壓電精密位置平臺自適應輸出反饋逆控制方法與流程
2023-11-12 04:39:37 2
本發明屬於精密加工製造領域，是一種壓電精密位置平臺自適應輸出反饋逆控制方法。
背景技術：
在現有技術中，基於智能材料的執行器被廣泛地應用在微型和納米級系統，金屬切削系統和其他超高精密定位系統。然而，在智能材料為基礎的執行器中存在不可避免的缺點是滯後現象非線性。因為滯後是不可微分和多值的，當一個控制系統對於滯後缺乏補償時，它可能會表現出不理想的屬性，如振蕩，甚至不穩定。
通常處理滯後的方法一種是構造磁滯的逆模型，並且將其作為補償器放在執行器之前的控制系統中；另一種方法是在不建立磁滯逆模型的情況下設計魯棒自適應方案來減輕磁滯的影響。對於第一種方法，因為磁滯通常是未知的，磁滯模型和其逆之間的解析誤差表達式是難以建立的。在第二種方法中，把未知磁滯分為線性和非線性部分，其中非線性部分通常作為幹擾。這就是第二種方法被設計的原因。然而，由於滯後的非線性部分可能是無界的，這意味觀測器誤差可能沒有上界,當輸出信號可以獲得時，在沒有建立磁滯逆的情況下，第二種方法有可能會無效。到目前為止，很難獲得的具有磁滯逆補償器的輸出反饋控制方案。
在壓電精密位置平臺控制系統中，由於速度和加速度通常不方便測量，一種可實現的魯棒自適應輸出反饋控制算法仍然無法獲得。
技術實現要素：
本發明的目的是針對輸出可測、存在磁滯輸入的壓電精密位置平臺，採用基於觀測器的輸出反饋自適應動態面控制、PI模型逆和徑向基神經網絡相結合的壓電精密位置平臺自適應輸出反饋逆控制方法，可保證其跟蹤誤差的任意小的L∞範數和閉環系統中的所有信號是半全局最終一致有界的，克服了反推控制方案中的「微分爆炸」問題，簡化控制器結構，減少計算量，更便於實時控制。
實現本發明目的採用的技術方案是：一種壓電精密位置平臺自適應輸出反饋逆控制方法，其特徵是，它包括以下內容：
1)壓電精密位置平臺數學模型
考慮到一類加入回滯的非線性系統表達式為：
y＝x1,i＝0,1,…,n-1 (1)
其中，是狀態向量；未知光滑線性函數，di(t)是外部幹擾，b0是未知常數參數，w∈R是未知的回滯現象，表示為：
w(u)＝P(u(t)) (2)
u是執行器的輸入信號，P是滯後算子，
對於系統式(1)，以下假設是必需的：
A1:幹擾di(t),i＝1,···,n，滿足：
其中，是一些未知正常數；A2:在設計處理下，期望軌跡yr是光滑的，且yr(0)是能夠得到的；對於所有的t≥0，屬於一個已知的緊集；A3:b0的符號是已知的,不失一般性，為了方便，假設b0＞0；
2)Prandtl-Ishlinskii(PI)模型及其逆
採用適用於描述壓電執行器中磁滯模型的PI模型，且採用其相應的模型逆來減輕磁滯現象的影響，
w(t)＝P[u](t) (4)
其中P[u](t)定義為：
其中r是閾值，p(r)是給定的密度函數滿足p(r)＞0，中，為了方便起見，是由密度函數p(r)所決定的常數，Λ表示積分的上限，令fr:R→R，由(6)式定義：
fr(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w)) (6)
進而，play算子Fr[u](t)滿足：
其中，0≤i≤N-1，0＝t0＜t1＜…＜tN＝tE是[0,tE]上的一個分割，以使函數u在(ti,ti+1]上的每個子區間是單調的，即非增或非減，
為了補償式(1)中回滯非線性w(u)，構造PI模型的逆：
其中，ο表示補償算子；P-1[·](t)是PI模型的逆補償算子，
其中是常數，表示的是式(9)中的積分上限，且，
