電力系統雙時滯依賴型魯棒穩定的判別方法
2023-06-15 00:51:26
專利名稱：電力系統雙時滯依賴型魯棒穩定的判別方法
技術領域：
本發明屬於電力系統技術領域，涉及一種含不確定性雙時滯的判穩方法。
背景技術：
在自然界中，系統未來的發展趨勢既取決於當前狀態，也與過去狀態有關，這類現象稱為時滯[1-2]。時滯現象廣泛存在於電力系統的各個環節，是導致控制設備失效、系統惡化和失穩的一種重要誘因，因此研究時滯系統穩定性判據和尋求有效的時滯穩定控制手段，具有十分重要的現實意義[2-4]。
人們對時滯系統穩定性的研究開展較早[1]，早在上世紀50年代O.J.Smith就提出Smith預估器的完整理論[5]，在已知系統時滯變化規律時，通過它可完全消除傳遞函數中已知的固定時滯，從而將之簡化為一般系統進行考慮；此外，上世紀80年代[6-7]就已形成較完整的線性時滯穩定分析理論。但當時滯並非固定常數時，上述方法將難以奏效。而採用Lyapunov穩定性理論研究時滯系統穩定性，則不受此限制，因此尋求科學的Lyapunov時滯穩定判據，就成為近年來這一領域的研究熱點。時滯系統Lyapunov穩定分析方法主要分為基於Razumikhin理論和基於Krasovskii理論的兩類[8]，前者因缺乏列解Lyapunov函數的有效方法，而逐漸被後者所取代。基於Krasovskii理論的方法，主要分為時滯依賴型和時滯獨立型，由於後者要求系統的穩定性不依賴於時滯的大小，因而其所給判據較前者具有更大的保守性。另外基於Lyapunov理論的穩定判據，只給出時滯系統穩定的充分條件，方法本身存在一定保守性，因此近年來的研究多集中在如何降低Lyapunov時滯穩定判據的保守性上[9-15]。[13]通過在單時滯穩定判據推導過程中加入鬆散項以降低方法的保守性，收到很好效果，並在此基礎上推導出了時滯依賴型魯棒穩定判據，文獻[14]將這種方法推廣應用到多時滯系統，形成了所謂的自由權矩陣(Free Weighting Matrix)方法，但大量鬆散項的引入使得方法的計算效率受到很大的影響。文獻[16]則利用[13]思想，通過僅引入必要的鬆散項，在降低判據保守性的同時提高了計算效率。
發明內容
本發明的目的是克服現有方法的上述不足，給出一種含不確定性擾動項的雙時滯系統魯棒穩定判別方法，該種方法具有保守性小且運行效率高的優點。為此，本發明採用如下的技術方案 一種電力系統雙時滯依賴型魯棒穩定的判別方法，包括下列步驟 (1)建立含2個不確定性時滯環節的系統模型式中τ＝max{τ1，τ2}；ΔAi，i＝0，1，2為系統參數擾動項。
(2)對於任意滿足0＜τ≤τ(τ＝max{τ1，τ2})的延時τ，設[ΔA0(t)ΔA1(t)ΔA2(t)]＝DF(t)[E0 E1 E2]，F(t)∈Rk×l為非線性隨機擾動矩陣，滿足如下條件按照下列的方式選擇係數矩陣D，E0，E1，E2使得乘積項ΔAi(t)＝DF(t)Ei與Ai對應，即矩陣Ai中等於0的項要保證乘積項ΔAi(t)＝DF(t)Ei對應地也為0，矩陣Ai中不等於0的項要保證乘積項ΔAi(t)＝DF(t)Ei對應地取為隨機變量。
(3)給定穩定判據條件 若存在任意標量ε＞0，正定矩陣P＝PT＞0，正定半對稱矩陣以及任意矩陣Nl，Sl，Tl(l＝1，2)和Xij，Yij，Zij(1≤i＜j≤3)，且滿足以下不等式則不確定多延時系統是魯棒漸近穩定的 其中 φ′15＝PD； φ′25＝0； φ′35＝0； φ′44＝-H； φ′45＝HD； φ′55＝-εI； H＝τ1W1+τ2W2+|τ1-τ2|W3 (4)利用計算軟體判斷在r擾動半徑下時滯數據(τ1，τ2)是否滿足步驟(3)給出的判據表達式，若滿足，則可判定在r擾動半徑下含時滯數據為(τ1，τ2)的不確定多延時系統是魯棒漸近穩定的。
