一種基於UKF的改進可觀測分析方法與流程
2023-05-21 02:20:51
本發明屬於太空飛行器自主導航領域，涉及一種基於ukf的改進可觀測分析方法。
背景技術：
濾波器估計效果與系統狀態的可觀測程度直接相關，系統的可觀測性分析主要解決兩方面的問題，一是確定系統能否觀測的問題；二是確定系統的可觀測程度問題，這與系統狀態估計的精度緊密相關。線性定常系統的可觀測性分析容易實現，可通過分析系統的可觀測性矩陣的秩是否滿秩來判斷。對於線性時變系統，可使用pwcs系統可觀測分析方法。
針對非線性時變系統的可觀測分析，一般通過計算雅克比矩陣對系統線性化，獲得狀態轉移矩陣及量測矩陣，再將每時段內的狀態轉移矩陣及量測矩陣用定常矩陣代替以構造可觀測矩陣。然而，這種線性化方法僅能精確到一階泰勒級數展開，且用定常矩陣代替時變矩陣也將引入誤差。因此，構造的可觀測矩陣不夠準確。
技術實現要素：
本發明要解決的技術問題是：為彌補現有構造可觀測矩陣方法的不足，提出一種基於ukf的改進可觀測分析方法，提供更加準確的可觀測分析結果。
本發明提出一種基於ukf的改進可觀測分析方法，通過sigma點獲得等效狀態轉移矩陣，藉助於互協方差矩陣和先驗估計協方差矩陣獲取等效量測矩陣，從而構建可觀測矩陣，用可觀測矩陣的條件數進行可觀測度分析。
具體包括以下步驟：
1.建立系統狀態模型及量測模型
設非線性時變系統的狀態模型如下：
其中x是系統的狀態量，為時刻t的狀態量x的導數，f(x(t),t)為系統非線性連續狀態轉移函數，w為過程噪聲，w(t)為時刻t的w。
非線性時變系統的量測模型如下：
z(t)＝h[x(t),t]+v(t)(15)
其中z表示系統的量測量，z(t)表示時刻t的z。h[x(t),t]表示非線性連續量測函數，v(t)表示t時刻脈衝到達時間的量測噪聲。
2.進行離散化及濾波
對步驟①獲得的狀態模型及量測模型進行離散化：
其中xk及zk分別表示k時刻系統的狀態量及量測量，f(xk-1,k-1)為f(x(t),t)離散後的非線性狀態轉移函數，h(xk,k)為h[x(t),t]離散後的非線性量測函數，wk-1及vk分別表示離散後的等效過程噪聲及量測噪聲。對離散化後的系統模型式(3)通過ukf進行濾波。
3.通過sigma點獲得等效狀態轉移矩陣
在k-1時刻獲得的後驗狀態估計附近選取2n+1個採樣點，其中n表示狀態變量的維數。這些樣本點的均值等於後驗狀態估計協方差等於k-1時刻獲得的後驗誤差協方差那麼選取的採樣點及其權重w0,w1…,w2n分別如下：
其中τ表示縮放參數，表示取平方根矩陣的第i行或列。
傳遞sigma採樣點，得到每個採樣點的一步預測為：
其中f(·)為系統非線性連續狀態轉移函數。由2n+1個sigma採樣點構成矩陣：
再由2n+1個sigma採樣點的一步預測構成矩陣：
可通過矩陣χk-1的廣義逆矩陣求得等效狀態轉移矩陣
4.獲得等效量測矩陣
通過卡爾曼濾波的統計學推導可知：
其中pxy,k是互協方差矩陣，是先驗估計協方差矩陣，表示等效量測矩陣。由式(9)可計算
5.構建可觀測矩陣
基於步驟3及步驟4得到的及構造每時段的可觀測矩陣：
其中j＝1,2,...,l。構造系統條帶化可觀測矩陣qs：
6.以矩陣條件數為依據進行系統可觀測度分析
條件數反映測量誤差對狀態變量的影響，因此可作為衡量系統可觀測度的指標。由下式定義條件數：
其中a是任意矩陣，σa是a的奇異值。條件數較小，則系統可觀測性較好；條件數較大，則系統可觀測性較差。以cond(qs(l))作為衡量系統可觀測度的指標。
