橢圓定義及標準方程教學設計（橢圓的簡單幾何性質）

2023-09-22 15:38:52 1

吳親饒 (河北承德第一中學)

教學內容解析

「橢圓的簡單幾何性質」是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（選修2—1）中的第二章第二節第一課時的內容。解析幾何是高中數學重要的分支，是在直角坐標系的基礎上，利用代數方法解決幾何問題的一門學科。

本課是在學生學習了曲線與方程、橢圓的定義和標準方程的基礎上，根據方程研究橢圓的幾何性質。橢圓是生活中常見的曲線，研究它的幾何性質，對於後續學習圓錐曲線有重要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。解析幾何的意義主要表現在數形結合的思想上。研究橢圓幾何性質的過程中，幾何直觀觀察與代數嚴格推導互相結合，處處是形與數之間的對照//翻譯和互相轉換，這也正是辯證法的反映。

方程研究曲線性質，即用代數方法解決幾何問題，將對複雜的幾何關係的研究轉化為對曲線方程特點的分析，代數方法可以程序化地進行運算，代數法研究曲線的性質有較強的規律性， 這也正是創立解析幾何的最直接目的。

教學重點：橢圓的簡單幾何性質；用方程研究橢圓上點的橫縱坐標範圍及對稱性。

【設計意圖】

（1）讓學生在作曲線的時候，通過動手能發現橢圓上點的坐標取值有範圍限制，即橢圓的範圍；發現橢圓具有對稱性，從而為引出對稱性作鋪墊；發現特殊點（與對稱軸的交點），即橢圓的頂點。

（2）學生聯繫到函數描點法作圖時，認識到函數和方程的區別與聯繫，有利於學生更好地理解數學知識間的關係，但此處不作為教學重點。

該橢圓關於x軸和y軸軸對稱，是不是所有橢圓都關於x軸和y軸軸對稱？所有橢圓是不是都有兩條對稱軸？同樣的，是不是所有的橢圓都像該橢圓一樣都關於原點中心對稱呢？是不是所有的橢圓都有一個對稱中心呢？

以上問題均有學生作答。最終總結出橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

【設計意圖】用代數法判斷對稱性具有一定難度，教師適當引導，突出「任意取一點」。學以致用能讓學生體會到利用方程判斷曲線對稱性的好處。研究該橢圓對稱性時，指出一般橢圓的對稱性，體現特殊與一般的區別。

探究3

師：研究曲線上某些特殊點，可以確定曲線的位置。要確定曲線在坐標系中的

位置，這常常需要求出其與x軸和y軸的交點坐標。

問題1：該橢圓與x軸和y軸的交點坐標分別是什麼？

指出長軸長，短軸長和長半軸長，短半軸長；x軸和y軸為該橢圓的對稱軸，橢圓與坐標軸的4個交點為橢圓的頂點。

問題2：橢圓的頂點如何定義？

預案：學生可能會回答橢圓與x軸和y軸的交點稱為橢圓的頂點。

【設計意圖】讓學生理解研究特殊點的意義；明確特殊與一般的區別

收集有關笛卡兒與解析幾何，費馬與解析幾何的資料，結合本節課學習，

寫一篇小論文。

【設計意圖】理清知識結構，關注探究過程中的活動體驗；加強課堂中數學思想和數學文化的滲透。

5.分層作業

必做：教材第48頁練習2，3，4，5。

選做：教材第49頁習題2.2，A組：9。

【設計意圖】必做題為橢圓幾何性質的應用；選做題需用方程研究橢圓性質。

教學反思

本課是在學生學習了曲線與方程、橢圓的定義和標準方程的基礎上，根據方程研究橢圓的幾何性質。橢圓是生活中常見的曲線，研究它的幾何性質，對於後續學習圓錐曲線有重要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。

1.創設合理問題情境

指出長軸長，短軸長和長半軸長，短半軸長；x軸和y軸為該橢圓的對稱軸，橢圓與坐標軸的4個交點為橢圓的頂點。

問題2：橢圓的頂點如何定義？

預案：學生可能會回答橢圓與x軸和y軸的交點稱為橢圓的頂點。

在離心率的引入中，筆者之前的問題是橢圓的扁平程度不一，用什麼量可以刻作橢圓的扁平程度？現在問題是用a，b，c中的哪兩個量的比值可以刻作橢圓的扁平程度？問題更加明確和開放，同時也更有價值。

在以問題串引領的四次探究中，學生獨立思考與小組合作相結合，通過多種方法探求橢圓的範圍，使學生既經歷了用方程研究曲線性質的過程，又理解了數學知識間的密切聯繫；通過方程判斷曲線對稱性使學生體會到解析法的好處；離心率的引入既開放又明確，使學生理解得更加自然透徹。

3.及時反饋增進知識理解

例題教學是數學課堂中重要的環節，是把知識，技能和思想方法聯繫起來的一條紐帶。筆者注重學生對習題的規範解答，鼓勵學生從多個角度發現和解決問題，同時也注意引導學生關注不同方法的區別與聯繫；在課堂總結環節中，不但要引導學生理清知識結構，關注探究過程中的活動體驗，更要加強在課堂中對數學思想和文化的滲透。

4.多媒體合理應用

在探究過程中，筆者用幻燈片及時地展示出圖形和問題；學生的探究結果用投影儀清晰直接地展示，提高了課堂效率；離心率引入時，用幾何畫板軟體動態演示，學生理解得更形象生動。