開平方根的筆算方法（手動開平方）

2023-11-11 05:51:18 3

（就是一個很簡單的問題，本來就想發個微頭條，結果字數又超過了，只能發成圖文了！

發現微頭條和文章編輯器的字數統計方法不一樣，而且結果相差很遠，同樣的內容微頭條竟然比文章多統計了 2370 - 1592 = 778 個字！）

#手動開平方#

大家在小學數學中一定都學過四則運算的計算方法，但是說到平方根計算方法，大家就不一定知道了。

實際上，早在秦朝，我國古代數學家就已經發現了，用算籌開平方的方法，這被記載在《九章算術》中。後來，魏晉大數學家劉徽，還在用一張圖（見圖1）給出了開平方的原理。

接下來，就讓小石頭把手動開平方的方法介紹給大家。

※※※

■ 問題：設 A 是一個正整數，求 A的帶餘數平方根，即，求滿足，

A = a² r (r ≥ 0)

的整數 a 和 r ，a 取最大值。

● 當 A較小時，我們可以從1開始，通過不斷嘗試，找到滿足，

a²≤A＜(a 1)²

的正整數 a，就是所求平方根，然後計算出餘數，

r = A - a² ①

● 當A較大時，用①方法，效率低下，這時可以考慮將 a 分為 a,b 兩部分，設 b 部分的位數為 n，則有，

a,b = a10ⁿ b

進而，有，

(a,b)² = (a10ⁿ b)² = a²10²ⁿ 2(a10ⁿ)b b² = a²10²ⁿ ((2a)10ⁿ b)b = a²10²ⁿ ((2a),b)b

於是，可以考慮將 A 也分為 A,B 兩部分，B 部分為 2n 位數，即有，

A,B = A10²ⁿ B

這樣，餘數為，

r = A,B - (a,b)² = (A10²ⁿ B) - (a²10²ⁿ ((2a),b)b) = (A - a²)10²ⁿ B - ((2a),b)b

其中，可以通過①方法求得 a 以及，

r₁ = A - a²

於是，有，

r = r₁10²ⁿ B - ((2a),b)b = r₁,B - ((2a),b)b

至此，可以從1開始，通過不斷嘗試，找到使得，

((2a),b)b ≤r₁,B＜((2a),(b 1))(b 1)

的正整數 b，從而得到平方根 a,b，最後計算出餘數，

r = A,B - (a,b)² ②

就可以了。

● 如果 A 還要大，則可以將 a 分為 a,b,c 三部分，讓 b和c 都是 n位，有，

a,b,c = (a,b)10ⁿ c

同時，將 A 分為 A,B,C 三部分，讓 B 和 C 都是 2n 位，有，

A,B,C = (A,B)10²ⁿ B

然後，與上面類似，可求得，

r = (A,B - (a,b)²)10²ⁿ C - ((2(a,b))10ⁿ b)b

其中，可以通過②方法，求得 a,b 以及

r₂ = A,B - (a,b)²

於是有，

r = r₂10²ⁿ C - ((2(a,b))10ⁿ c)c = r₂,C - ((2(a,b)),c)c

最後，類似②方法，求得正整數 c，從而得到平方根 a,b,c 和餘數，

r = A,B,C - (a,b,c)²

★ 總結：這樣，對於任意大的正整數 A 都可分為 A₁,A₂,...,Aᵩ，其中除了 A₁（小於等於 2n 位）外，其它 A₂,...,Aᵩ 都是 2n 位，同時將 a 分為 a₁,a₂,...,aᵩ ，其中除了 a₁（小於等於 2n 位）外，其它 a₂,...,aᵩ 都是 n 位，然後，

* 通過①方法方法可以計算出 a₁ 以及 r₁ = A₁ - a₁²；

* 歸納假設，已經計算出了 a₁,...,aᵢ₋₁ 以及 rᵢ₋₁ = A₁,...,Aᵢ₋₁ - (a₁,...,aᵢ₋₁)²，於是有，

rᵢ = (A₁,...,Aᵢ₋₁ - (a₁,...,aᵢ₋₁)²)10²ⁿ Aᵢ - ((2a₁,...,aᵢ₋₁),aᵢ)aᵢ = rᵢ₋₁,Aᵣ - ((2(a₁,...,aᵢ₋₁)),aᵢ)aᵢ

用 ② 方法，可求得 aᵢ 以及 rᵢ；

通過歸納的方法，最終這求得，

平方根 a = a₂,...,aᵩ

餘數 r = rᵩ

■ 問題：對於任意正小數A，求平方根a。

☆ 可以將 A 分為 A₁,A₂,...,Aᵩ.Aᵩ₊₁,Aᵩ₊₂, ... 其中除A₁外，其它部分都是 2n 位數（小數位數若不夠，可以補零），同時將 a分為 a₁,a₂,...,aᵩ.aᵩ₊₁,aᵩ₊₂,...，其中除a₁外，其它部分都是 n 位數，然後按照上面的歸納方法，遞歸到需要的精度的小數位數 e 即可，此時有：

a = a₁,a₂,...,aᵩ.aᵩ₊₁,aᵩ₊₂,...,aₑ

※※※

以上，就是手動開平方的原理。

實際運算中取 n = 1，並使用豎式進行運算（見圖2），