本發明給出一種改進的雙時滯系統依賴型魯棒穩定判別方法，其實質性特點是利用Lyapunov-Krasovskii理論列解含有不確定性擾動項的系統Lyapunov泛函，在其導數推導過程中引入一些必要的鬆散項，進一步利用Schur補對擾動項進行變形從而得到含不確定性擾動的雙時滯系統的魯棒穩定判據，並基於該判據，利用MATLAB工具箱得到系統的魯棒穩定區域。該種方法具有保守性小且運行效率高的優點，並且得出了隨著擾動半徑的增大系統魯棒穩定區域減小的規律。眾所周知，在進行廣域控制器設計時，系統參數的隨機擾動會對控制器的性能產生不良影響，而這種不良影響則可通過本發明所提供方法進行有效地評估。
圖1本發明提出的電力系統魯棒穩定判別方法流程圖。
圖2WSCC三機九節點系統。
圖3單機無窮大系統穩定區域隨擾動變化的情況。
圖4不同擾動下三機九節點系統穩定區域的變化。
具體實施例方式 本發明給出了一種改進的含不確定性雙時滯環節的電力系統穩定性Lyapunov魯棒穩定判據，首先基於Krasovskii理論列解時滯系統的Lyapunov泛函，接著將泛函對系統軌跡的導函數用一組線性矩陣不等式(LMI)表達，在泛函導數推導過程中，通過引入一些必要的鬆散項以減少該判據的保守性，然後利用Schur補對含不確定性的擾動項進行變換。下面從電力系統時滯模型、本發明所依據的穩定判據及其證明、本發明的含不確定性雙時滯環節的系統判穩方法以及實施方式幾個方面對本發明做進一步詳述。
1電力系統時滯模型 存在時滯環節的電力系統模型可表示為 其中，z∈Rn，y∈Rm和p∈Rp分別為狀態變量、代數變量和分岔變量；(zτi，yτi)＝[z(t-τi)，y(t-τi)]為時滯狀態變量和時滯代數變量，τi＞0，i＝1，2，...，m為時滯常數。在平衡點(z0，y0)處對其線性化可得 上式中當
非奇異，方程(2)可簡化為
其中xτi＝x(t-τi)＝Δz(t-τ1)，i＝0，1，2，...，m，τ0＝0
t∈[-τ，0]為系統的初始軌跡 進一步，系統特徵方程可表示為 設C-，C+，C0分別表示複平面的左半平面、右半平面和虛軸。令τ＝(τ1，τ2，...，τm)，則在(τ1，τ2，...，τm)空間中，向量τ確定一個方向其中i＝1，2，3，...，m，式中||·||為歐式範數。在該方向上的系統全部時滯向量可統一表示為 沿
方向，從0開始逐漸增大
若時，系統全部特徵值位於C-內；時，某一特徵值λc位於C0上；而後，λc進入C+，則τlim，k即為
方向的系統時滯穩定裕度，而時滯區間
穩定判據的推導思路，給出含不確定性擾動項的時滯魯棒穩定判據，下面給出含雙時滯情況下的判據。
2.1雙時滯系統魯棒穩定判據 對於含有兩個時滯擾動環節的系統，式(6)將具有如下形式 其中τ＝max{τ1，τ2} 設[ΔA0(t)ΔA1(t)ΔA2(t)]＝DF(t)[E0 E1 E2](8) F(t)∈Rk×l為非線性隨機擾動矩陣，滿足如下條件 則有以下定理成立。
定理1對於式(7)所示雙時滯不確定系統，當時滯常數滿足條件0＜τ≤τ(τ＝max{τ1，τ2})，若存在任意標量ε＞0，正定矩陣P＝PT＞0，正定半對稱矩陣以及任意矩陣Nl，Sl，Tl(l＝1，2)和Xij，Yij，Zij(1≤i＜j≤3)且滿足如下條件，則系統就是魯棒穩定的。
其中 φ′15＝PD； φ′25＝0； φ′35＝0； φ′44＝-H； φ′45＝HD； φ′55＝-εI； H＝τ1W1+τ2W2+|τ1-τ2|W3 證明 首先考慮τ1≥τ2的情況.選擇如下的Lyapunov-Krasovskii泛函 其中P＝PT＞0，為待求的正定矩陣，為待求的半正定矩陣。計算V(t)的導數可得 根據Newton-Leibniz公式，對任意矩陣Nl，Sl，Tl(l＝1，2)，有如下方程成立。
此外，對於合適維數的矩陣和Xij，Yij，Zij，有如下方程成立。
其中 Λ11＝τ1(X11-X11)+τ2(Y11-Y11)+(τ1-τ2)(Z11-Z11) Λ22＝τ1(X22-X22)+τ2(Y22-Y22)+(τ1-τ2)(Z22-Z22) Λ33＝τ1(X33-X33)+τ2(Y33-Y33)+(τ1-τ2)(Z33-Z33) Λ12＝τ1(X12-X12) Λ13＝τ2(Y13-Y13) Λ23＝(τ1-τ2)(Z23-Z23) 將式(13)-(14)的左邊加入到
