預測周期性多孔材料等效楊氏模量的方法
2023-07-08 22:12:51 1
專利名稱：預測周期性多孔材料等效楊氏模量的方法
技術領域：
本發明涉及一種預測材料等效楊氏模量的方法，具體是預測周期性多孔材料等效楊氏模量的方法。
背景技術：
文獻1 "B Hassani， E Hinton. A review of homogenization and topology optimizationII-analytical and numerical solution of homogenization equations. Computers and Structures 69，1998， 719-738."公開了一種基於小尺度漸近展開求解實體層合材料體胞的等效模量的均勻化方法，同時給出了矩形孔洞材料單胞等效模量的數值計算結果。該方法為宏觀尺度下的材料等效性能與材料尺度下的微結構構型、組分材料的力學性能以及材料體分比建立了嚴格的數學描述關係。但是，此方法所計算等效楊氏模量僅取決於不同材料相的體分比與彈性模量，而與體胞的大小無關，無法反映體胞的尺寸對單胞力學性能的影響。
文獻2 "L J Gibson, M F Ashby. Cellular solids: structure and properties (2nd ed) [M].Cambridge University Press, 1997."提出了一種對於薄壁單胞，體胞變形機理滿足歐拉梁假設的細觀力學方法，並對薄壁規則構型的單胞，如正方形單胞，三角形單胞，六邊形單胞的等效彈性參數進行預測。然而，當單胞不滿足薄壁假設時，等效楊氏模量預測結果誤差就會很大；並且當組成單胞材料的體分比保持不變時，計算結果無法反映體胞尺寸對單胞力學性能的影響。
發明內容
為了克服現有技術方法預測材料等效楊氏模量無法反映體胞尺寸變化的不足，本發明提供一種預測周期性多孔材料等效楊氏模量的方法，彎曲應變能等效的方法，可以在預測周期性多孔材料等效楊氏模量時，準確反映體胞尺寸變化對單胞力學性能的影響。
本發明解決其技術問題所採用的技術方案 一種預測周期性多孔材料等效楊氏模量的方法，其特點是包括下述步驟
(a) 建立周期性多孔梁結構的實體模型；
(b) 對周期性多孔梁結構實體模型進行純彎曲加載，依據結構沿:c方向的周期性和對稱性，單個周期/上的彎曲應變能^為
formula see original document page 3
式屮，M是彎矩，5向是隨x變化的應實體模型的楊氏模量，/向是隨x變化實體模型的結構相對於中性層的慣性矩，/是沿x方向實體模型微結構的周期；
(c) 將周期性多孔梁等效為均質梁；等效均質梁沿Jf方向的長度為Z,沿z方向的梁厚度為/ ;
(d) 對等效均質梁加載相同的彎矩i/,則沿x方向上/長度內的彎曲應變能《為
"一 2五h,
其中，五"表示單胞微結構等效彈性模量，/"表示等效結構相對於中性層的慣性矩；
(e) 由於周期性多孔結構等效前、後的彎曲應變能相等，則
l M2/ M2 r'l j
--^~7T =--血
2￡w/w 2 Jo￡(x)/(x)
(f) 周期性多孔材料等效楊氏模量是
￡(x)/(x)
(g)周期性多孔材料單胞等效楊氏模量是
A —/"
式中，"是單胞尺寸縮放因子，n=l，2...。
本發明的有益效果是由於採用彎曲應變能等效的方法，解決了現有技術預測周期性多孔材料等效楊氏模量時無法反應周期性多孔材料等效楊氏模量隨微結構尺寸變化的尺寸效應現象，給出了周期性多孔材料等效楊氏模量與尺度縮放因子n間的解析函數關係，真正反映出周期性多孔材料等效楊氏模量隨微結構尺度縮放因子"變化的尺寸效應。
下面結合附圖和實施例對本發明作詳細說明。
