域的發展和技術水平的不斷進步，迫切需要高性能的電機伺服系統作為支撐，傳統基於線性化方法得到的控制性能逐漸不能滿足系統需求。電機伺服系統存在諸多模型不確定性，包括參數不確定性(如負載質量的變化、隨溫度及磨損而變化的粘性摩擦係數等)以及不確定性非線性(如外幹擾等)，這些不確定性的存在可能會嚴重惡化期望的控制性能，甚至使基於系統名義模型所設計的控制器不穩定，因此成為發展先進控制器的主要障礙。同時對於現有電機伺服系統的建模往往不夠充分比如忽略摩擦的影響或者簡單的把摩擦模型建立為線性的，而存在於電機伺服系統中的摩擦對系統的高精度運動控制有著重要的影響，會引起極限環振蕩、粘滑運動等現象，因此也需要對電機伺服系統的建模作進一步研究。
一般地，自適應控制能有效的估計未知常數參數並能提高其跟蹤精度，然而當系統遭受大的未建模擾動時可能會不穩定。傳統魯棒控制器，如滑模控制器，可以有效提高整個閉環系統對未建模擾動的魯棒性，但是控制器輸入會產生抖動現象，不利於在工程實際中應用；如自抗擾控制器(ADRC)對系統中存在的大的擾動能有效的進行前饋補償，但是所提出的ADRC方法僅僅只能確保系統的跟蹤誤差有界。總的來看，自適應控制和魯棒控制有它們各 自的優缺點。美國普渡大學的Bin Yao教授團隊針對非線性系統的所有不確定性，提出了一種數學論證嚴格的非線性自適應魯棒控制(ARC)理論框架。其團隊主要基於系統非線性數學模型設計非線性控制器，針對參數不確定性，設計恰當的在線參數估計策略，以提高系統的跟蹤性能；對可能發生的外幹擾等不確定性非線性，需要假設其上界已知，並通過強增益非線性反饋控制予以抑制。由於強增益非線性反饋控制往往導致較強的保守性(即高增益反饋)，在工程使用中有一定困難，並且系統中潛在的大的未建模擾動可能會使系統的跟蹤性能變差。另外，有學者提出了基於誤差符號積分的魯棒控制(RISE)方法對存在匹配性擾動的系統能確保其跟蹤誤差在穩態時趨於零，然而這種控制器設計方法需要明確知道存在於系統中的外部擾動的一階時間微分和二階時間微分的上界，在實際工程應用中，通常難以獲取外部擾動對時間的一階微分和二階微分的上界，因而傳統RISE控制方法具有一定的工程應用局限性；同時該控制器設計相對複雜並且只能保證整個系統半全局漸近穩定。
總結來說，現有電機伺服系統的控制策略的不足之處主要有以下幾點：
1.電機伺服系統建模不夠充分。電機伺服系統的建模不確定性主要有非線性摩擦和未建模擾動等。存在於電機伺服系統中的摩擦可能會引起極限環振蕩、粘滑運動等不利因素，對系統的高精度運動控制有著重要的影響。同時，實際的電機伺服系統不可避免的會受到外界環境的幹擾，若忽略將會降低系統的跟蹤性能；
2.傳統魯棒控制器比如傳統滑模控制器作用於系統會使控制輸入產生抖動現象，自抗擾控制器(ADRC)只能確保系統的跟蹤誤差有界；
3.傳統的自適應魯棒控制(ARC)存在高增益反饋現象，需要已知系統中 不確定性非線性的上界，並且對同時存在參數不確定性和不確定性非線性的系統只能保證跟蹤誤差有界(即保證跟蹤誤差在一個有界的範圍內，並不能確保跟蹤誤差趨於零)。傳統自適應魯棒控制存在高增益反饋的問題，也就是通過增加反饋增益來減小跟蹤誤差。然而高增益反饋易受測量噪聲影響且可能激發系統的高頻動態進而降低系統的跟蹤性能，甚至導致系統不穩定；需要已知系統中不確定性非線性的上界，而對實際系統來說，通常難以獲取其上界；傳統的自適應魯棒控制對同時存在參數不確定性和不確定性非線性的系統只能確保系統的跟蹤誤差有界，這樣的性能可能會在實際高精度需求的場合難以滿足要求；
4.基於誤差符號積分的魯棒控制器需要明確知道存在於系統中的外部擾動對時間的一階微分和二階微分的上界，同時設計相對複雜並且只能保證整個系統半全局漸近穩定。
技術實現要素：
本發明為解決現有電機伺服系統建模不夠充分；傳統滑模控制器作用於系統會使控制輸入產生抖動現象；自抗擾控制器(ADRC)只能確保系統的跟蹤誤差有界；傳統的自適應魯棒控制(ARC)存在高增益反饋現象，需要已知系統中不確定性非線性的上界，以及對同時存在參數不確定性和不確定性非線性的系統只能保證跟蹤誤差有界；同時基於誤差符號積分的魯棒控制器需要明確知道存在於系統中的外部擾動對時間的一階微分和二階微分的上界，並且設計相對複雜並且只能保證整個系統半全局漸近穩定的問題，提出一種電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器。