考慮到，對於r≥0和任意的f(t)有 經推導可得 其中ε1(t)＝[xT(t)xT(t-τ1)xT(t-τ2)]T H＝τ1W1+τ2W2+(τ1-τ2)W3 式(16a)可被重新寫為 利用Schur補定理，由式(17)可以得到下式(18)成立 其中，由 [ΔA0 ΔA1 ΔA2]＝DF(σ)[E0 E1 E2] F(σ)FT(σ)≤I 則式(18)還可重新寫為 再次利用Shur補定理，並且將τ1≥τ2和τ1＜τ2兩種情況所得判據加以整合即可得到定理條件(10). 2.2單時滯系統魯棒穩定判據 下面考慮系統中僅存在一個時滯環節的情況，如下定理給出了其魯棒穩定的條件。
定理2當m＝1，對於滿足條件0＜τ≤τ的任意延時常數τ，如果存在標量ε＞0，對稱正定矩陣P＝PT＞0，Q＝QT＞0，對稱半正定矩陣任意矩陣X12以及Ni(i＝1，2)，滿足以下不等式，則不確定時滯系統是魯棒漸近穩定的。
其中 φ14＝PD； φ24＝0； φ33＝-H； φ34＝HD； φ44＝-εI； H＝τ1W； 下面證明定理2是定理1中τ1＝τ2的一種特例。
如果將矩陣不等式(10a)的第三行和第三列分別加入到第二行和第二列中，(10a)和以下不等式是等價的 其中 П24＝H(A1+A2)T； П25＝0； 另外Φ11，Φ13，Φ33和H的定義見(10a). 如果滿足定理2中的線性矩陣不等式(19)和(20)，將式(21)中的A1+A2用A1代替，並設P＝P，Si＝0(i＝1，2，3)，N1＝N1，N2＝N2，N3＝0，Q1＝Q-Q2，W1＝W，W2＝0，T3＝0，T2＝Q2-(A1+A2)THA2，X11＝X11，X12＝X12，X13＝0，X22＝X22，X23＝0，X33＝0以及Yij(1≤i＜j≤3)，Zij＝0(1≤i＜j≤3)，兩者將完全相同。可見，定理1中τ1＝τ2的情況包含定理2。
另一方面，對於線性矩陣不等式(10b)-(10d)和(21).當令P＝P，Q＝Q1+Q2，W＝W1+W2，N1＝N1+S1，N2＝N2+S2，E1＝E1+E2，X11＝X11+Y11，X22＝X22+Y22+X33+Y33，兩者也將完全相同。可見，定理2包含了定理1中τ1＝τ2的情況。
綜上所述，定理2與定理1中τ1＝τ2情況等價。□ 3.本發明的電力系統判穩方法 圖1給出了本發明的判穩方法的程序流程圖，該程序利用Matlab實現。每個雙時滯系統都可以寫成如下形式 其中τ＝max{τ1，τ2} 首先輸入時滯系統數據A0，A1，A2，接著輸入合適的係數矩陣D，E0，E1，E2其次輸入本發明採用的判據表達式，再次輸入延時數據τ1，τ2進行驗證，如果滿足判據表達式就說明在r擾動半徑下點τ1，τ2在兩維空間的穩定區域中，如果不滿足判據表達式就說明在r擾動半徑下點τ1，τ2不在2維空間的穩定區域中。最後將在穩定區域中的點描繪出來就可以得到在不同的擾動半徑下的穩定區域。
4算例分析 4.1單機無窮大系統算例 單機無窮大系統模型及參數取值見[17，18]，研究D＝7.0，KA＝180和Pm＝1.0的情況，系統只存在單一時滯，其時滯方程對應矩陣如下 假設此時勵磁放大係數存在隨機擾動 其中r為一標量，反映對勵磁放大係數的擾動；KA為勵磁放大係數整定值，
是考慮擾動影響後的實際係數。當採用節三方法研究擾動項r對單機無窮大系統穩定性的影響時，矩陣D，E0，E1的取值分別為 在r變動時，可求得系統時滯穩定裕度結果如表1所示，同時將結果繪於圖1。從中不難看到，當KA的擾動項存在時，系統穩定運行能允許的時滯範圍是減小的，並且擾動範圍越大，系統能夠允許的時滯範圍就越小。例如當不存在擾動時(r＝0)，系統可穩定運行的時滯區間為
中的WSCC-3機9節點系統時滯模型(見圖2)，並考慮發電機2、3均存在時滯的情況。取負荷水平2.0p.u，Pm2＝Pm3＝1.0，Vref2＝Vref3＝1.03的場景加以研究，系統模型和其他參數設定均同[16]，下面給出此時系統時滯方程中的相關矩陣。
同樣假設勵磁系統的放大係數存在隨機擾動項，為簡單起見，假設兩發電機的擾動項變動規律相同，即 則矩陣D，E0，E1，E2的取值原則與單機無窮大系統類似，不再贅述。