圖1是本發明方法一維周期性多孔陣列結構標樣圖。
圖2是本發明方法周期性多孔結構的純彎曲加載標樣圖。
圖3是本發明方法與周期性多孔結構相對應的等效結構標樣圖。
圖4是本發明方法周期性多孔結構等效結構的純彎曲加載標樣圖。
圖5是本發明方法尺寸效應標樣圖。
圖6是本發明方法實施例1正方形單胞及其構成的蜂窩梁標樣圖。
_^
匿a圖7是本發明方法實施例2三角形單胞及其構成的蜂窩梁標樣圖。圖8是本發明方法實施例3正六邊形單胞及其構成的蜂窩梁標樣圖。圖9是本發明方法實施例1正方形孔單胞等效楊氏模量相對尺度因子n標定函數關係圖。圖10是本發明方法實施例2正三角形孔單胞等效楊氏模量相對尺度因子w標定函數關係圖。
圖11是本發明方法實施例3正六邊形孔單胞等效楊氏模量相對尺度因子《標定函數關係圖。
具體實施例方式
以下實施例參照圖1-11。
實施例l:正方形孔單胞的等效楊氏模量。
1) 建立對於周期性正方形孔多孔梁結構，其參數有梁的長度Z =60，沿X方向微結構的周期長度/=1，沿Z方向梁的厚度/^2/，正方形孔單胞壁厚/=0.1;實體材料屬性為楊氏模
量五-70e9，泊松比v-0.34，密度/ =2774;設此時的尺度縮放因子w=l。
2) 對周期性正方形孔多孔梁結構進行純彎曲加載，依據結構沿x方向的周期性和對稱性，
單個周期/上的彎曲應變能仏為
M2 r' 1
仏
2 J。五(jc)/(x)
-血
其中，￡fx>=￡， /(^為
,0)
1 12
0，
2
U
/ —上，/2
/， =1^2/—丄M/2 +丄&3, Jfl
—44 6
;2-
3) 建立等效均質梁模型。等效均質梁沿;c方向的長度為丄-60,沿z方向的梁厚度為/^2。
4) 對等效均值梁加載相同的彎矩M，則沿x方向上/長度內的彎曲應變能K為
* 2
其中，等效結構相對於中性層的慣性矩產為
一1T
5) 依據等效性，可知周期性多孔結構等效前後的彎曲應變能相等，貝U1 M2/ — M25 — 了
6)微結構的等效楊氏模量可以表示為
-A
r-丄
1
E(x)/(;c)叫/2
(A = 2/)
/ ^ /
7)微結構單胞尺寸隨尺度縮放因子"的變化而變化，而結構體分比在這一過程中保持不
變；因此微結構的等效楊氏模量應表示為
其中，￡(3c, j=￡:， /f^，^為:
1 12
12 3 fb
2/7
.2 .
2"
2 2
由此得到正方形孔單胞等效楊氏模量5"與尺度縮放因子《的函數解析表達式，該式真正反映出等效楊氏模量隨單胞尺寸變化而變化的尺度效應。
實施例2:正三角形孔單胞的等效楊氏模量。
1)建立對於周期性正三角形孔多孔梁結構，其參數有梁的長度丄=60，沿x方向微結構A.
的周期長度/=1，沿Z方向梁的厚度/^二/,正三角形孔單胞壁厚/=0.1;實體材料屬性為
2
楊氏模量￡ =7(^9，泊松比v = 0.34,密度p =2774;設此時的尺度縮放因子"=1 。
2)對周期性正三角形孔多孔梁結構進行純彎曲加載，依據結構沿x方向的周期性和對稱性，單個周期/上的彎曲應變能^為
A/2 c' 1
2
五(x)/(x)
其中，￡(^=五，/向為:
12 \7 4
3)建立等效均質梁模型。等效均質梁沿x方向的長度為丄=60，沿z方向的梁厚度為
61
-A"A.
2
4)對等效均值梁加載相同的彎矩M，則沿x方向上/長度內的彎曲應變能《為:
丄M"
6 - 2五"》
其中，等效結構相對於中性層的慣性矩/"為
5)依據等效性，可知周期性多孔結構等效前後的彎曲應變能相等，則
1似2/ — M'壙 1
2五"/" 2 j。￡(x)/(jc) 6)微結構的等效楊氏模量可以表示為
￡ff =，
tic
/r1 arctan
/z3 + r!
