七下二元一次方程組壓軸題講解（數學七下第二章）

2023-05-15 14:23:44

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【知識要點】

要點一、二元一次方程

含有兩個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．

要點詮釋：二元一次方程滿足的三個條件：

（1）在方程中「元」是指未知數，「二元」就是指方程中有且只有兩個未知數.

（2）「未知數的次數為1」是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.

（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.

要點二、二元一次方程的解

一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的一組解．

要點詮釋：

(1)二元一次方程的解都是一對數值，而不是一個數值，一般用大括號聯立起來，如：

．

(2)一般情況下，二元一次方程有無數個解，即有無數多對數適合這個二元一次方程．

要點三、二元一次方程組

把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

要點詮釋：組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數，例如

也是二元一次方程組.

要點四、二元一次方程組的解

一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

要點詮釋：

(1)二元一次方程組的解是一組數對，它必須同時滿足方程組中的每一個方程，一般寫成

的形式．

(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，

如方程組

無解，而方程組

的解有無數個．

【典型例題】

類型一、二元一次方程

【例1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．

(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3； (4)x y＝6； (5)2x-4y＝7；

(6)

；(7)

；(8)

；(9)

；(10)

．

【思路點撥】按二元一次方程滿足的三個條件一一檢驗．

【答案】(1)(4)(5)(8)(10)

【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)滿足二元一次方程的概念．(2)為一元一次方程，方程中只含有一個未知數；(3)中含未知數的項的次數為2；(6)只含有一個未知數；(7)不是整式方程；(9)中未知數x的次數為2．

【總結升華】判斷一個方程是否為二元一次方程的依據是二元一次方程的定義，對於比較複雜的方程，可以先化簡，再根據定義進行判斷．

舉一反三：

【變式】下列方程中，屬於二元一次方程的有（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【例2】若

是關於x、y的二元一次方程，求a的值．

【思路點撥】根據二元一次方程的定義作答．

【答案與解析】

解：根據題意得：|a|-2＝1，所以|a|＝3，a＝±3，而(a-3)x中，a-3≠0，即a≠3，所以a＝-3．

【總結升華】二元一次方程和二元一次方程組中係數的求解，要同時考慮兩個未知數的係數與次數，不管方程的形式如何變化，必須滿足含有兩個未知數，含未知數的項的次數是一次且方程左右兩邊都是整式這三個條件．

舉一反三：

【變式1】已知方程

是二元一次方程，則m= ， n= .

【答案】-2，1/4

【變式2】方程

，當

時，它是一元一次方程．

【答案】

；

類型二、二元一次方程的解

【例3】二元一次方程x-2y＝1有無數多個解，下列四組值中不是該方程解的是( )

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

解：當x＝0，y＝-1/2時，x-2y＝1，故A是原方程的解．

當x＝1，y＝1時，x-2y＝-1，故B不是原方程的解．

當x＝1，y＝0時，x-2y＝1，故C是原方程的解．

當x＝-1，y＝-1時，x-2y＝1，故D是原方程的解．

【總結升華】判斷一組數值是否是原方程的解，只需要將這組數值代入原方程，能使方程左右兩邊相等的未知數的值是原方程的解，否則，不是．

舉一反三：

【變式】若方程

的一個解是

，則a= .

【答案】3

【例4】已知二元一次方程

．

(1)用含有x的代數式表示y；(2)用含有y的代數式表示x；

(3)用適當的數填空，使

是方程的解．

【思路點撥】用含一個未知數的代數式表示另一個未知數，就是把要表示的未知數當未知數，把其他的未知數當已知數，然後再將方程變形．

【答案與解析】

解：(1)將方程變形為3y＝2-x/2，化y的係數為1，得

．

(2)將方程變形為

，化x的係數為1，得

．

(3)把x＝-2代入

得， y＝1．

【總結升華】用含x的代數式表示y，其實質表示為「y＝含x的代數式」的形式．在進行方程的變形過程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．

舉一反三：

【變式】已知：2x 3y=7，用關於y的代數式表示x，用關於x的代數式表示y．

【答案】

解：（1）2x=7－3y，

；（2）3y=7－2x，

【例5】寫出二元一次方程

的所有正整數解.

【思路點撥】可以把二元一次方程中的一個未知數看成已知數，先解關於另一個未知數的一元一次方程，當兩個未知數的取值均為正整數才是方程的解，寫時注意按一定規律寫，做到不重、不漏.

【答案與解析】

解：由原方程得

，因為

都是正整數，

所以當

時，

.

所以方程

的所有正整數解為：

，

，

，

.

【總結升華】對題意理解，要注意兩點：①要正確；②不重、不漏. 兩個未知數的取值均為正整數才是符合題意的解.

舉一反三：

【變式1】已知二元一次方程

，下列說法不正確的是（ ）

A.它有無數多組解 B.它有無數多組整數解

C.它有4組正整數解 D.它的解中不會出現負整數

【答案】D

【變式2】在方程

中，若y分別取2、1/4、0、－1、－4，求相應的x的值.

【答案】將

變形得

.

把已知

值依次代入方程的右邊，計算相應值，如下表：

類型三、二元一次方程組及方程組的解

【例6】下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】A，B中未知數的次數高於或低於一次，而C中出現三個未知數，只有D選項滿足題意，故正確答案為D.

【總結升華】是否是二元一次方程組要滿足「1、只有兩個未知數；2、未知數的項最高次數都應是一次；3、都是整式方程」．

【例7】判斷下列各組數是否是二元一次方程組

的解．

（1）

（2）

【答案與解析】

解：（1）把

代入方程①中，左邊＝2，右邊＝2，所以

是方程①的解．

把x＝3，y＝-5代入方程②中，左邊＝

，右邊＝-1，左邊≠右邊，所以

不是方程②的解．

所以

不是方程組的解．

（2）把

代入方程①中，左邊＝-6，右邊＝2，所以左邊≠右邊，所以

不是方程①的解，

再把

代入方程②中，左邊＝x y＝-1，右邊＝-1，左邊＝右邊，所以

是方程②的解，但由於它不是方程①的解，所以它也不是方程組的解．

【總結升華】檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.

舉一反三：

【變式】寫出解為

的二元一次方程組．

【答案】

解：此題答案不唯一，可先任構造兩個以

為解的二元一次方程，然後將它們用「{」聯立即可，現舉一例：

∵ x＝1，y＝-2，

∴ x y＝1-2＝-1．

2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．

∴

就是所求的一個二元一次方程組．

註：任選的兩個方程，只要其對應係數不成比例，聯立起來即為所求．

【例8】(淮陽)甲、乙兩人共同解方程組

由於甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為

．乙看錯了方程②中的b．得到方程組的解為

．試計算：

的值．

【思路點撥】把x、y的值代入正確的方程，就可以求出字母的值．

【答案與解析】

解：把

代入②，得-12 b＝-2，所以b＝10．

把

代入①，得5a 20＝15，所以a＝-1，

所以

．

【總結升華】一組數是方程的解，那麼它一定滿足這個方程，利用方程解的定義可以求出方程中其他字母的值，所以在今後的學習中要會靈活運用它．

舉一反三：

【變式】已知關於

的二元一次方程組

，求

．

【答案】

解：將

代入原方程組得：

，解得

， 所以

．

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