表2WSCC三機九節點系統魯棒穩定分析結果 採用本發明方法，表2給出了考慮擾動時的計算結果，表中角度θ＝tan-1(τ3/τ2)，圖2給出了在不同擾動情況下系統穩定區域的變化曲線圖。從中，我們同樣可以看到，隨著擾動項r數值的不斷增大，系統能夠穩定運行的範圍在不斷減小，其變化規律與單機無窮大系統是相同的。
參考文獻
1.Dugard L，Verriest E I，Stability and robust control of time delay systems[M].New YorkSpringer-Verlag，1997.
2.廖曉昕，動力系統的穩定性理論和應用[M]，國防工業出版社，北京，2000.
Liao Xiaoxin，Theory and application of stability for dynamic systems[M]，National Defense Industry Press，Beijing，2000.
3.J K Hale，Theory of functional differential equations[M]，World Publishing Corporation，Beijing，2003.
4.俞立，魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法[M]，清華大學出版社，北京，2002.
Yu Li，Robust stability control based on LMI method[M]，Tsinghua University Press，Beijing，2002.
5.Hale J K，Theory ofFunctional Differential Equations.New YorkSpringer-Verlag.1997.
6.T.N.Lee and S.Dianat.Stability of time-delay systems.IEEE Trans Automat Control，1981，Vol.26，No.4，pp.951-953.
7.K.Q Gu，L.Vladimir and Chen Jie，Stability of time-delay systems，Birkhauser，Boston，2003.
8.Xu S，Lam J，Yang C，H∞and positive real control for linear neutral delay systems[J].IEEE Trans.Automatic Control，2001，46(8)1321-1326.
9.L.Wu，Z.Wang，H.Gao，C.Wang，Robust H1 filtering for uncertain two-dimensional discrete systems with state delays，Signal Process.87(9)(2007)2213-2230.
10.L.Wu，W.X.Zheng，H1 model reduction for switched hybrid systems with time-varying delay，Automatica，45(1)(2009)186-193.
11.O.M.Kwon，J.H.Park，S.M.Lee，On robust stability for uncertain neural networks with interval time-varying delays，IETControl Theory and Applications7(2008)625-634.
12.J.H.Park，O.M.Kwon，Global stability for neural networks of neutral-type with interval time-varying delays，Chaos，Solitons&Fractals，doi10.1016/j.chaos.2008.04.049.