7)微結構單胞尺寸隨尺度縮放因子w的變化而變化，而結構體分比在這一過程中保持不 變；因此微結構的等效楊氏模量應表示為
-In
由此得到正三角形孔單胞等效楊氏模量五"與尺度縮放因子"的函數解析表達式，該式真 正反映出等效楊氏模量隨單胞尺寸變化而變化的尺度效應。
實施例3:正六邊形孔單胞的等效楊氏模量。
1)建立對於周期性正六邊形孔多孔梁結構，其參數有梁的長度丄=60，沿;c方向微結構
的周期長度3/=3，沿2方向梁的厚度/ = 7^,正六邊形孔單胞壁厚^=0.1;實體材料屬性為:
T^7
ln
W 打 W /7
M 、3
8 w
77 W WW
+ (_03+6哉—,): 8 " w
7楊氏模量五-70e9,泊松比v = 0.34,密度戶=2774;設此時的尺度縮放因子『1。
2)對周期性正六邊形孔多孔梁結構進行純彎曲加載，依據結構沿x方向的周期性和對稱
性，單個周期/上的彎曲應變能"為
formula see original document page 8
3) 建立等效均質梁模型。等效均質梁沿x方向的長度為￡ =60，沿z方向的梁厚度為
4) 對等效均值梁加載相同的彎矩M,則沿X方向上/長度內的彎曲應變能《為
A 2
其中，等效結構相對於中性層的慣性矩,為
formula see original document page 8
5) 依據等效性，可知周期性多孔結構等效前後的彎曲應變能相等，則
formula see original document page 8
6)微結構的等效楊氏模量可以表示為
formula see original document page 8
7)微結構單胞尺寸隨尺度縮放因子n的變化而變化，而結構體分比在這一過程中保持不 變；因此微結構的等效楊氏模量應表示為formula see original document page 9
由此得到正六邊形孔單胞等效楊氏模量五"與尺度縮放因子"的函數解析表達式，該式真 正反映出等效楊氏模量隨單胞尺寸變化而變化的尺度效應。
從圖9中可以看到，採用本發明方法預測正方形孔單胞等效楊氏模量隨著尺度縮放因子《
的增加而逐漸減小，當/ ^且尺度縮放因子"400時，上式簡化為
五h =丄￡ = ￡ /
這一結果與均勻化方法和G-A細觀力學法求得的結果完全一致。說明均勻化方法和G-A 細觀力學法求得的結果是微結構單胞無窮小時的極限值。
從圖10中可以看到，採用本發明方法預測正三角形孔單胞等效楊氏模量隨著尺度縮放因 子n的增加而逐漸減增大並最終趨近於均勻化方法和G-A細觀力學方法的求解結果。
從圖ll中可以看到，採用本發明方法預測正六邊形孔單胞等效楊氏模量隨著尺度縮放因 子"的變化而呈非單調變化趨勢。當尺度縮放因子n增大時，正六邊形孔單胞的等效楊氏模量 由小變大；當"=5時，五"達到最大值，此後逐漸減小並最終趨近於均勻化的結果。
權利要求
1、一種預測周期性多孔材料等效楊氏模量的方法，其特徵在於包括下述步驟(a)建立周期性多孔梁結構的實體模型；(b)對周期性多孔梁結構實體模型進行純彎曲加載，依據結構沿x方向的周期性和對稱性，單個周期l上的彎曲應變能Ub為<![CDATA[ U b= M2 2 0 l 1 E ( x )I ( x ) dx ]]>式中，M是彎矩，E(x)是隨x變化的應實體模型的楊氏模量，I(x)是隨x變化實體模型的結構相對於中性層的慣性矩，l是沿x方向實體模型微結構的周期；(c)將周期性多孔梁等效為均質梁；等效均質梁沿x方向的長度為L，沿z方向的梁厚度為h；(d)對等效均質梁加載相同的彎矩M，則沿x方向上l長度內的彎曲應變能U′b為<![CDATA[ U b = 1 2 M 2l E H I H ]]>其中，EH表示單胞微結構等效彈性模量，IH表示等效結構相對於中性層的慣性矩；(e)由於周期性多孔結構等效前、後的彎曲應變能相等，則U′b＝Ub<![CDATA[ 1 2 M 2l E H I H = M2 2 0 l 1 E ( x )I ( x ) dx ]]>(f)周期性多孔材料等效楊氏模量是<![CDATA[ E H= l IH [ 0 l 1 E ( x )I ( x ) dx] -1 ]]>(g)周期性多孔材料單胞等效楊氏模量是<![CDATA[ E H= l IH [ 0 l 1 E ( x , n )I ( x , n ) dx] -1 ; ]]>式中，n是單胞尺寸縮放因子，n＝1，2……。
全文摘要
本發明公開了一種預測周期性多孔材料等效楊氏模量的方法，首先建立周期性多孔梁結構的實體模型；對周期性多孔梁結構實體模型進行純彎曲加載；將周期性多孔梁等效為均質梁；對等效均質梁加載相同的彎矩，預測周期性多孔材料等效楊氏模量和周期性多孔材料單胞等效楊氏模量。由於採用彎曲應變能等效的方法，解決了現有技術預測周期性多孔材料等效楊氏模量時無法反應周期性多孔材料等效楊氏模量隨微結構尺寸變化的尺寸效應現象，給出了周期性多孔材料等效楊氏模量與尺度縮放因子n間的解析函數關係，真正反映出周期性多孔材料等效楊氏模量隨微結構尺度縮放因子n變化的尺寸效應。
文檔編號G01N3/00GK101566544SQ20091002271
公開日2009年10月28日 申請日期2009年5月26日 優先權日2009年5月26日
發明者進 張, 張衛紅, 戴高明 申請人:西北工業大學