由於在實際中，回滯是無法獲得的，這就意味著密度函數p(r)需要在測量數據的基礎上來得到，逆模型是在基於估計密度函數基礎上構造的，使用作為P[u](t)的估計值，因此，通過將補償理論應用到P[·](t)和得：
其中，γ(r)，δ(r)是P[·](t)和初始載入曲線，ud是被設計的控制信號，
考慮到式(11)和不等式Fr[ud](t)+Er[ud](t)＝ud(t)，得出：
w(t)＝φ′(Λ)ud+db(t) (12)
其中φ′(Λ)正常數，Er(·)是PI模型的stop算子，由於|Er(·)|＜Λ，有界且滿足：
|db(t)|≤D (13)
其中，D正常數，從式(11)至式(12)獲得分析誤差e(t)表達式為：
將式(12)代入式(1)，得：
其中，bΛ是正常數且滿足：
bΛ＝b0φ′(Λ) (16)
3)徑向基函數神經網絡(RBFNNs)對未知項逼近
遵循引理1，採用一個權重屬性的線性徑向基函數神經網絡(RBFNNs)來近似緊集中的一個連續函數，
引理1:對任意給定的連續實函數f而言，RBFNNs是一個全局逼近器，f:Ωξ→R其中，ξ是神經網絡的輸入，q是輸入維數。對於任意的εm＞0，通過適當的選擇σ和ζk∈Rq,k＝1,…,N，之後，存在一個RBFNN使得：
f(ξ)＝ψT(ξ)θ*+ε (17)
其中θ*是θ＝[θ1,…,θN]∈RN最優權值向量，且定義為：
其中，Y(ξ)＝ψT(ξ)θ表示的是RBFNNs的輸出，ψ(ξ)＝[ψ1(ξ),…,ψN(ξ)]∈RN是基本函數向量，通常情況下，所謂的高斯函數一般按如下形式作為基本函數：
其中，σ＞0,k＝1,…,N，是常值向量，稱為基本函數的中心；σ是實數，稱為基本函數的寬度，ε是近似誤差，且滿足：
ε＝f(ξ)-θ*Tψ(ξ) (20)
使用引理1和式(17)，RBFNNs作為逼近器來近似式(17)中的未知連續函數，得(21)式：
其中，εi,i＝1…,N是任意正常數，表示神經網絡逼近誤差，且，
其中是狀態變量x1,…,xi的估計值，並會在式(40)中引入，
將式(21)代入式(15)，得:
系統式(1)表達成下面的狀態空間形式：
其中，b＝[0,…0,bΛ]T∈Rn,e1＝[1,0,…,0]T，
B＝Db+ε+d (25)
其中，d＝[d1(t),…,dn(t)]T,ε＝[ε1,…,εn]T,Db＝[0,…,0,db(t)]T∈Rn是類幹擾項，
其中，在式(19)中被定義，對於一類回滯非線性系統，控制的目標是建立一種基於自適應神經網的輸出反饋動態面控制方案，使得與跟蹤誤差的L∞範數一致，輸出信號y能很好的跟蹤參考信號yr，且閉環系統的所有信號都是一致有界的；
4)基於觀測器的自適應動態面逆補償器設計
①高增益卡爾曼濾波觀測器
將式(24)轉變為(27)式：
令
A0＝A-qe1T (28)
其中，q＝[q1,…,qn]，通過適當的選擇向量q使A0為赫維茨矩陣，
構造高增益卡爾曼濾波器來估計式(27)中的狀態變量x，
其中k≥1是正設計參數，en代表的屬於Rn形式的n階坐標向量，且，
Φ＝diag{1,k,…,kn-1} (32)
從式(29)至式(32)，估計狀態向量如下，
進一步，定義估計誤差，
然後，得，
其中，ε1是ε的第一項，B在式(25)中已定義；
引理2：令高增益卡爾曼濾波器由式(29)-式(31)和如下二階函數定義，
Vε:＝εTPε (36)
其中，是正定矩陣且滿足：
其中，A0由式(28)定義，令：
其中，||B||max是||B||的最大值。對於任意的k≥1，對式(36)求導得：
