二次函數基本問題解題技巧（二次函數問題的解題攻略）

2023-10-31 06:03:48 1

二次函數作為一項基礎性的教學內容，在初中數學以及中招考試中所佔的地位十分特殊，同時也是考查學生初中數學綜合應用能力的重要題目類型之一。

從近年來中招考試的考查內容來看，二次函數與一次函數、反比例函數等函數以及圓、三角形等圖形方面知識點綜合出題的情況十分常見，並且這類題目解題的重要突破口往往就在於二次函數。

因此，對於初中數學教學和學習來說，充分掌握二次函數相關題目的解題策略是十分重要且有意義的。而從目前初中二次函數相關題目的解題效果來看，無論是單純地考查二次函數還是綜合性的題目，對於二次函數中變量的界定與分析以及一些隱性解題信息的挖掘等方面尚存在不足之處，而這些問題所暴露的是二次函數解題策略方面的欠缺，基於此，有必要圍繞初中二次函數相關題目的解題策略進行深入地研究和分析，明確常見的解題技巧。

一、注重代數推理法的基礎性作用

所謂的代數推理法就是藉助二次函數的解析式y=ax² bx e和相關的坐標信息來進行未知量的確定，最終獲得具體的二次函數解析式。該方法適用於與拋物線相關的題目的解答。

而在代數推理法的應用過程中，關鍵是要通過三個相對獨立的條件來確定關於a、b、c這三個變量的具體信息。並且二次函數除了具有上述的標準解析式以外，還有頂點式、零點式等多種表達形式，可以根據題目中的具體信息來確定相應的解析式來提升解題的效率。

例1．（2020•瀋河區一模）使用家用燃氣灶燒開同一壺水所需的燃氣量y（單位：m3）與旋鈕的旋轉角度x（單位：度）（0°＜x≤90°）近似滿足函數關係y＝ax² bx c（a≠0）．如圖記錄了某種家用燃氣灶燒開同一壺水的旋鈕角度x與燃氣量y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節省燃氣的旋鈕角度可能為（　　）

A．18° B．37° C．54° D．58°

【解析】根據題意和二次函數的性質，可以確定出對稱x的取值範圍，從而可以解答本題．由圖象可得，該函數的對稱軸x＞（18 54）/2且x＜54，∴36＜x＜54，故選：B．

通過上述對於代數推理法在解答二次函數題目中的應用的分析可以發現，該方法是解答二次函數基本題目的有效方法，而只有充分深入地掌握了二次函數各種解析式的特點和使用注意事項後，才能夠更好地結合題目的信息和特點來快速、準確地獲得答案。因此，在學習二次函數的解析式時，要對每種解析式所對應的關鍵點進行準確地把握和學習，同時在平時的練習過程中要通過各種已知條件的變化來提升自己綜合解題的效果。

二、充分挖掘數形結合題目中的關鍵信息

所謂的數形結合法就是將數字與圖形進行有效地結合，藉助簡單的圖形將抽象的問題具體化，從而實現良好的解題效果。眾所周知，二次函數是與拋物線相對應的知識點，而拋物線幾何圖形的形式使得對於一些涉及到拋物線的二次函數題目可以藉助數形結合的方法來很好地加以解決。

在平時的二次函數訓練以及考試過程中，所涉及的關於數形結合法的內容主要為拋物線所具有的一些諸如最值、單調性、延伸性、凹凸性等方面的特殊性質。而這些性質背後往往蘊藏著重要的解題信息，一旦獲得這些信息，可以幫助我們很快地解決這些問題。

例2．（2020•昆明一模）如圖，拋物線y＝ax2 bx過點P（﹣1，5），A（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第一象限內的物線上有一點B，當PA⊥PB時，求點B的坐標．

【解析】（1）把點P（﹣1，5），A（4，0）分別代入y＝ax2 bx中得到關於a、b的方程組，然後解方程組即可得到拋物線解析式為y＝x²﹣4x；

（2）過P點作PD⊥x軸於D，BE⊥PD於E，由P（﹣1，5），A（4，0）得出PD＝AD＝5，從而得出∠APD＝45°，然後根據PA⊥PB得出△PBE是等腰直角三角形，設B（x，x2﹣4x），即可得到x 1＝x²﹣4x﹣5，解得即可．∴B（6，12）．

例3．（2020•合肥一模）某超市銷售一種高檔蔬菜"蓴菜"，其進價為16元/kg．經市場調查發現：該商品的日銷售量y（kg）是售價x（元/kg）的一次函數，其售價、日銷售量對應值如表：

