一種Nurbs基有限元法中多重邊界節點的配點處理方法

2023-07-02 20:43:56 3

一種Nurbs基有限元法中多重邊界節點的配點處理方法
【專利摘要】本發明提出一種Nurbs基有限元法中多重邊界節點的配點處理方法，將多重邊界節點上的控制變量確定問題轉換為優化問題，使離散後生成的矩陣方程為過約束矩陣方程，使得多重邊界節點處所對應的多個方程可以在與其他節點上的離散方程一起求解，在簡化了多重邊界節點的離散處理的同時，保證了幾何邊界的精確性。
【專利說明】 —種Nurbs基有限元法中多重邊界節點的配點處理方法
【技術領域】
[0001]本發明涉及有限元【技術領域】，具體為一種Nurbs基有限元法中多重邊界節點的配點處理方法。
【背景技術】
[0002]在構建零部件三維模型，進行有限元分析時，常常用到等幾何分析技術，該技術是將物理域中的問題轉換為參數域進行求解，如果被分析對象有多個零件則零件的內外邊界可以通過配點法進行處理。用這種方法在處理邊界條件的過程中，可能形成一些其上有多個控制方程的節點，我們稱之為多重邊界節點，比如既是內邊界節點同時也是外邊界節點的節點，以及即屬於一個面也屬於其他多個面的節點，如圖1中所示的節點A和B。
[0003]如果所選的配點位於多重邊界節點上，此時待求的離散變量與一個多重邊界節點對應，比如採用開節點矢量表達的兩條NURBS曲線的公共端點。對應於多重邊界節點的離散形式要同時考慮所需滿足的多個方程，比如即需要滿足區域內離散的控制方程，也需要滿足一個或多個邊界區域上的方程。
[0004]有兩種傳統辦法來處理這種多重邊界節點。概述如下:一是為每個多重節點變量，根據所需滿足的多個方程推導出唯一一個方程，以該方程應用於多重邊界節點的離散形式，其缺點需要額外的數學推導過程，不能使同一個CAD模型應用於不同的PDE方程。另一種方法是將多重邊界節點近似為多個距離相近的節點，使每個節點對應一個控制方程。然而在等幾何分析中，多重邊界節點通常不宜做這樣的近似，這主要是由於等幾何法中的多重邊界節點有以下特性:1)精確邊界特性。通常由NURBS技術建模的邊界在離散時，可以保持幾何邊界與仿真邊界精確相同，而在採用多個節點逼近多重邊界節點時，幾何邊界的精確性會有損失。2)多重邊界節點通常是參數空間控制矢量端點處的控制變量，如果採用多個節點近似的方法，將會產生尺度非常小的小單元。

【發明內容】

[0005]要解決的技術問題
[0006]為適應等幾何分析中多重邊界節點的精確邊界特性和儘量避免出現尺度過小的小單元，便於以統一的方式生成有限元代數方程，本發明提出了一種Nurbs基有限元法中多重邊界節點的配點處理方法，將多重邊界節點上的控制變量確定問題轉換為優化問題，使離散後生成的矩陣方程為過約束矩陣方程，使得多重邊界節點處所對應的多個方程可以在與其他節點上的離散方程一起求解，在簡化了多重邊界節點的離散處理的同時，保證了幾何邊界的精確性。
[0007]技術方案
[0008]本發明的技術方案為:
[0009]所述一種Nurbs基有限元法中多重邊界節點的配點處理方法，其特徵在於:採用以下步驟:[0010]步驟1:對零部件中存在多重邊界節點的求解區域進行離散，並進行升階及節點插入，以滿足求解精度的要求；
[0011]步驟2:生成求解區域離散後的控制節點，將控制節點按照所對應的基的順序依次連接生成求解區域的控制框架；
[0012]步驟3:為每個控制節點配置一個待求的控制變量，並根據控制節點的點、線、面關係，判斷控制變量所對應的空間位置:
[0013]如果控制節點位於控制框架的內部，則所對應的控制變量位於求解區域內部；
[0014]如果控制節點位於控制框架的某個表面上，則所對應的控制變量位於求解區域的一個表面上；
[0015]如果控制節點位於控制框架的多個表面的交集上，則所對應的控制變量位於求解區域的多個表面的交集上；
[0016]如果多個控制框架有交集，則其交集中的控制節點所對應的控制變量位於求解區域的內表面上；
[0017]步驟4:對於已經分類的控制變量中的內部變量，根據所採取的有限元法，生成所有內部變量所對應的有限元代數方程；
[0018]步驟5:採用配點法為所有不屬於多重邊界節點的內表面節點所對應的控制變量生成有限元代數方程；採用配點法為所有不屬於多重邊界節點的外邊界節點所對應的控制變量生成有限元代數方程；
[0019]步驟6:根據多重邊界節點所對應的控制變量所屬每個外表面所需滿足的方程及所屬每個內表面所需滿足的連接關係，採用配點法為多重邊界節點所對應的控制變量生成多個所對應的有限元代數方程；
[0020]步驟7:將步驟4、步驟5和步驟6中生成的有限元代數方程合併，生成待求解的過約束代數方程組，應用奇異值分解法求解該過約束代數方程組，最終獲得所有控制節點對應的控制變量。
[0021]有益效果
[0022]本發明的有益效果是，I)實現簡單；2)適用於不同類型的多重邊界節點；3)易於在同一個CAD模型上切換不同的PDE方程，而求解器不需改變；4)所獲得的解，包括與多重邊界節點上所對應的變量的值，是符合所有求解條件的某種最優解。
【專利附圖】