本發明為解決上述問題採取的技術方案是：
一種電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器的實現方法，包括以下
步驟：
步驟一、建立電機位置伺服系統的數學模型，根據牛頓第二定律可得系統的運動學方程為：
公式(1)中，m為慣性負載參數；y為慣性負載角位移；kf為與輸入電壓有關的力矩常數；u為系統的控制輸入；B為粘性摩擦係數；為不確定性項，包括外幹擾及未建模的摩擦；為可建模的非線性摩擦模型，選取連續靜態非線性摩擦模型為：
公式(2)中，a1、a2、a3、b1、b2均為已知常數；tanh(·)函數為雙曲正切函數，此連續靜態摩擦模型的主要特徵如下：①此摩擦模型是關於時間連續可微並且關於原點對稱的；②庫倫摩擦特性可用表達式表徵；③靜態摩擦係數可用b1+b2的值來近似表示；④表達式表徵Stribeck效應；
公式(2)中的連續可微tanh(v)函數關於它的變量v具有以下屬性：
選取狀態變量為：則直流旋轉電機位置伺服系統的運動學方程(1)可以轉化為如下狀態空間形式：
y＝x1
公式(4)中，θ1＝m/kf，θ2＝b1/kf，θ3＝b2/kf，θ4＝B/kf，定義參數集 θ＝[θ1,θ2,θ3,θ4]T；Sf(x2)＝tanh(a1x2)，Pf(x2)＝tanh(a2x2)-tanh(a3x2)，其中參數θ1、θ2、θ3、θ4均為名義值且已知，任何參數偏差造成的不確定性以及模型不確定性影響都可歸結到系統的總幹擾Δ(x,t)＝d(x,t)/m中；
假設1：系統狀態x1、x2可測；
假設2：總擾動Δ(x,t)足夠光滑並且滿足其中η為未知正常數；
控制器的設計目標是使位置輸出y＝x1儘可能地跟蹤期望跟蹤的理想軌跡x1d＝yd(t)；
步驟二、針對公式(4)中的狀態方程，設計電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器，其具體步驟如下：
步驟二(一)、定義一組類似開關函數的變量為：
公式(5)中z1＝x1-x1d為系統的跟蹤誤差，k1、k2為正的反饋增益。我們在公式(5)中引入了一個擴張的誤差信號z3來獲得額外的設計自由；
步驟二(二)、設計非線性魯棒自適應位置控制器u，使得電機伺服系統具有漸近跟蹤性能
基於公式(5)，擴張誤差信號z3可以整理為：
基於系統狀態方程(4)，我們可以進一步得到：
其中：
根據公式(3)以及中值定理可以推出：
從而可以進一步得到：
公式(10)中γ1、γ2、γ3為正常數；
根據公式(7)的結構，電機伺服系統的非線性魯棒自適應位置控制器u可以設計為：
us＝-krz2-(θ1k1+θ1k2-θ4)z2-k1(θ4-θ1k1)z1
公式(11)中kr為正反饋增益；ua為基於模型的前饋補償控制律；us為線性魯棒控制律用來保證名義系統的穩定性；un為基於擴張誤差符號z3積分的非線性魯棒控制律，其用來處理未建模的擾動，un將在以下的設計步驟中給出；
把(11)中的控制律帶入到(7)中，可以得到：
θ1z3＝-krz2+un+Δ(x,t)-M1-M2 (12)
根據公式(12)可以設計魯棒控制律un為：
公式(13)中為未建模擾動Δ(x,t)上界η的估計值，基於李雅普諾夫穩定性證明過程，的自適應律為：
其中r＞0，對公式(14)的兩邊進行積分可得：
其中sgn(z3)定義為：
由於信號z3未知，為了計算公式(13)及(15)中的sgn(z3)，定義函數g(t)為：
由於z3(t)＝limτ→0(g(t)-g(t-τ))/τ，τ可以選取為採樣時間，根據(17)可以看出我們只需要知道z3的符號sgn(z3)即可，因此我們只需要知道g(t)增加還是減小就可以獲得sgn(z3)，其中sgn(z3)＝sgn(g(t)-g(t-τ))；
把(13)帶入(12)，並對公式(12)進行微分可以得到：
步驟三、恰當的調節參數τ(τ＞0)、r(r＞0)、k1(k1＞0)、k2(k2＞0)以及kr(kr＞0)，從而來確保整個系統穩定，並使電機位置伺服系統的位置輸出y(t)準確地跟蹤期望的位置指令yd。
