無理數e的意義（趣談無理數之e的由來）

2023-10-14 03:51:16

對我們來說無理數e似乎是一個純數學問題，高中在學習指數和對數函數時，數學書上告訴我們的答案是e是一個無理數，它近似等於2.71828……，而且這個指數函數具有一個很好的性質——它的導數（gradient）圖像和本身是重合的，e到底是什麼，為什麼會有這樣一個無理數呢？事實上,對於自然對數的底 e 是有其生活原型的。在歷史上,自然對數的底 e 與曾一個商人借錢的利息有關：

從前，有個商人向財主借錢，財主的條件是每借1元，年利率100%，即一年後利息1元，商人要連本帶利還2元。財主一想，利息好多呢，如果半年結一次，利率就是50%,這樣一年就連本帶利=2.25元，也就是半年結一次帳比之前的利息還要多。財主又想，如果一年結3次，4次，5次，……365次，……那豈不是要發財啦？財主繼續算了一算，如果一年結3次，利率為1/3，一年之後連本帶利是=2.37037……元；如果一年結算4次，利率為1/4，一年後連本帶利是=2.44140元；財主激動地想，如果一年結算1000次，本利和是,看起來這麼大的數，我豈不是要發了？OK，讓我們來認真算一下，結算1000次，本利和是2.71692元，看來是要令財主大失所望了。財主的想法是，結算次數越多，利息增長的也越快，可他卻沒預料到，確實是隨著n的增大而增大的，但是增加的速率卻是越來越小，而且不管n有多大，本利和永遠不會超過一個確定的上限，這個上限就是2.71828……。因此科學家歐拉就把這個上限記作e，即e=2.71828……，它是自然對數的底。