用於彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法

2023-05-02 03:48:16 1

用於彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法
【專利摘要】本發明公開了一種用於彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法，基於無量綱形式的動力學方程進行，將淺拱豎向彈性約束、轉動方向彈性約束的大小用相應的剛度參數表示，通過求微分方程的通解和特解來假定彈性邊界淺拱的模態，由模態係數矩陣對應的行列式等於零求自振頻率，通過淺拱動力學方程的Galerkin離散和多尺度攝動分析導出1:2，1:1，1:3三種內共振條件下極坐標形式的平均方程，即可得到發生內共振時的動力響應。本發明通過在模態和自振頻率中考慮約束剛度的思路解決了現有彈性邊界淺拱內共振時的動力響應求解的技術問題。保證了所建設淺拱的安全性和合理性，並且能夠延長淺拱的使用壽命。
【專利說明】用於彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法

【技術領域】
[0001] 本發明屬於橋梁工程【技術領域】，具體涉及一種用於彈性邊界淺拱發生內共振時動 力響應的求解方法。

【背景技術】
[0002] 淺拱是一種受力性能介於拱和梁之間的受力構件，它在外荷載下的動力學特性對 於把握淺拱類結構的力學性能研究具有重要的意義。淺拱在輕質、低阻和滿載設計條件下 容易發生大幅度的振動，而外激勵激發的內共振是一種典型的破壞性動力行為，在設計參 數的考慮上必須予以避免。
[0003] 已有淺拱的內共振研究主要針對理想的鉸支、固結等邊界，這些理想的邊界條件 下淺拱結構的模態能用簡單的解析函數表示，自振頻率可以方便地求解。而針對彈性邊界 淺拱，由於彈性約束常數的不確定性使得這種方便簡易的求解條件不具備，導致目前彈性 邊界淺拱的內共振研究不能考慮彈性約束，動力響應缺乏有效的求解方法，相應的研究未 見報導。


【發明內容】

[0004] 本發明的目的是提供一種用於彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法， 解決了現有技術中存在的在彈性邊界淺拱的自振頻率和模態中能夠解析考慮大小不確定 的彈性約束剛度的影響、建設淺拱時發生位移和形變的問題。
[0005] 本發明所採用的技術方案是，一種彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方 法，具體按照以下步驟實施：
[0006] 步驟1、基於彈性邊界淺拱，建立彈性邊界淺拱的動力學控制方程，對彈性約束邊 界進行描述，得到彈性約束邊界的表達式；
[0007] 步驟2、基於步驟1中動力學控制方程，引入彈性邊界淺拱的模態和自振頻率；並 結合步驟1中的邊界的表達式對彈性邊界淺拱的模態和自振頻率進行求解；
[0008] 步驟3、通過淺拱動力學控制方程的Galerkin離散和多尺度攝動分析導出三種內 共振條件下極坐標形式的平均方程以及發生內共振時的動力響應的表達式，並進一步對平 均方程進行求解得到淺拱發生內共振時的動力響應。
[0009] 本發明的特點還在於，
[0010] 步驟1中的基於彈性邊界淺拱，建立彈性邊界淺拱的動力學控制方程，對彈性約 束邊界進行描述，得到彈性約束邊界的表達式，具體按照以下步驟實施：
[0011] 彈性邊界條件下，在直角坐標系《5-圩下跨徑為/的彈性邊界淺拱的動力學控制方 程為：
[0012]