由於式(33)中的bΛ和θ*未知，是無法獲得的，因此實際的狀態估計是：
其中，和是bΛ和θ*的估計值，
改進的所述高增益卡爾曼濾波器是用來處理定義在式(25)中的有界B項，通過適當的選擇式(29)至式(31)中的設計參數k≥1和式(32)中定義的矩陣Φ，能夠使觀測誤差ε任意小；
②動態面逆控制器設計
控制器的設計包括替代變量、控制律和自適應律，其中τ2,…,τn是低通濾波器的時間常數，li,i＝1,…,n和γθ,σθ,γζ,σζ,γb,σb是正的設計常數，
替代變量：S1＝y-yr (T.1)
Si＝v0,i-zi,i＝2,…,n (T.2)
其中，zi有下式產生，
其中，
且
控制律：
自適應律：
發明的一種壓電精密位置平臺自適應輸出反饋逆控制方法的優點體現在：
1)設計的高增益狀態觀測器來估計系統的狀態，並且處理系統和環境幹擾中的不確定項，因此，相較於狀態反饋控制算法，只有控制系統的輸出是要求可以獲得情況下，才使所提出的控制算法更適合實際應用；
2)通過應用所提出的控制方案在壓電精密位置平臺上進行了試驗，其中壓電精密位置平臺可認為是一個只有系統的輸出是可以測量的三階系統；
3)通過調整狀態觀測器和未知參數的自適應律的初始條件，可以實現跟從誤差的任意小的L∞範數，克服了反推控制方案中的「微分爆炸」問題，簡化控制器結構，減少計算量，更便於實時控制。
4)其方法科學合理，適用性強，效果佳。
附圖說明
圖1為PI模型(a)、PI逆模型(b)和補償結果(c)示意圖；
圖2為逆補償方案示意圖；
圖3為本發明的壓電精密位置平臺自適應輸出反饋逆控制方法示意圖；
圖4為實際壓電精密位置平臺控制系統結構示意圖；
圖5為壓電精密位置平臺的一般原理示意圖；
圖6為壓電陶瓷執行器和PI模型之間輸入-輸出響應比較示意圖；
圖7為建模誤差示意圖；
圖8為仿真和實驗逆補償結果(3μm)示意圖；
圖9為仿真和實驗逆補償結果(5μm)示意圖；
圖10為實際位移輸出y和期望軌跡yr示意圖；
圖11為有磁滯補償和無磁滯補償時的跟蹤誤差示意圖；
圖12為有磁滯補償和沒有使用磁滯補償的控制電壓示意圖；
圖13為所提出的動態面法和傳統反推法的跟蹤誤差示意圖；
圖14為所提出的動態面法和傳統反推法的位移示意圖；
圖15為所提出的動態面法和傳統反推法的控制電壓示意圖。
圖1中，縱坐標表示磁滯輸出，橫坐標表示磁滯輸入；圖5中，kamp是固定增益；R0是驅動電路的等效內阻；vh是由於磁滯效應產生的電壓，H和Tem代表壓電效應；CA表示所有壓電陶瓷電容的總和；q和分別代表的是PCA中的所有電荷和由此流過電路的電流，qc是存儲在線性電容CA中的電荷。qp表示由於壓電效應從機械一側產生的傳導電荷，vA表示傳導電壓，對於機械部分，m，bs和ks分別表示質量，阻尼係數和運動機構的剛度；圖中橫坐標表示磁滯輸入，縱坐標表示磁滯輸出；圖4橫坐標表示時間，縱坐標表示輸出y對目標函數yr的跟蹤性能；圖6橫坐標表示時間，縱坐標表示位移；圖7橫坐標表示時間，縱坐標建模誤差(％)；圖8和圖9橫坐標表示期望位移，縱坐標表示實際位移；圖10橫坐標表示時間，縱坐標表示位移；圖11橫坐標表示時間，縱坐標表示跟蹤誤差；圖12橫坐標表示時間，縱坐標表示控制電壓；圖13橫坐標表示時間，縱坐標表示跟蹤誤差；圖14橫坐標表示時間，縱坐標表示位移；圖15橫坐標表示時間，縱坐標表示控制電壓。
具體實施方式
下面利用附圖和實施例對本發明作進一步說明。
本發明的壓電精密位置平臺自適應輸出反饋逆控制方法，包括以下內容：
1)壓電精密位置平臺數學模型
考慮到一類加入回滯的非線性系統表達式為：
