十道經典幾何解答題（一道有難度的網紅幾何題）

2023-04-16 05:25:43 2

這是今日頭條網友分享的一道網紅幾何題。

題目：在三角形ABC內部有一點D，分別連接AD、BD、CD，∠ABD=30度，∠DBC=40度，∠DCB=20度，∠DCA=50度，求∠DAC或∠DAE的度數。

網紅幾何題

解題分析：△ABC是等腰三角形。延長CD交AB於E，則CE⊥AB。設∠DAE=α，∠DAC=β，則α β=40°。

設DE=x，則DB=2x，BE=√3x。

由正弦定理得：

BC=√3x/sin20°，

AB=AC=√3xcot20°/sin40°，

AE=AB-BE=√3xcot20°/sin40°-√3x，

tanα=DE/AE=x/(√3xcot20°/sin40°-√3x)

=√3/(3(cot20°/sin40°-1))

=2√3/(3(cot²20°-1))。

雖然藉助計算工具可以得到α=10°，是否有更好的方法直接得出結果呢？讓我們繼續研究下去。

α=10°，則β=30°，30°是特殊角，求β角的三角函數應該可以直接得出結果吧。我們試一下。

先求CD。由正弦定理得：

CD/sin40°=DB/sin20°=2x/sin20°，

CD=2xsin40°/sin20°=4xcos20°。

AC/sin(130°-β)=CD/sinβ=4xcos20°/sinβ，

√3xcot20°sinβ/sin40°=4xcos20°sin(130°-β)，

√3cot20°sinβ=4cos20°sin40°sin(130°-β)，

√3sinβ=4sin20°sin40°sin(130°-β)

=4sin20°sin40°(sin50°cosβ cos50°sinβ)，

(√3-4sin20°sin40°cos50°)sinβ

=4sin20°sin40°sin50°cosβ，

tanβ=4sin20°sin40°sin50°/(√3-4sin20°sin40°cos50°)

=(sin30° sin10°)/(√3 sin80°-sin60°-2sin20°)

=cos10°/(sin10° 2sin50°)

=cos10°/(sin70° sin50°)

=cos10°/(2sin60°cos10°)

=1/√3=√3/3。所以，β=30°。

用三角函數可以得出結果，要能熟練運用三角函數的和差化積公式和積化和差公式。但是這些都是高中數學知識，初中生如何解題呢？最好能找到一個比較簡單的幾何方法。請網友們和我一起思考吧，你們才是真正的學霸。