求導法則與基本初等函數求導法則（讓幾何思維幫你理解複雜函數的求導法則）

2023-04-15 17:48:33 2

這是《機器學習中的數學基礎》系列的第11篇，也是微積分的第4篇。

之前我們對簡單函數的求導有了直觀的了解，但在實際情況中，函數往往都是由簡單函數組合而成的複雜函數。總結一下，無外乎有三種類型：一是函數的加和，二是函數的乘積，三是函數的複合。我們一個一個來看他們的導數該如何去求解。

我們先來看兩個函數相加的情況。舉個例子，我們有組合函數y=x x²，先把它的圖像大概畫一下：

如上圖，我們分別畫出了y=x，y=x²，y=x x²的圖像，然後我們確定一點，給它一個微小的增量dx，看看各個函數值是如何變化。很明顯，y=x的變化就是x'，y=x²的變化是(x²)'。因為組合函數是兩個函數的加和，所以組合函數的變化量也是兩個函數的加和。因此，y=x x²的導數就是兩個導數的加和，即y'=x' (x²)'=2x 1.

接下來我們來看兩個函數相乘，又該如何求導呢？還是舉個例子，比如y=sin(x)x²。這裡我們用面積法來求出它的導數，如下圖：

上圖中，我們畫了一個矩形，它的一邊是sinx，另一邊是x²。然後我們給定一個微小增量dx，看看矩形的各邊有什麼變化。首先，矩形sinx的這邊的變化量就是d(sinx)。注意，因為長方形的邊都是函數，而不是自變量x，因此變化量就是函數的導數。而x²這一邊的變化量是d(x²)。所以，整個組合函數增加的面積就是綠色線圍起來的面積，也就是x²d(sinx) sinxd(x²) d(sinx)d(x²)。因為我們給的是一個微小增量dx，所以d(sinx)d(x²)這一項可以忽略為0.因此，組合函數y=sin(x)x²的導數為y'=x²d(sinx) sinxd(x²)=x²cosx 2xsinx.我們可以把兩個函數乘積的函數求導法則記為：左導右不導，加上右導左不導。

接下來我們看最後一種情況，函數的複合，也就是函數的嵌套。舉個例子，比如y=sin(x²)就是一個複合函數。這種類型的函數怎麼求導呢？

很簡單，我們用另一種方式來表示它。設h=x²，因此y=sin(h)。現在我們給x一個微小增量dx，那麼h函數的變化量就是dh=2xdx。而y=sin(h)是以h作為自變量的，相當於是給了h一個微小增量dh。因此，複合函數的變化量就是d(sin(h))=cos(h)dh。把dh=2xdx代入，可得d(sin(h))=cos(h)2xdx=cos(x²)2xdx。兩邊同時除以dx，得到d(sin(x²))/dx=2xcos(x²)，即y'=(sin(x²))'=2xcos(x²)。

我們把複合函數的求導法則又叫做鏈式求導法則，總結一下就是先對外層函數求導，然後再乘以內層函數的導數即可。

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