（1）求y關於x的函數解析式（不要求寫出自變量的取值範圍）；

（2）x為多少時，當天的銷售利潤w（元）最大？最大利潤為多少？

（3）由於產量日漸減少，該商品進價提高了a元/kg（a＞0），物價部門規定該商品售價不得超過36元/kg，該商店在今後的銷售中，日銷售量與售價仍然滿足（1）中的函數關係．若日銷售最大利潤是864元，求a的值．

【解析】（1）依題意設y＝kx b，用待定係數法即可得到為y＝﹣2x 120；

（2）根據當天的銷售利潤等於銷售量乘以每千克的利潤列出w關於x的函數關係式，再配方，寫成頂點式，按照二次函數的性質可得答案；

w＝（﹣2x 120）×（x﹣16）

＝﹣2x² 152x﹣1920

＝﹣2（x﹣38）² 968，

∴當售價是38元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是968元；

（3）根據題意得，w＝（﹣2x 120）×（x﹣16﹣a），求出二次函數的對稱軸，利用二次函數的性質可得關於a的方程，解出a即可．

又∵﹣2＜0，售價不得超過36元/kg，

∴當x≤36時，w隨x的增大而增大，

∴當x＝36時，w有最大值864元，

∴﹣2×362 （152 2a）×36﹣1920﹣120a＝864，

∴解得：a＝2，∴a的值為2．

總結通過對該題解題過程和步驟的分析可以發現，學生在解答數形結合方面的二次函數題目時，要善於從圖形的特殊性方面著手，來挖掘有效解決二次函數變量的信息。通過對二次函數數量關係的破解反過來求解關於圖形的相關問題。這也充分說明了在平時的二次函數學習過程中，要注重從數量與圖形之間的內在聯繫出發來尋求有效的解決綜合問題的能力。

三、藉助轉換法調整解題思路

所謂的轉換法主要是在一些應用型題目的解答過程中使用，即通過將實際性的問題轉換為較常見的二次函數或者拋物線題目，進而藉助相應的方法來解決。轉換法的使用主要依靠學生思維的靈活性，即能夠根據題目中的文字信息提取到相應的二次函數關鍵信息，從而通過解決二次函數問題的方式來獲得相應題目的答案。在歷年中考試題中，經常出現關於轉換法在二次函數綜合類題目解題中的運用。

例4．（2020•長春一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax²﹣4ax 3a（a是常數，且a＞0）與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交於點C，連結AC，將線段AC繞點A順時針旋轉90°，得到線段AD，連結BD．當BD最短時，a的值為_____．

【解析】本題考查了拋物線與x軸的交點、全等三角形的判定與性質及勾股定理的應用，數形結合併明確相關性質及定理是解題的關鍵．

過點D作DE⊥x軸於點E，令y＝0得關於x的方程，解得x的值，則可知點A、點B的坐標及OA、OB的長，再證明△ACO≌△DAE（AAS），從而可用含a的式子表示出DE和BE的長，

例5．（2020•寧波模擬）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊長為2，∠AOC＝60°，點D為AB邊上的一點，經過O，A，D三點的拋物線與x軸的正半軸交於點E，連結AE交BC於點F，當DF⊥AB時，CE的長為______．

本題考查菱形與二次函數的綜合應用；熟練掌握菱形的性質，能夠通過菱形的性質結合拋物線的對稱性確定點的坐標，再由平行線分線段成比例的性質建立等量關係求解是解題的關鍵．

通過上面的例題可以看出，在初中二次函數相關題目的解答過程中，可以藉助空間轉換方法將一些複雜的應用問題簡化為相應的二次函數圖形分析題，進而藉助數量關係來求得問題的解。

四、結束語

二次函數作為初中數學教學中的重要內容，是整個數學學科的基礎性知識，在高中會進行更加深入地學習和探討，並且與生活的聯繫也比較緊密。因此，在初中二次函數學習過程中，一定要充分掌握其基本的特點和解題策略，奠定相應的數學學習思維基礎。在對二次函數相關題目進行解答過程中，要明確其所對應的代數性質和幾何性質，能夠善於藉助相關的解題原理來進行綜合、靈活的題目分析與解答。

當然，二次函數在考試中的體現通常是一些綜合性的題目。在進行題目分析的過程中，不僅要緊抓表面上的一些直接性的信息，同時要深入挖掘一些條件背後所蘊藏的更深層次的、對於解題有效的信息，從而提升題目解答的效率和效果。