有絕對值的不等式要怎麼求（基本不等式求最值為什麼一定要）

2023-05-30 00:57:22

暱稱為「Zach」的讀者朋友問到下面的問題：

左老師，這道題看了解析以後總覺得怪怪的，但是又沒有強有力的證據支持我的想法，所以想問問您 .

這道題有三點疑惑.

第（1）處那裡，它是同時用了兩個基本不等式.

請問，這裡滿足基本不等式中的「正、定、等」嗎？

不是說相加或相乘要為定值嗎？但（2x-1)*1也不為定值啊.

第（2）處那裡.即便第（1）處沒有問題，在連用兩個基本不等式之後，已經是前一個式子的最小值，這裡又再用一次基本不等式求最小值的最小值，合理嗎？

第（3）處，因為用了三次基本不等式.當然要有三個若且唯若.

這樣解雖然使用了基本不等式，但是右邊的式子並不是定值，結果正確嗎？

顯然，當x=2時，（9-2x）x的值等於10>9，所以上面的解法錯誤.

錯誤是如何發生的呢？

我們分別畫出兩個函數f(x)=(9-2x)x，g(x)=[(9-x)/2]^2的圖象.

從上圖我們能看出：隨著x的變化，(9-2x)x、[(9-x)/2]^2也都在變化，而且(9-2x)x始終小於等於[(9-x)/2]^2.

而且，當9-2x=x即x=3時，(9-2x)x等於[(9-x)/2]^2.

這些都沒有錯.

但是來了.

但是取等號時的位置並不是取最值的位置.

怎樣能保證取等號時就是最值呢？

答案是：必須定值！

看正確解法.

再看圖象，我們畫出函數兩個函數f(x)=(9-2x)x，g(x)=81/8的圖象.

看出定值的好處來了嗎？

因為是定值，它的圖象是一條平行於x軸的直線，這樣就保證了——f(x)的圖象都在直線的下方，取等號的位置就是最值的問題.

最後就到了「等」的要求了.

無需多言，如果等號取不到，最值顯然也取不到.

2

可以多步到達「定」，只要多個等號能同時取得

從上面的分析我們能看出，用基本不等式求最值不僅要求「一正二定三相等」，而且順序都不能變——先要求"正"，再要求"定"，最後研究取等的條件是否滿足.

當然，如果只是使用基本不等式研究兩個變量的不等關係，只要明白「正」和「相等」就夠了.

比如，我們只是比較0<x<9/2時，（9-2x)x與（9-x)^2/4的大小關係.

首先確定是否為正數.

然後使用基本不等式，知道（9-2x)x<=（9-x)^2/4.

最後我們確定，當9-2x=x即x=3時，二者相等.

這就為「定值」提供了另外一種路徑——多步到達「定值」.

畫出圖來，是這樣的感覺.

只要中間的兩個等號能夠同時取得，f(x)也能取得最小值.

所以，你提供的答案解析是可行的.

回到你的問題：如果中間的幾個等號不能同時取得，怎麼辦？

那就說明，這個解法行不通，要換別的思路.

畫出圖來，就類似於這樣.

從上圖看出，兩個取等條件不一致，所以最終取不到最值.

3

有無其它解法？

你問是否有易於理解的解法？

我想，你的意思是問，有沒有一步到位的解法？

也有，但同時需要學一點基本不等式的拓展——從二元到多元.

上面的解法中，用到了四元的基本不等式.

實際上，基本不等式可拓展到n元.學霸筒子們可參考.

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