y＝x1,i＝0,1,…,n-1 (1)
其中，是狀態向量；未知光滑線性函數，di(t)是外部幹擾，b0未知常數參數，w∈R未知的回滯現象，表示為：
w(u)＝P(u(t)) (2)
u是執行器的輸入信號，P是滯後算子，
對於系統式(1)，以下假設是必需的：
A1:幹擾di(t),i＝1,···,n，滿足：
其中，是一些未知正常數；A2:在設計處理下，期望軌跡yr是光滑的，且yr(0)是能夠得到的；對於所有的t≥0，屬於一個已知的緊集；A3:b0的符號是已知的,不失一般性，為了方便，假設b0＞0；
2)Prandtl-Ishlinskii(PI)模型及其逆
採用適用於描述壓電執行器中磁滯模型的PI模型，且採用其相應的模型逆來減輕磁滯現象的影響，
w(t)＝P[u](t) (4)
其中P[u](t)定義為：
其中r是閾值，p(r)是給定的密度函數滿足p(r)＞0，中，為了方便起見，是由密度函數p(r)所決定的常數，Λ表示積分的上限，令fr:R→R，由(6)式定義：
fr(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w)) (6)
進而，play算子Fr[u](t)滿足：
其中，ti＜t≤ti+1，0≤i≤N-1，0＝t0＜t1＜…＜tN＝tE是[0,tE]上的一個分割，以使函數u在(ti,ti+1]上的每個子區間是單調的，即非增或非減，
為了補償式(1)中回滯非線性w(u)，構造PI模型的逆：
其中，ο表示補償算子；P-1[·](t)是PI模型的逆補償算子，
其中是常數，表示的是式(9)中的積分上限，且，
由於在實際中，回滯是無法獲得的，這就意味著密度函數p(r)需要在測量數據的基礎上來得到，逆模型是在基於估計密度函數基礎上構造的，使用作為P[u](t)的估計值，因此，通過將補償理論應用到P[·](t)和得：
其中，γ(r)，δ(r)是P[·](t)和初始載入曲線，ud是被設計的控制信號，
考慮到式(11)和不等式Fr[ud](t)+Er[ud](t)＝ud(t)，得出：
w(t)＝φ′(Λ)ud+db(t) (12)
其中φ′(Λ)正常數，Er(·)是PI模型的stop算子，由於|Er(·)|＜Λ,有界且滿足：
|db(t)|≤D (13)
其中，D正常數，從式(11)至式(12)獲得分析誤差e(t)表達式為：
將式(12)代入式(1)，得：
其中，bΛ是正常數且滿足：
bΛ＝b0φ′(Λ) (16)
3)徑向基函數神經網絡(RBFNNs)對未知項逼近
遵循引理1，採用一個權重屬性的線性徑向基函數神經網絡(RBFNNs)來近似緊集中的一個連續函數，
引理1:對任意給定的連續實函數f而言，RBFNNs是一個全局逼近器，f:Ωξ→R其中，ξ是神經網絡的輸入，q是輸入維數。對於任意的εm＞0，通過適當的選擇σ和ζk∈Rq,k＝1,…,N，之後，存在一個RBFNN使得：
f(ξ)＝ψT(ξ)θ*+ε (17)
其中θ*是θ＝[θ1,…,θN]∈RN最優權值向量，且定義為：
其中，Y(ξ)＝ψT(ξ)θ表示的是RBFNNs的輸出，ψ(ξ)＝[ψ1(ξ),…,ψN(ξ)]∈RN是基本函數向量，通常情況下，所謂的高斯函數一般按如下形式作為基本函數：
其中，σ＞0,k＝1,…,N，ζk∈Rn是常值向量，稱為基本函數的中心。σ是實數，稱為基本函數的寬度，ε是近似誤差，且滿足：
ε＝f(ξ)-θ*Tψ(ξ) (20)
使用引理1和式(17)，RBFNNs作為逼近器來近似式(17)中的未知連續函數，得(21)式：
