數的運算與整理（數的運算與擴張）

2023-05-08 07:22:49

在今天，幾乎所有的小學生都會利用字母來推演公式，可是，學會從數字進行具體的運算到利用符號進行抽象的運算，人類卻經歷了漫長的歲月。第一個有意識地使用字母係數來表示抽象運算的是法國數學家韋達。在韋達之前，人們只解決帶有數字係數的方程，比如，對於一元二次方程，認為像3X2 2X 1=0和2X2 3X 5=0這樣兩個方程是不一樣的，雖然他們知道可以用同樣的方法來求解。韋達用aX2 bX c=0一般地表示一元二次方程，其中a,b,c這些字母係數可以表示任何數。因為把方程由數字係數抽象到了字母係數，於是研究的是整個一類方程的計算。還是以一元二次方程為例，令x1和x2分別為字母係數的一元二次方程的兩個根，則有

對於具體的數字係數，只要代入上面的公式就可以得到兩個解，多麼簡潔便利！由此也可以看到，抽象到符號體系，得到的結果往往就具有了一般性，因而也具有了更加廣泛的應用性。還不僅如此，抽象到符號體系，還有利於研究方程的性質，由公式容易得到：

X1 X2=-b/a, X1*X2=c/a

這就清晰地表達了方程的根與係數之間的關係，為了紀念韋達，人們把一元二次方程的這個性質叫做「韋達定理」。

韋達在他1591年出版的《分析藝術引論》一書中，劃分了算術與代數的區別，認為算術以及數字係數的方程是與數打交道，是數字計算，而代數是作用於事物的類別或形式上的方法，是類型計算。

韋達的符號表示告訴我們，可以像對「數」那樣對「符號」進行運算，並且，通過符號運算得到的結果是具有一般性的。很顯然，如果沒有韋達給出的字母係數的表達方法，就不可能有代數學的發展。由此也可以進一步體會到，把事物抽象到符號表達是多麼重要，是多麼有效。