歐拉公式有幾何意義嗎（為何歐拉的質數公式會擾亂世界）

2023-10-19 22:36:49

全文共1357字，預計學習時長4分鐘

來源：Pexels

質數是現代加密學的基礎。

原因很簡單：到目前為止，人類還不了解它們的數學本質。但是，一旦揭開質數的神秘面紗，世界將發生巨大變化。

今天，小芯將介紹一些鮮為人知但令人敬畏的質數特性，它可能會改變人類對密碼學的看法。

無需擔心，內容不長，易於理解，操作性強。

圖源：齊倫（F. Zielen） (歐拉原畫：J. E.·漢德曼作)

刷新與動機

讓我們回顧一下：質數是整數，只能被1或數字本身整除。例如：5是質數（除數1和5），但6不是質數（除數1，2，3和6）。

存在無限個質數，但到目前為止，尚無有效的算法來確定其數量。特別是，沒有計算第n個質數的公式，也沒有遞歸的方法，「遞歸」指的是如果知道前面的（較小的）質數，就可以計算質數；而在有公式的前提下，無需知道前面的質數就能直接計算。

由此一來，著名的RSA密碼系統就十分安全。加密所需的公鑰基於兩個（很大）質數的乘積。如果要導出解密所需的私鑰，則「僅」需要確定該乘積的質因素。但目前，這需要花費大量計算時間，因此在現實操作中，RSA無法解鎖。

但是，如果人類發現了即刻計算質數的公式，將會發生什麼？可能將研究出快速分解質數的方法，這意味著當今大多數密碼系統大限將至。然而，質數公式真的存在嗎？

令人驚嘆的歐拉乘積

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是有史以來世界上最傑出的數學家之一。在18世紀，他推導出了如今被稱為「歐拉乘積」的公式。本文將重點介紹他開拓性發現的特殊案例。即使下文乍一看像象形文字，也請繼續閱讀。

歐拉乘積

進行公式轉換：等式左側的符號代表乘積。而且，它是所有質數的無限乘積，即需要用所有質數替換變量p並乘以項。如下圖所示。

歐拉乘積的第一個因子

這意味著：如果計算上述所有質數的乘積，將得到明確的結果pi²/ 6。太神奇了，感覺像個謎。請讓筆者告訴你原因。

顛覆性結果

人類知道有無限的質數，但是沒有能封閉且有效表示質數的形式（「公式」）。有了計算能力，人類就可以確定已知的最大質數。儘管如此，歐拉已經證明，如果根據歐拉乘積將所有質數相乘，將獲得pi²/ 6值——儘管不知道所有質數！

恕筆者直言，這表明到目前為止人類對質數的了解不夠充分。如果可以在無窮多個質數上計算出歐拉乘積，那麼也應該能夠導出質數公式。例如，對於特殊質數，封閉式表示是已知的。

這表明，人類必須加大數字理論研究的力度，發現質數的真實本質。而能解開謎團的人，既可能受到祝賀，也可能受到迫害。

來源：Pexels

不知道這樣一個古板的話題能否得到大家的喜愛？

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