【附圖說明】
[0023]圖1多重邊界節點示例
[0024]圖2問題求解區域及兩種外邊界區域
[0025]圖3內部邊界示意圖
[0026]圖4進行了升階操作後的複合求解區域、控制點及控制框架
[0027]圖5為每個控制節點配置控制變量
[0028]圖6內邊界控制變量與外邊界控制變量
[0029]圖號說明:
[0030]A-多重邊界節點，同時屬於多個外表面；B-多重邊界節點，位於多個外邊界上，同時還處於內邊界上。[0031]CP-控制節點；CF_控制框架；CV_控制變量；ICV_內邊界控制變量；0CV_外邊界控
制變量。
[0032]gamma\-第一類邊界，gamma2-第二類邊界，gamma3-內邊界。
【具體實施方式】
[0033]下面結合具體實施例描述本發明:
[0034]本實施例中以某零件三維模型有限元處理過程中的PDE方程的求解過程為例，待求問題為:
[0035]Δ u = f, u e Ω
[0036]u = g, u e gamma 1
[0037]V u = H, u e gamma2
[0038]其內邊界連接條件為當U e gamma 3 ?I = u2,dui Idn = ud2 Idn。
[0039]具體的處理步驟為:
[0040]步驟1:對零部件中存在多重邊界節點的求解區域進行離散，並進行升階及節點插入，以滿足求解精度的要求。要求解的問題所屬區域及兩種外邊界區域如圖2所示，內邊界如圖3所示。對問題區域在y方向上進行節點插入或升階等細分操作，以使離散後的區域滿足等幾何法的求解精度。設細分後的求解區域如圖4所示。
[0041]步驟2:生成求解區域離散後的控制節點，將細分後的求解區域的控制節點(即圖4中的CP)按照所對應的基的順序依次連接生成求解區域的控制框架(即圖4中的CF)。
[0042]步驟3:由於每個基都對應著一個控制節點，而等幾何分析也要求一個基對於一個控制變量，因此，控制節點與控制變量是一一對應的，所以對於每種待求的標量場，為每個控制節點配置一個待求的控制變量CV，如圖5所示。根據控制節點的點、線、面關係，判斷控制變量所對應的空間位置:
[0043]如果控制節點位於控制框架的內部，則所對應的控制變量位於求解區域內部；
[0044]如果控制節點位於控制框架的某個表面上，則所對應的控制變量位於求解區域的一個表面上；
[0045]如果控制節點位於控制框架的多個表面的交集上，則所對應的控制變量位於求解區域的多個表面的交集上；
[0046]如果多個控制框架有交集，則其交集中的控制節點所對應的控制變量位於求解區域的內表面上。
[0047]如圖6所示，一些控制變量為ICV，一些控制變量為0CV，一些控制變量同時屬於ICV 和 OCV。
[0048]步驟4:對於已經分類的控制變量中的內部變量，根據所採取的有限元法，生成所有內部變量所對應的有限元代數方程；如採用伽遼金法，則根據所需滿足的區域內PDE方程，採用內積的形式生成代數方程。本實施例中由Au = f，ue Ω，可得有限元代數方程:A1X = B1O
[0049]步驟5:採用配點法為所有不屬於多重邊界節點的內表面節點所對應的控制變量生成有限元代數方程；採用配點法為所有不屬於多重邊界節點的外邊界節點所對應的控制變量生成有限元代數方程。具體過程就是對於每個符合條件的節點，為其對應的基生成合適的配點，根據所求場的內部連接條件，以配點法生成相應的代數方程。