其中，εi,i＝1…,N是任意正常數，表示神經網絡逼近誤差，且，
其中是狀態變量x1,…,xi的估計值，並會在式(40)中引入，
將式(21)代入式(15)，得(23)式:
系統式(1)表達成下面的狀態空間形式：
其中，b＝[0,…0,bΛ]T∈Rn,e1＝[1,0,…,0]T，
B＝Db+ε+d (25)
其中，d＝[d1(t),…,dn(t)]T,ε＝[ε1,…,εn]T,Db＝[0,…,0,db(t)]T∈Rn是類幹擾項，
其中，在式(19)中被定義，對於一類回滯非線性系統，控制的目標是建立一種基於自適應神經網的輸出反饋動態面控制方案，使得與跟蹤誤差的L∞範數一致，輸出信號y能很好的跟蹤參考信號yr，且閉環系統的所有信號都是一致有界的；
4)基於觀測器的自適應動態面逆補償器設計
①高增益卡爾曼濾波觀測器
將式(24)轉變為(27)式：
令
A0＝A-qe1T (28)
其中，q＝[q1,…,qn]，通過適當的選擇向量q使A0為赫維茨矩陣，
構造高增益卡爾曼濾波器來估計式(27)中的狀態變量x，
其中k≥1是正設計參數，en代表的屬於Rn形式的n階坐標向量，且，
Φ＝diag{1,k,…,kn-1} (32)
從式(29)-式(32)，估計狀態向量如下，
進一步，定義估計誤差，
然後，對式(34)求導得，
其中，ε1是ε的第一次取值，B在式(25)中已定義；
引理2：令高增益卡爾曼濾波器由式(29)-式(31)和如下二階函數定義，
Vε:＝εTPε (36)
其中，是正定矩陣且滿足：
其中，A0由式(28)定義，令：
其中，||B||max是||B||的最大值。對於任意的k≥1，對式(36)求導得：
由於式(33)中的bΛ和θ*未知，是無法獲得的，因此實際的狀態估計是：
其中，和是bΛ和的估計值，
改進的所述高增益卡爾曼濾波器是用來處理定義在式(25)中的有界B項，通過適當的選擇式(29)-式(31)中的設計參數k≥1和式(32)中定義的矩陣Φ，能夠使觀測誤差ε任意小；
②動態面逆控制器設計
控制器的設計包括替代變量、控制律和自適應律，其中τ2,…,τn是低通濾波器的時間常數，li,i＝1,…,n和γθ,σθ,γζ,σζ,γb,σb是正的設計常數，
替代變量：S1＝y-yr (T.1)
Si＝v0,i-zi,i＝2,…,n (T.2)
其中，zi有下式產生，
其中，
且
控制律：
自適應律：
1、穩定性指標分析
在這一部分中，將會對所提出的自適應輸出反饋DSIC方案的穩定性和性能分析進行討論，來分析穩定性和跟蹤誤差的L∞性能。
為了控制系統穩定性分析，定義的如下李雅普諾夫函數：
其中，Vε是關於高增益卡爾曼濾波觀測誤差ε的二次函數，其在引理2中已給出。
定理1：考慮到這種閉環系統，其包括具有式(4)所描述的磁滯非線性時滯系統(1)，(T.9)-(T.11)中的未知參數自適應律，與假設A1-A3有關的控制律(T8)。然後對於任意給定的正數p，如果式(41)中V(0)滿足V(0)≤p，
a)通過適當選擇設計參數k,l1,…,ln，時間常數τ2,…,τn，自適應律參數γθ,σθ,γζ,σζ,γb,σb，閉環系統所有信號一致有界，且可以任意小。
b)跟蹤誤差S1的L∞性能可以得到且任意小，結合式(T.5)與式(41)可得式(42)：
其中C1是正常數，且滿足
2、壓電精密位置平臺的實驗研究
A.實驗裝置
為了顯示所提出的控制方案的有效性，進行圖4所示壓電精密位置平臺的實驗研究。控制系統的組成要素如下：