本發明的原理是：利用ukf濾波過程中的參數，通過sigma點獲得等效狀態轉移矩陣，藉助於互協方差矩陣和先驗估計協方差矩陣獲取等效量測矩陣，從而構建可觀測矩陣，使構造的可觀測矩陣更加準確。利用可觀測分析方法得到的條件數作為判定系統可觀測性能優劣的指標，為判定系統可觀測程度提供定量依據。
本發明與現有技術相比的優點在於：(1)省略了現有方法中求解雅克比矩陣的過程，減少了計算量。(2)利用ukf濾波過程中的參數獲得等效的狀態轉移矩陣及量測矩陣，使構造的可觀測矩陣更加準確。
附圖說明
圖1為本發明中基於ukf的改進可觀測分析方法流程圖。
具體實施方式
如圖1所示，本發明以可觀測矩陣條件數作為衡量系統可觀測度的指標，為判定系統可觀測程度提供定量依據。可適用於任何使用ukf濾波的系統模型。下面詳細說明本發明的具體實施過程：
1.建立系統狀態模型及量測模型
設非線性時變系統的狀態模型如下：
其中x是系統的狀態量，為時刻t的狀態量x的導數，f(x(t),t)為系統非線性連續狀態轉移函數，w為過程噪聲，w(t)為時刻t的w。
非線性時變系統的量測模型如下：
z(t)＝h[x(t),t]+v(t)(28)其中z表示系統的量測量，z(t)表示時刻t的z。h[x(t),t]表示非線性連續量測函數，v(t)表示t時刻脈衝到達時間的量測噪聲。
2.進行離散化及濾波
對步驟1獲得的狀態模型及量測模型進行離散化：
其中xk及zk分別表示k時刻系統的狀態量及量測量，f(xk-1,k-1)為f(x(t),t)離散後的非線性狀態轉移函數，h(xk,k)為h[x(t),t]離散後的非線性量測函數，wk-1及vk分別表示離散後的等效過程噪聲及量測噪聲。對離散化後的系統模型式(3)通過ukf進行濾波。
3.通過sigma點獲得等效狀態轉移矩陣
初始化狀態量和狀態誤差方差陣p0：
式中，是第0時刻(初始時刻)的狀態量的估計值，x0是第0時刻狀態量的真實值。
在k-1時刻獲得的後驗狀態估計附近選取2n+1個採樣點，其中n表示狀態變量的維數。這些樣本點的均值等於後驗狀態估計協方差等於k-1時刻獲得的後驗誤差協方差那麼選取的採樣點及其權重w0,w1…,w2n分別如下：
其中τ表示縮放參數，表示取平方根矩陣的第i行或列。
傳遞sigma採樣點，得到每個採樣點的一步預測為：
其中f(·)為系統非線性連續狀態轉移函數。由2n+1個sigma採樣點構成矩陣：
再由2n+1個sigma採樣點的一步預測構成矩陣：
可通過矩陣χk-1的廣義逆矩陣求得等效狀態轉移矩陣
4.獲得等效量測矩陣
合併所有獲得先驗狀態估計為：
先驗誤差協方差為：
式中，qk為k時刻系統狀態模型噪聲協方差陣。
根據量測方程，計算每個採樣點的預測量測量為：
合併所有獲得預測量測yk為：
計算預測量測協方差pyy,k及互協方差pxy,k：
其中rk為k時刻系統的量測噪聲協方差陣。
通過卡爾曼濾波的統計學推導可知：
其中表示等效量測矩陣。由式(15)可計算
5.構建可觀測矩陣
基於步驟3及步驟4得到的及構造每時段的可觀測矩陣：
其中j＝1,2,...,l。構造系統條帶化可觀測矩陣qs：
6.以矩陣條件數為依據進行系統可觀測度分析
條件數反映測量誤差對狀態變量的影響，因此可作為衡量系統可觀測度的指標。由下式定義條件數：
其中a是任意矩陣，σa是a的奇異值。條件數較小，則系統可觀測性較好；條件數較大，則系統可觀測性較差。以cond(qs(l))作為衡量系統可觀測度的指標。
本發明說明書中未作詳細描述的內容屬於本領域專業技術人員公知的現有技術。