數列遞推公式及答案（這個一般會考到）

2023-05-20 11:10:01

關於高考數學相關的數列類問題，我們已經陸續講解了數列求和問題、數列類實際應用型問題、數列綜合運用問題等等。各個專題針對高考數列不同的考查方向和出題方式，如果大家對每個專題都能認真去研讀和思考，相信一定能幫助大家掌握好數列相關知識內容。

在講解幾個數列專題知識內容過程中，我們發現要順利解決數列問題，很多時候需要先找出數列的通項公式，或是遞推公式等等。很多考生無法解決數列問題，都是卡在這個問題上，無法找出數列的通項公式，自然數列問題就無法繼續下一步，更別說解決問題，拿到分數。

因此，今天我們就一起來講講數列問題當中關鍵解題步驟：如何求解數列的通項公式，即遞推數列問題。

什麼是數列的通項公式？

典型例題分析1：

數列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常數c≠0)，且a1，a2，a3成等比數列．

(1)求c的值；

(2)求數列{an}的通項公式．

解：(1)由題知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，

因為a1，a2，a3成等比數列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，

解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.

(2)當n≥2時，由an＋1＝an＋cn得

a2－a1＝c，

a3－a2＝2c，

…

an－an－1＝(n－1)c，

以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝n(n-1)c/2，

又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，

當n＝1時，上式也成立，

所以數列{an}的通項公式為an＝n2－n＋2(n∈N*)．

通過遞推數列來求通項類數列問題，很多時候我們都會碰到與函數、方程、不等式、三角、幾何等知識相結合的綜合問題。遇到此類問題，我們要學會利用第n與前n項和關係、構造等比等差數列、累積累差等求數列通項公式方法，提高將非特殊數列問題轉化為特殊數列問題及利用等比等差數列通項公式解題能力和分析問題解決問題能力。此類考查很多時候出現在小題或大題的第一小題中，是有一定難度的題目。

解決數列類問題，我們一定要緊緊抓住數列的函數特徵，如數列是一個定義域為正整數集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數，數列的通項公式也就是相應的函數解析式，即f(n)＝an(n∈N*)。

同時更要加深對數列概念的理解，如數列是按一定「順序」排列的一列數，一個數列不僅與構成它的「數」有關，而且還與這些「數」的排列順序有關，這有別於集合中元素的無序性。

因此，若組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那麼它們就是不同的兩個數列。數列中的數可以重複出現，而集合中的元素不能重複出現，這也是數列與數集的區別。

在求數列通項公式過程中需要用到一些數學思想，如根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著「從特殊到一般」的思想。因此，在平時的數學學習過程中，我們一定要多加積累數學思想方法，提高數學綜合能力。

典型例題分析2：

已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.求數列{an}與{bn}的通項公式．

解：∵當n≥2時，

an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，

當n＝1時，

a1＝S1＝4也適合，

∴{an}的通項公式是an＝4n(n∈N*)．

∵Tn＝2－bn，

∴當n＝1時，

b1＝2－b1，b1＝1.

當n≥2時，

bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，

∴2bn＝bn－1.

∴數列{bn}是公比為1/2，首項為1的等比數列．

∴bn＝(1/2)n－1.

根據數列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關係、規律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉化為一些常見數列的通項公式來求．對於正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整。

對已知數列的前n項和，求通向公式問題，常用公式：當n=1時，an=S1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1，分別來直接求出通項公式。對給出數列n項和與若干項的關係求通項公式問題，若利用上述公式易轉化轉化為關於an的遞推公式，則先求出an的遞推公式，再通過構造數列或累積或累差求出通項公式；若利用上述公式易轉化為關於Sn的遞推公式，則先求出Sn的遞推公式，再求出Sn的通項公式，再用上述公式，直接求出an的通項公式.再利用上述公式求通項公式時，注意要分n=1和n≠1分別求解，驗證n=1時是否適合n≠1的解析式，若不適合則寫成分段函數形式，若適合則用一個式子表示。

具體來說就是已知數列{an}的前n項和Sn，求數列的通項公式，其求解過程分為三步：

1、先利用a1＝S1求出a1；

2、用n－1替換Sn中的n得到一個新的關係，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式；

3、對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．

典型例題分析3：

在求通項公式過程當中，有時候我們需要構造等差數列或等比數列求數列通項公式。如對所給的數列條件通過取倒數、兩邊同除以某個式子、重新組合等變形方法，化為f(n 1)-f(n)=d(d為常數)（f(n 1)/f(n)=q（q為常數））的形式，常構造等差（等比）數列bn=f(n)，先利用等差（等比）數列通項公式求出bn的通項公式，再利用an與f(n)的關係，求出an的通項公式，注意結合結論尋找條件變形方向。