導數端點效應經典題（扔個包子出去狗跑直線的秘密）

2023-11-03 20:50:18 1

今天跟各位小夥伴們要介紹的是物理學的最小作用量原理。可能大家看到標題的時候會發出會心的微笑吧，心裡一定是在想：這個老郭頭是不是沒事幹了，吃飽了撐的，念了那麼多年書，你瞅瞅，這研究的都是些什麼事啊。其實不然，扔個包子出去，狗跑直線這個現象蘊含了非常深刻的物理學理論：最小作用量原理。

圖1 狗攆包子走直線

只要我們留意，我們在生活中隨處都可以發現類似的極值現象，比如水總是往低處流、一根兩端懸掛起來的線會自然彎成一道弧線，太空中的星體和水滴都不約而同地選擇球體這個形狀。骨頭、羽毛、植物的莖、蜂巢、螞蟻窩的構造，都是最符合自身的目的，又是最節省原材料的。這些自然現象的背後，就是最小作用量原理。

圖2 太空中的水滴是個完美的球形

最小作用量原理從一開始的朦朧、模糊的觀念到定量化的具有完美數學表達式的物理學基本原理，經歷了漫長的發展演變過程。其最早的原始思想可以追溯到古希臘時期，哲學家在觀察自然現象之後總結，大自然仿佛是一個有思想的生命體，總是有根據地去做事情，並在所有的行動中選擇最短或最容易的路線。亞里斯多德提出了等周問題，幾何學家歐幾裡得提出了光傳播的最短路徑原理，據此可以導出光的直射、反射及折射的規律。

圖3 光的折射、反射示意圖

物理學中最早成功使用「最小量」概念的是費馬，1662年，費馬提出了費馬原理，也可以稱作「最短時間原理」，即：光在介質中從一點到達另外一點時，總是沿著消耗時間最少的路徑傳播。可以毫不誇張地說，費馬原理使用「最短時間」原理取代「最短路徑」原理是科學史上的重大進步。通過歐費馬原理，原理的反射定律、折射定律以及光路可逆性原理被統一起來。

圖4 變分法證明兩點間線段最短

費馬原理的成功，暗示著「最小作用量原理」極有可能成為更普遍性的原理。在這之後，萊布尼茲嘗試使用「最小作用量原理」去建立一個支配所有力學過程和光學過程的「作用量」概念。1744年，法國著名數學家和啟蒙思想家莫泊丟提出了靜力學中的普遍定律並將之推廣到動力學中。雖然莫泊丟並沒有找到「作用量」但是他的思想對後人有很大的啟發性，從而被譽為「最小作用量原理之父」。

1760年，法國數學家和物理學家拉格朗日用自己熟知的變分法，從動力學的普遍原理——達朗貝爾-拉格朗日原理出發嚴格證明了最小作用量原理，並把它推廣到多粒子系統當中。這是科學史上第一次對最小作用量原理的的正確表述。

圖5 電子雙狹縫衍射實驗

愛爾蘭數學家和物理學家哈密頓把最小作用量原理發展到了它的巔峰，提出了哈密頓原理：在相同的時間和相同的約束條件下，完整有勢系統由某一初位形轉移到另一已知位形的一切可能運動中，真實運動的哈密頓函數具有極值。哈密頓原理，真正完成了莫泊丟把幾何光學中的費馬原理推廣到力學中的嘗試，為牛頓運動定律提供了一個全新的力學基礎。

圖6 太空中的燭火和地球上的燭火對比圖

可以說，最小作用量原理是普適的。你可以不用建立特別的參照系，就可以通過拉格朗日函數，用最小作用量原理求出所有的力學量；你也可以用拉格朗日方程來描述電磁場中的能量密度。最小作用原理是如此的簡潔和優美，它在物理學各個領域中都有普適性。

在經典物理學中，處理一個質點運動的路徑，我們會將質點的勢能進行微分，找到方向，然後在下一個無限小的時間間隔內重複上面的步驟。拉格朗日法的不同是，取作用量最小化的那條路徑，就是求極限。

路徑相消

在量子力學中，我們從電子的雙狹縫實驗可知，電子其實是經過了所有的可能路徑，電子通過這些所有可能路徑都按照一定的概率發生，費曼處理它的方法就是路徑積分法。當一個粒子移動時，它確實採取了所有可能的路徑。但是，在遠離經典路徑（即遠離作用量的極值）的情況下，相鄰的路徑之間的作用量變化很大，因此不同路徑的總和平均為零：也就是說，遠離經典路徑，每個路徑點在隨機方向上的復振幅，它們之間會相互抵消。只有在接近經典路徑（即接近作用量的極值），鄰近路徑的相才會相互加強：也就是說，接近經典路徑，每個路徑點在相同方向上的復振幅，它們會相加。這就是經典物理是如何從量子物理出現的。

路徑相加

由於本文只是一篇關於最小作用量原理的介紹，不是一篇論文，所以很多應該有數學公式的地方我都略了過去。我的目標僅僅是希望大家能通過狗攆包子走直線這個現象，進而觀察更多的自然現象，了解這個自然界的最基本原理、物理學原理的原理：最小作用量原理。它不僅反映了自然界的真與美，也反應了人們對自然規律的普遍性與簡單性的追求。

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