本發明的有益效果是：本發明選取直流旋轉電機位置伺服系統作為研究對象，建立了充分考慮系統的摩擦以及其它擾動的非線性模型；所設計的控制器通過引入基於期望軌跡的連續摩擦模型前饋補償項針對系統存在的摩擦具有良好補償效果；所設計的控制器通過引入自適應律對系統中存在的外部幹擾以及未建模動態等不確定性非線性的一階時間微分的上界進行估計，並基於擴張誤差符號的積分設計魯棒項un，針對不確定性非線性具有良好的魯棒性；本發明所設計的電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器為全狀態反饋控制器，並能使電機伺服系統的位置輸出具有全局漸近跟蹤性能，即當 時間趨於無窮時跟蹤誤差為零；本發明所設計的控制器參數容易調節並且控制輸入電壓連續，更利於在工程實際中應用。仿真結果驗證了其有效性。
附圖說明
圖1是本發明所考慮的直流旋轉電機位置伺服系統示意圖。
圖2是電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器的原理示意及流程圖。
圖3是本發明所設計的控制器(圖中以RISEEA標識)和傳統PID控制器(圖中以PID標識)分別作用下系統的跟蹤誤差隨時間變化的曲線示意圖。
圖4是對存在於電機位置伺服系統中的不確定性非線性的一階時間微分的上界的估計值隨時間變化的曲線示意圖。
圖5是電機位置伺服系統的實際控制輸入u隨時間變化的曲線示意圖。
具體實施方式
結合圖1至圖2說明本實施方式，本實施方式所述一種電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器的設計方法具體步驟如下：
步驟一、建立電機位置伺服系統的數學模型，本發明以直流旋轉電機(如圖1所示)為例，根據牛頓第二定律可得系統的運動學方程為：
公式(1)中m為慣性負載參數；y為慣性負載角位移；kf為與輸入電壓有關的力矩常數；u為系統的控制輸入；B為粘性摩擦係數；為外幹擾及未建模的摩擦等不確定性項；為可建模的非線性摩擦模型，選取連續靜態非線性摩擦模型為：
公式(2)中a1、a2、a3、b1、b2均為已知常數；tanh(·)函數為雙曲正切 函數。此連續靜態摩擦模型的主要特徵如下：①此摩擦模型是關於時間連續可微並且關於原點對稱的；②庫倫摩擦特性可用表達式表徵；③靜態摩擦係數可用b1+b2的值來近似表示；④表達式可以表徵Stribeck效應。
公式(2)中的連續可微tanh(v)函數關於它的變量v具有以下特點：
選取狀態變量為：則直流旋轉電機位置伺服系統的運動學方程(1)可以轉化為如下狀態空間形式：
y＝x1
公式(4)中θ1＝m/kf，θ2＝b1/kf，θ3＝b2/kf，θ4＝B/kf，定義參數集θ＝[θ1,θ2,θ3,θ4]T；Sf(x2)＝tanh(a1x2)，Pf(x2)＝tanh(a2x2)-tanh(a3x2)。其中參數θ1、θ2、θ3、θ4均為名義值且已知，任何參數偏差造成的不確定性以及模型不確定性影響都可歸結到系統的總幹擾Δ(x,t)＝d(x,t)/m中。
假設1：系統狀態x1、x2可測；
假設2：總擾動Δ(x,t)足夠光滑並且滿足其中η為未知正常數。
控制器的設計目標是使位置輸出y＝x1儘可能地跟蹤期望跟蹤的理想軌跡x1d＝yd(t)。
步驟二、針對公式(4)中的狀態方程，設計電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器，其具體步驟如下：
步驟二(一)、定義一組類似開關函數的變量為：
公式(5)中z1＝x1-x1d為系統的跟蹤誤差，k1、k2為正的反饋增益。我們在公式(5)中引入了一個擴張的誤差信號z3來獲得額外的設計自由。值得注意的是，由於擴張的誤差信號z3依賴於加速度的信息從而使得它不可測，這裡僅僅用來協助以下的控制器設計。
步驟二(二)、設計非線性魯棒自適應位置控制器u，使得電機伺服系統具有漸近跟蹤性能。
基於公式(5)，擴張誤差信號z3可以整理為：
基於系統狀態方程(4)，我們可以進一步得到：
其中：
根據公式(3)以及中值定理可以推出：
從而可以進一步得到：
公式(10)中γ1、γ2、γ3為正常數。
根據公式(7)的結構，電機伺服系統的非線性魯棒自適應位置控制器u可以設計為：
