數學中為什麼負負得正（為什麼負負得正）

2023-10-07 13:31:46 4

作者 | 大小吳

來源 | 大小吳的數學課堂

是每一個上過中學的人都熟知的事實，但是即便是非常簡單的「負負得正」，你有想過這是為什麼嗎？今天大小吳就和大家來探討一下這件事。

1 司湯達的疑問

將財產記為正數，負債記為負數對於普通人來說確實是一件易於理解的事，這種記錄方式始於7世紀的印度，它適用於加減法的運算，比如，本來有10元，支出12元，對應的算式是

這裡的對應的實際含義是「負債2元」。

然而，當要對其進行乘除法的時候，就會出現某些令人匪夷所思的問題，在12世紀，印度天文學家巴斯卡拉這樣說道：「財產和財產的乘積，債金和債金的乘積均為財產，財產和債金的乘積則是債金。」根據他的說法，就有

這個公式是什麼意思呢？恐怕無人能夠理解。18世紀的大數學家歐拉在其著作《代數學入門》採用過同樣的說明方法，這讓許多學習數學的人在初遇負數相乘問題的時候感到一頭霧水。

《紅與黑》的作者，19世紀法國批判現實主義作家司湯達在其年少時酷愛數學，但他同樣也困惑於「負負得正」問題，他在其自傳中這樣寫道：

似乎是由於年少的單純，使我認為在數學中是不可能有虛假的，然而當了解了誰也沒加證明的（負×負）=（正）時，該怎麼辦才好呢（這是代數學的基礎之一）。當考慮某人有負的借款時，為何1萬法郎的借款乘以500法郎借款，就會變成500萬法郎的財產了呢……
實際上，司湯達提出了每一個學習代數的人都必然會提出的問題，即為什麼「負負得正」？該如何直觀地理解這件事？
2 從實際的角度
問題出在了對正負數的說明上。仔細想想，對於什麼是財產財產，債金債金，恐怕誰也無法說明，因為金額再乘以金額是沒有實際意義的。
對此，《古今數學思想》的作者，美國數學史家和數學教育家M·克萊因通過「負債模型」巧妙地說明了「負負得正」問題：
一個人每天欠債5元，從給定日期開始（比如今天）3天後欠債15元。如果將5元的負債記作，那麼「每天欠債5元，欠債3天」可以用數學來表達：
同樣地，每天欠債5元，考慮這個人3天前的財產，那麼就應該比今天的財產多15元。如果我們用表示3天前，用表示每天欠債，那麼3天前他的財產情況就可以表示為
受此啟發，我們也可以舉出「批閱試卷」的例子來進行說明：
如果有一次考試某同學錯了一道題，扣5分，則將其記為，對應的算式是：
這裡的1表示的實際含義是1道錯題。
換個角度想，假若是老師批錯了，那麼很顯然這位同學扣除的5分就會加回去了，其得分是。1表示老師批對，那麼相對應地，則表示老師批錯，對應的算式是：
上述兩個例子是自然的，也是合乎情理的，可以幫助我們理解「負負得正」。
3 從運算邏輯的角度
從運算邏輯的角度來說，負負也必須要得正，因為有理數的運算必須遵循乘法分配律：
我們規定實際上就是為了讓負數的運算依然能保持乘法分配律的結果，例如：
則
根據乘法分配律，則有
因為，所以對於，其結果只能為1.
4 從幾何的角度
給定，，則和均為正數。如圖，則乘積表示的實際含義是以和為兩邊的矩形（斜線陰影部分）的面積。
那麼，這個矩形是如何變換得到的呢？實際上，它是由原來以，為兩邊的大矩形先取走標以水平線陰影的矩形面積，再取走標以豎直線陰影的矩形面積，但這樣取走了兩次標以雙重線陰影的矩形面積，必須將其放回，因此：
在這裡如果令，便得到
即得到了負數相乘的符號法則。
5 不能加以證明的「負負得正」
實際上，上述對「負負得正」的一些看似合理的說明充其量只是某些「解釋」，而不能將其稱之為嚴格的數學證明。特別是上面「從幾何角度來說明負負得正」的例子，這樣的「論證」是虛假的，因為它完全忽視了
公式之所以成立取決於不等式，，而令則完全違背了這一點。
負數經過了很長一段時間才被人們所接受，很難相信直到17世紀其合法性還不能像正整數那樣被人們所普遍承認，當有必要使用它們時，人們是相當猶疑和不安的，數學家有時將負數稱為虛構數、假數之類。因為人類的天性更傾向於依附「具體」的事物，比如可數的物體（正整數）。對負數的運算毫無疑問是抽象的，為此人們曾反覆地企圖證明符號法則，但都失敗了。
對數學家來說，經過了很長一段時間才認識到「負負得正」以及負數、分數所服從的其他定義是不能加以「證明」的。它們是我們創造出來的，為的是在保持算術基本規律的條件下使運算能夠自如。能夠並且必須加以證明的僅僅是：在這些定義的基礎上，算術的交換律、結合律、分配律是保持不變的。
參考文獻：
[1]（日）遠山啟.數學與生活[M].呂硯山等譯.人民郵電出版社，2014.
[2]（美）R·柯朗，H·羅賓. 什麼是數學——對思想和方法的基本研究[M].復旦大學出版社，2012.
[3]（德）菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數學（第一卷）——算術代數分析[M].舒湘芹等譯.復旦大學出版社，2008.
,