···壓電陶瓷執行器：實驗中使用了Physik Instrument公司生產的壓電陶瓷執行器P-753.31 C。它提供了一個38μm峰值輸出位移，對執行器來說，電壓範圍是0-100V。
·電容傳感器：為了測量執行器的位移響應，使用了一個靈敏度為2.632V/μm的集成電容式傳感器。
·電壓放大器：使用了固定增益為10的電壓放大器(LVPZT,E-505)作為壓電執行器的勵磁電壓。
·數據採集系統：帶有16位模-數、數-模轉換器的dSPACE控制板用來獲得壓電精密位置平臺的位移，它是由電容傳感器測量獲得的。
B、壓電精密位置平臺的模型
從所積累的壓電精密位置平臺的建模結果來說，壓電精密位置平臺的一般原理圖模型可以由圖5表示，它是由壓電陶瓷執行器(PCA))和機械部分組成。圖5中，kamp是固定增益；R0是驅動電路的等效內阻；vh是由於磁滯效應產生的電壓。H和Tem代表壓電效應；CA表示所有壓電陶瓷電容的總和；q和分別代表的是PCA中的所有電荷和由此流過電路的電流。qc是存儲在線性電容CA中的電荷。qp表示由於壓電效應從機械一側產生的傳導電荷，vA表示傳導電壓。對於機械部分，m，bs和ks分別表示質量，阻尼係數和運動機構的剛度。基於上述壓電精密位置平臺的示意模型，定義描述壓電精密位置平臺的三階模型如下:
其中，在式(12)給出的w＝φ′(Λ)ud+db(t)是壓電執行器的輸出，且
C.關於磁滯建模及其逆補償器構造的實驗
為了便於對式(5)中所描述模型的參數識別，式(5)中對應的離散表達式如下：
為了獲得最優play算子pi,i＝1,2,3,…,n，來描述圖4中壓電陶瓷執行器P-753.31中的磁滯現象，結合如下約束二次優化：
min{[CΛ-d]T[CΛ-d]} (45)
其中C常數，d是正弦信號，Λ(i)滿足
Λ(i)≥0,i∈{1,2,3,…,n} (46)
通過使用實驗數據，用MATLAB中的最小二乘優化工具箱來辨識pi。而這些數據是基於圖4中實際壓電精密位置平臺控制系統，在一個所設計的振幅減少的正弦輸入信號d的條件下獲得的。由於建模誤差是不可避免的，我們只能獲得pi的估計參數ri＝[0,0.1,1.7834,3.4669,5.1503,6.8338,8.5172,10.2007,11.8841,13.5676,15.2510,21.9848,32.0855]。圖6顯示了在壓電陶瓷執行器(虛線)和PI模型(實線)之間的輸入輸出響應的比較。圖7所示的建模誤差定義如下：
其中，x(t)和w(t)分別表示壓電陶瓷執行器和PI模型的輸出。比較結果和建模誤差(小於1％)表明PI模型確實與實驗數據吻合的比較好。
利用上述PI模型的辨識參數和式(10)中的解析逆可以表示為離散表達式的數值實現如下：
且因此，閾值和權值計算如下：為了表明式(48)中所建立逆補償器的有效性，經圖4所示的dSPACE模塊將MATLAB/SIMULINK中的代碼轉換為實時代碼，由此進行了實驗。一個輸入信號ud(t)＝B1sin(2πft)，其中B1＝3μm,5μm,f＝1Hz，應用到補償器中，並且通過功率放大器(LVPZT,E-505)將輸出應用到壓電陶瓷執行器中。
執行器的位移響應緊接著由圖4中的傳感器監測測量得到，然後下載到dSPACE模塊中。為了對仿真結果與實驗結果作比較，逆補償器的仿真也是在MATLAB/Simulink進行。圖8展示了當應用圖2中磁滯逆補償器時，仿真結果與實驗結果的比較。從圖8和圖9中的仿真結果可以看出，期望位移和輸出位移之間存在一個完美的線性輸入輸出關係，這暗示了磁滯的作用被完全取消了。然而，存在一個逆補償誤差，其在圖8和圖9的實驗結果中清楚的展現出來。事實上，補償誤差可能是由建模誤差和環境幹擾引起的。從圖8(B1＝3μm)的實驗結果來看，輸入和輸出之間仍然是滯環的關係，這表明磁滯不能完全消除。因此，應用所提出的輸出反饋自適應控制方案來減小補償誤差。
