拉氏變換常用公式定理（讓傅立葉給你講講拉普拉斯變換）

2023-09-24 05:40:40

本篇文章將通過傅立葉變換引出拉普拉斯變換(Laplace Transform)，並給出拉普拉斯變換的常用性質與定理。(由於昨晚發的有筆誤，重新發了，請大家見諒[打臉])

Pierre-Simon Laplace

首先先擺出（單邊）拉普拉斯變換的官方定義：

其中s是複數頻率參數

和為實數，F(s)稱為函數f(t)的拉普拉斯變換。

接下來再給出傅立葉變換的官方定義：

稱為函數的傅立葉變換。

即說明了一個滿足狄利克雷(Dirichlet)條件的非周期函數若是絕對可積的，就可以展開成傅立葉積分，傅立葉積分就是在頻域上對信號進行分解，分解為一系列的窄脈衝，傅立葉積分的實質就是將信號看作是由無窮多個諧波所組成，也可以說成是將函數$f(t)$分解到頻率不同、幅值恆為1的單位圓上。（沒看明白傅立葉變換物理意義的同學可以參考一下我之前的文章：頻譜分析——頻譜概念（傅立葉變換、級數、積分及物理意義） ，傅立葉級數物理意義的直觀理解：利用傅立葉級數逼近方波信號， 離散傅立葉變換（DFT）的詳細推導與舉例 ）

傅立葉變換是溝通時域和頻域的橋梁，傅立葉變換的問世給人們提供了通往頻域世界的大門，但是，傅立葉變換有一個硬條件，即只有滿足狄利克雷條件的信號才能用傅立葉變換，然而很多的函數都不是絕對可積的，比如，這就使得不少工程師力不從心[流淚]。

為解決這一問題，機智的數學家們這樣想：你不是不滿足絕對可積嗎，那我就給你乘上一個具有快速衰減性質的函數，讓這個幫你滿足絕對可積的要求[機智]。

怎麼樣，厲害吧，OK，思路理清楚了，再把上面的大白話翻譯成數學語言說一遍：

給一個非絕對可積的函數f(t)乘一個具有快速衰減性質的函數幫你滿足絕對可積的要求：

那麼這個函數的傅立葉變換就變為

此時令

就得到了拉普拉斯變換的官方定義：

因此可以認為，與傅立葉變換的區別在於，拉普拉斯變換是將函數分解到頻率幅值都在變化的圓上。因為拉普拉斯變換有兩個變量，因此適用範圍更廣。

接下來為方便運用，先不加證明地給出自動控制中拉普拉斯變換的性質與定理（轉自wiki百科）

性質：

圖片轉自維基百科

初值定理(Initial value theorem)：

終值定理(Final value theorem)：

但是這裡要注意終值定理取的是s→0的極限，因而s=0的點應該在sF(s)的收斂域內，否則是無法應用終值定理的。

在自動控制原理中，我們尤為關注一個響應的終態，利用終值定理就可以直接求得的終態穩定值，意義在於簡化了繁瑣的求解過程。

例如，求解一個一階慣性環節的階躍響應：

若使用普通的拉普拉斯變換，計算步驟為先求C(s)的拉普拉斯反變化，再求極限：

而使用終值定理就非常簡便，只需要一步：

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