[0050]本實施例中，對於所有不屬於多重邊界節點的內表面節點所對應的控制變量，由ux =w2，A/an = ?32/0H，應用配點法，可得到表達邊界連接條件的代數方程:A2x = B2 ;對於所有不屬於多重邊界節點的外邊界節點所對應的控制變量，由u = g, u e J或^ u =H,u e 2，可以獲得表達外邊界條件的有限元方程:A3x = Β3。
[0051]步驟6:經過上述處理後，此時尚未生成對應代數方程的待求控制變量均為多重邊界節點所對應的控制變量，一個多重邊界節點所對應的控制變量即可能位於多個內部邊界上，也可能位於多個外部邊界上，根據控制變量所屬每個外表面所需滿足的方程及所屬每個內表面所需滿足的連接關係，採用配點法列出多重邊界節點所對應的控制變量所對應的多個有限元代數方程A4X = B4。由於一個多重邊界節點所對應的控制變量對應於多個代數方程，所以，此步驟所生成的代數方程的個數大於多重邊界節點所對應的控制變量的數目。
[0052]步驟7:將步驟4、步驟5和步驟6中生成的有限元代數方程合併，生成待求解的過約束代數方程組，應用奇異值分解法求解該過約束代數方程組，最終獲得所有控制節點對應的控制變量。
【權利要求】
1.一種Nurbs基有限元法中多重邊界節點的配點處理方法，其特徵在於:採用以下步驟: 步驟1:對零部件中存在多重邊界節點的求解區域進行離散，並進行升階及節點插入，以滿足求解精度的要求； 步驟2:生成求解區域離散後的控制節點，將控制節點按照所對應的基的順序依次連接生成求解區域的控制框架； 步驟3:為每個控制節點配置一個待求的控制變量，並根據控制節點的點、線、面關係，判斷控制變量所對應的空間位置: 如果控制節點位於控制框架的內部，則所對應的控制變量位於求解區域內部； 如果控制節點位於控制框架的某個表面上，則所對應的控制變量位於求解區域的一個表面上； 如果控制節點位於控制框架的多個表面的交集上，則所對應的控制變量位於求解區域的多個表面的交集上； 如果多個控制框架有交集，則其交集中的控制節點所對應的控制變量位於求解區域的內表面上； 步驟4:對於已經分類的控制變量中的內部變量，根據所採取的有限元法，生成所有內部變量所對應的有限元代數方程； 步驟5:採用配點法為所有不屬於多重邊界節點的內表面節點所對應的控制變量生成有限元代數方程；採用配點法為所有不屬於多重邊界節點的外邊界節點所對應的控制變量生成有限元代數方程； 步驟6:根據多重邊界節點所對應的控制變量所屬每個外表面所需滿足的方程及所屬每個內表面所需滿足的連接關係，採用配點法為多重邊界節點所對應的控制變量生成多個所對應的有限元代數方程； 步驟7:將步驟4、步驟5和步驟6中生成的有限元代數方程合併，生成待求解的過約束代數方程組，應用奇異值分解法求解該過約束代數方程組，最終獲得所有控制節點對應的控制變量。
【文檔編號】G06F17/50GK104008242SQ201410230786
【公開日】2014年8月27日 申請日期:2014年5月28日 優先權日:2014年5月28日
【發明者】莫蓉, 王文慧, 張洪海, 高瑾宇 申請人:西北工業大學