us＝-krz2-(θ1k1+θ1k2-θ4)z2-k1(θ4-θ1k1)z1
公式(11)中kr為正反饋增益；ua為基於模型的前饋補償控制律；us為線性魯棒控制律用來保證名義系統的穩定性；un為基於擴張誤差符號z3積分的非線性魯棒控制律，其用來處理未建模的擾動，un將在以下的設計步驟中給出。
把(11)中的控制律帶入到(7)中，我們可以得到：
θ1z3＝-krz2+un+Δ(x,t)-M1-M2 (12)
根據公式(12)可以設計魯棒控制律un為：
公式(13)中為未建模擾動Δ(x,t)上界η的估計值，基於李雅普諾夫穩定性證明過程，的自適應律為：
其中r＞0，對公式(14)的兩邊進行積分可得：
其中sgn(z3)定義為：
由於信號z3未知，為了計算公式(13)及(15)中的sgn(z3)，定義函數g(t)為：
由於z3(t)＝limτ→0(g(t)-g(t-τ))/τ，τ可以選取為採樣時間，根據(17)可以看出我們只需要知道z3的符號sgn(z3)即可，因此我們只需要知道g(t)增加還是減小就可以獲得sgn(z3)，其中這樣看來，獲得 sgn(z3)並不需要加速度的信息，從而比獲得z3容易多了。
把(13)帶入(12)，並對公式(12)進行微分可以得到：
步驟三、恰當的調節參數τ(τ＞0)、r(r＞0)、k1(k1＞0)、k2(k2＞0)以及kr(kr＞0)，從而來確保整個系統穩定，並使電機位置伺服系統的位置輸出y(t)準確地跟蹤期望的位置指令yd。
本例中，還基於Lyapunov方程來分析基於控制器(11)作用下的直流旋轉電機位置伺服系統的穩定性，具體如下：
理論1：調節正常數r，並選取足夠大的反饋增益k1、k2、kr，使得以下定義的矩陣Λ正定，那麼提出的控制律(11)能夠確保整個閉環電機伺服系統的所有信號有界，並且能獲得全局漸近跟蹤性能，即當t→∞時z1→0。Λ定義為：
理論1的證明：選取Lyapunov方程為：
對公式(20)關於時間進行求導可得：
公式(21)中為η的估計誤差。
把公式(5)和(18)代入公式(21)，並經過轉換可得：
對(22)進一步轉換可得：
把公式(14)中的自適應律帶入(23)，並根據公式(19)中定義的正定矩陣Λ，對公式(23)進一步轉換可得：
公式(24)中z定義為z＝[z1,z2,z3]T；λmin(Λ)為矩陣Λ的最小特徵值。
根據公式(24)可以得到V∈L∞以及W∈L2，同時信號z有界。因此，可以得出x以及控制輸入u有界。基於z1、z2以及z3的動態方程，可以得到W的時間導數有界，因此W一致連續。從而，根據Barbalat引理可以得到當t→∞時W→0，理論1即得到證明。
電機伺服系統非線性魯棒自適應位置控制器原理示意及流程如圖2所示。
下面結合一些具體例子來進一步說明前述各個步驟及設計的控制的效果。
電機伺服系統參數為：慣性負載參數m＝0.5kg·m2；力矩放大係數kf＝5N·m/V；粘性摩擦係數B＝1.5N·m·s/rad；連續摩擦模型中的參數：a1＝700、a2＝15、a3＝1.5、b1＝0.1、b2＝0.05；時變外幹擾d(t)＝2sin(t)N·m；系統期望跟蹤的位置指令為曲線x1d(t)＝sin(πt)[1-exp(-t3)]rad。
本發明所設計的控制器的參數選取為:τ＝0.2ms、r＝40、k1＝300、k2＝100以 及kr＝30；PID控制器參數選取為：P增益kP＝1500,I增益kI＝600,D增益kD＝5。
控制器作用效果：圖3是本發明所設計的控制器(圖中以RISEEA標識)和傳統PID控制器(圖中以PID標識)分別作用下系統的跟蹤誤差隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，本發明所設計的控制器作用下系統的跟蹤誤差明顯小於PID控制器作用下系統的跟蹤誤差並且穩態跟蹤誤差趨近於0，從而使其跟蹤性能獲得很大的提高。
圖4是對存在於電機位置伺服系統中的不確定性非線性的一階時間微分的上界η的估計值隨時間變化的曲線；
圖5是電機位置伺服系統的控制輸入u隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，本發明所得到的控制輸入信號連續而且有規律，有利於在工程實際中應用。