現在，令x1＝x,之後，式(43)可以表達為如下：
其中，w表示在圖5中所示的壓電陶瓷執行器中的磁滯非線性。
D.控制器的設計步驟和實驗結果
基於觀測器的自適應動態面逆補償器設計的部分，在這個實驗中，高增益K-濾波器按照式(29)至式(31)設計，其中，v(0)＝ξ0(0)＝Ξ(0)＝0,k＝1.5,q＝[3,2,1]T。對於神經網絡系統ψ3(ξ3)，我們選擇了帶有基本函數中心的5個節點，ζj,j＝1,…,5，其大小依次為-0.5,0,1,2,3,4,5,6，寬度ηj＝1,j＝1,…,7；接下來，ΨT(ξ)＝diag{0,0,ψ3}，其中ψ3＝[ψ3,1(ξ1),…,ψ3,7(ξ1)]。根據第III部分，動態面誤差是S1＝x1-yr，S2＝v0,2-z2，S3＝v0,3-z3。自適應律為虛擬控制律選擇為其中最終的控制律選為在第1,2步中的一階濾波器為其中，與之對應的是，上述自適應律和控制信號的設計參數選擇為l1＝50,l2＝2，l2＝l3＝2,γζ＝5,σζ＝0.7,γθ＝2,σθ＝0.9,γb＝5,σb＝0.9。自適應律的初始條件選為
為了驗證所提出的控制方案的有效性，在壓電精密位置平臺上進行了下面兩個試驗。為了達到實時控制的目的，在dSPACE控制面板上，將改進的自適應輸出反饋控制算法轉化為由C語言編譯的採樣頻率為10kHz的S函數文件。
A.多頻率軌跡跟蹤試驗
本實驗中，是在兩種情況下對多頻率期望軌跡yr＝3+2sin(2π*2t)+sin(2π*15t)進行運動跟蹤控制：有和沒有式(48)中所構造的磁滯補償。實驗結果如圖10-15所示。圖10闡明了壓電陶瓷執行器實際位移y(實線)和期望軌跡yr(虛線)的位移。可以看出，實現了一個相當令人滿意的跟蹤性能，其跟蹤誤差及其小。圖11展示了有和沒有使用磁滯補償的跟蹤誤差。圖11清楚的表明，與沒有使用磁滯補償的情況相比，加入磁滯補償其暫態和穩態跟蹤誤差更小。例如，如果用errormax＝max(|y-yr|)來表示跟蹤誤差的最大值，在沒有使用磁滯補償的情況下，errormax是0.014μm，而加入磁滯的情況下errormax只有0.0059μm，是沒有加入磁滯補償情況的一半。此外，由於良好的跟蹤性能和極小的跟蹤誤差，圖10和圖11充分驗證了所提出的具有式(48)中磁滯補償器的輸出反饋控制方案的有效性。圖12表示的是控制電壓的軌跡，實線表示加入了磁滯補償，虛線表示沒有加入磁滯補償。應該指出的是，沒有磁滯補償的控制方案是圖3中「磁滯逆模型估計」沒有被包括的一種情況。然後，u＝ud和壓電精密位置平臺系統是在沒有任何補償的情況下，由控制信號ud直接驅動的。
B.單頻軌跡跟蹤和反推控制比較的實驗研究
為了展現所提出動態面控制的優勢，我們對動態面控制方案和反推控制方案做了比較。圖12-14表示的是期望軌跡為yr＝2sin(40πt)的實驗結果。圖12展示的是所提出的動態面控制方案的跟蹤誤差，其穩態誤差errormax＝0.0158μm，傳統反推控制方法穩態誤差為errormax＝0.0647μm。圖14和圖15分別展示了兩種方法之下的位移和控制電壓。從這些結果可以很明顯的看出，動態面法比傳統的反推控制法表現出更好的控制性能。
具體實施方式僅是對本發明的說明，並不構成對權利要求保護範圍的限制，本領域技術人員不經過創造性勞動的等同替代，均在本發明保護範圍內。