13.Xu Shengyuan and L James，Improved delay-dependent stability criteria for time-delay systems，IEEE Trans on AutomaticControl，2005，50(3)384-387.
14.He Yong，Wu Min and She Jinhua，Delay-dependent stability criteria for linear systems with multiple time delays，IEEProceedings-Control Theory and Applications，2006，153(4)447-452.
15.Fridman，E.，and Shaked，U.「Delay-dependent stability and H∞controlconstant and time-varying delays』，Int.J.Control，2003，76，pp.48-60.
16.賈宏傑，安海雲，餘曉丹.電力系統改進時滯依賴型穩定判據.電力系統自動化，2008，32(19)15-19JIA Hongjie，An Haiyun，Yu Xiaodan.An improved delay-dependent stability criteria for power system with multiple timedelays.Automation of Electric Power Systems，2008，32(19)15-19.
17.董存，餘曉丹，賈宏傑.一種電力系統時滯穩定裕度的簡便求解方法.電力系統自動化，2008，32(1)6-10.DONG Cun，YU Xiaodan，JIA Hongjie.A simple method to determine power system delay margin.Automation of ElectricPower Systems，2008，32(1)6-10.
18.賈宏傑，謝星星，餘曉丹.考慮時滯影響的電力系統小擾動穩定域.電力系統自動化，2006，30(21)1-5.JIA Hongjie，XIE Xingxing，YU Xiaodan.Power system small signal stability region with time delay considered.Automation ofElect ric Power Systems，2006，30(21)1-5.
權利要求
1.一種電力系統雙時滯依賴型魯棒穩定的判別方法，包括下列步驟
(1)建立含2個不確定性時滯環節的系統模型式中τ＝max{τ1，τ2}；ΔAi，i＝0，1，2為系統參數擾動項。
(2)對於任意滿足0＜τ≤τ(τ＝max{τ1，τ2})的延時τ，設[ΔA0(t)ΔA1(t)ΔA2(t)]＝DF(t)[E0E1E2]，F(t)∈Rk×l為非線性隨機擾動矩陣，滿足如下條件FT(t)F(t)≤I
按照下列的方式選擇係數矩陣D，E0，E1，E2使得乘積項ΔAi(t)＝DF(t)Ei與Ai對應，即矩陣Ai中等於0的項要保證乘積項ΔAi(t)＝DF(t)Ei對應地也為0，矩陣Ai中不等於0的項要保證乘積項ΔAi(t)＝DF(t)Ei對應地取為隨機變量。
(3)給定穩定判據條件
如果存在任一標量ε＞0，正定矩陣P＝PT＞0，(i＝1，2)，正定半對稱矩陣(i＝1，2，3)以及任意矩陣Nl，Sl，Tl(l＝1，2)和Xij，Yij，Zij(1≤i≤j≤3)且滿足以下不等式，則不確定多延時系統是魯棒漸近穩定的
其中
φ′15＝PD；
φ′25＝0；
φ′35＝0；
φ′44＝-H；
φ′45＝HD；
φ′55＝-εI；
H＝τ1W1+τ2W2+|τ1-τ2|W3
(4)利用計算軟體判斷在r擾動半徑下時滯數據(τ1，τ2)是否滿足步驟(3)給出的判據表達式，若滿足，則可判定在r擾動半徑下含時滯數據為(τ1，τ2)的不確定多延時系統是魯棒漸近穩定的。
全文摘要
本發明屬於電力系統技術領域，涉及一種改進的含不確定性雙時滯環節的電力系統穩定性Lyapunov魯棒穩定判別方法，首先基於Krasovskii理論列解雙時滯系統的Lyapunov泛函，接著將泛函對系統軌跡的導函數用一組線性矩陣不等式(LMI)表達，在泛函導數推導過程中，通過引入一些必要的鬆散項以減少該判據的保守性，然後利用Schur補對含不確定性的擾動項進行變換，從而得到穩定判據。本發明該種方法具有保守性小且運行效率高的優點。
文檔編號H02J3/00GK101645600SQ20091007025
公開日2010年2月10日 申請日期2009年8月27日 優先權日2009年8月27日
發明者賈宏傑, 安海雲, 餘曉丹 申請人:天津大學