【權利要求】
1. 一種彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法，其特徵在於，具體按照以下 步驟實施： 步驟1、基於彈性邊界淺拱，建立彈性邊界淺拱的動力學控制方程，對彈性約束邊界進 行描述，得到彈性約束邊界的表達式； 步驟2、基於步驟1中動力學控制方程，引入彈性邊界淺拱的模態和自振頻率；並結合 步驟1中的邊界的表達式對彈性邊界淺拱的模態和自振頻率進行求解； 步驟3、通過淺拱動力學控制方程的Galerkin離散和多尺度攝動分析導出三種內共振 條件下極坐標形式的平均方程以及發生內共振時的動力響應的表達式，並進一步對平均方 程進行求解得到淺拱發生內共振時的動力響應。
2. 根據權利要求1所述的彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法，其特徵在 於，所述步驟1中的基於彈性邊界淺拱，建立彈性邊界淺拱的動力學控制方程，對彈性約束 邊界進行描述，得到彈性約束邊界的表達式，具體按照以下步驟實施： 彈性邊界條件下，在直角坐標系5-埗下跨徑為f的彈性邊界淺拱的動力學控制方程 為：
其中，其中< 4為兩端豎向支撐剛度,4, 4為兩端轉動支撐剛度為初始時刻的 拱軸線形，任意一點在?時刻外荷載/t.i, /Μ乍用下發生水平位移(?, ?和堅直位移訴A f)?對於 淺拱有①平截面假定、②不考慮剪切變形和轉動慣量、③忽略縱向慣性、④零初始軸力等基 本假定， 式中，A為截面積，I為轉動慣量，P為密度，E為彈性模量，p為阻尼係數；邊界的彈性 約束條件為
其中rxS截面轉動半徑，公式（1)可以簡化為
式中，
為阻尼項，
為諧波激勵（外荷載項），
二次非線性項，
為三次非線性項，公式（2) 中的邊界條件可以寫為
式中Bi(u) (i = 1?4)為邊界的一般表達式，Bju)表示一端堅向彈性約束，B3(u)表 示一端轉動彈性約束，B2(u)表示另一端堅向彈性約束，B4(u)表示另一端轉動彈性約束。
3.根據權利要求1所述的彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法，其特徵在 於，所述步驟2中基於步驟1中動力學控制方程，引入彈性邊界淺拱的模態和自振頻率；對 彈性邊界淺拱的模態和自振頻率進行求解，具體按照以下步驟實施： 將步驟1中的公式（4)中的阻尼項、外荷載項及非線性項去掉，得彈性邊界淺拱對應的 線性方程
(6) 利用公式（6)即求解彈性邊界淺拱的自振頻率和模態； 設公式￠)的方程解的一般形式為 u (x, t) = Φ (x) e1Mt (7) 式中ω為系統的頻率，將上式其代入公式（6)，得與公式（4)對應的線性系統的特徵方 程
(8) 上標撇表示對X微分，方程的解由微分方程的通解Φ^χ)和特解Φρ(χ)兩部分組成， 即 Φ (x) = φ--(χ) + φρ(χ) (9) 對於系統的頻率ω，式（8)的通解表示為
(10) 其中Ci(i =丨?幻是係數，式（8)積分符號內的項
為一個常數，針對不同的 初始拱軸線形ψ(χ)特徵方程的特解有不同的形式，當ψ(χ) =b sin 3ix(b為矢高） 時，Φρ(χ)可以表示為c5sin：nx(c5為係數）
Φρ(χ)可以表示為 c5cos2 ji X ； 將模態方程式（9)代入邊界條件式（5)和式（8)中，即得到自振頻率和模態的求解方 程：
式（11)中，由Ci(i = 1?5)的係數矩陣所對應的行列式等於零得η階頻率％和 相應的模態Φη(χ) ;Ci的係數矩陣對應行列式等於零所得一般為關於ωη的超越方程，採 用Mathematica，Matlab等軟體進行計算；將所得模態標準正交化有( Snm是 Kronecker delta函數）；在分析式（5)中1^等彈性支撐淺拱的約束參數對自振頻率和模 態的影響時，假定某一參數在一定區間之內變化而其餘參數保持不變； 具體地，當Ψ (X) = b sin π X時（其中，b表示淺拱的矢高），式（11)的求解方程展 開為
其中

(其中，b表示淺拱的矢高）時，式（11)的求解方程展開為
4.根據權利要求1所述的彈性邊界淺拱發生內共振時動力響應的求解方法，其特徵在 於，所述步驟3通過淺拱動力學控制方程的Galerkin離散和多尺度攝動分析導出三種內共 振條件下極坐標形式的平均方程，即得到發生內共振時的動力響應的求解式，並對動力響 應的求解式進行求解，具體按照以下步驟實施： 在採用時間多尺度法進行攝動分析的過程中，定義無量綱小參數ε，同時用
並將式（4)寫為 u+Lu = G2 (u, u) +G3 (u, u, u) - ε 2 μ u- ε 3Fcos Ω t (14) 式中上標點表示對t微分，正線性自伴隨微分算子
G2和G3分別為二、三次非線性微分算子，且
，對u進行全離散，將u-致 展開為
1.15) 式中rk是廣義坐標，將其代入式（14)並進行Galerkin積分可得
_ 其中

(17) 將廣義坐標rk展開為
(18) 式中時間尺度
，且有
代入式 (16)展開並利用時間參數的獨立性可得各階近似方程 ε
(19) ε2
(20) δ3
(21) 式（13)中一階近似方程的解可寫為
(22) 其中CC表示前面複數項的共軛，將上式代入式（14)可得
(23) 步驟3. 1、求1:2內共振的平均方程； 考慮m和η階模態之間的1:2內共振，引入調諧參數〇1和〇2，
(24) 來分別描述《"和ωπ之間；Ω與ωπ(ωη)之間的接近程度，式（23)中由消除共振項 的條件可得
(25) 其中
(26)
(27) 公式（21)的三階近似方程可以化簡成如下形式
(28) 式中NST表示非共振項，係數S_，Sm，S"的具體表達式如下
由消除永年項條件，以及變量時間導數的多尺度表達式 A = ε DA+ ε 2D2A+，得到求解方程如下
(33) 式中Skn^P 別表示π^Ρη階主共振的情況，將攝動解八"1和411寫為極坐標形式
，其中\_和均為實函數，將其代入式（32, 33)展開並分離實、虛 部可得平均方程
其中Y i = β η_2 β _"+〇 21\，Υ 2 = β Υ 3 = β η_ σ Α.穩態解可在上式中令a』 == 〇獲得，先選取一個遠離共振區的參數值進行積分得到一組解，再通過延拓得到隨 參數變化的整條曲線；發生1:2內共振時的位移響應表示為
其中，形函數為

步驟3. 2、求1:1內共振的平均方程； 考慮m和η階模態之間的1:1內共振，引入調諧參數〇1和〇2，
(38) 來分別描述％和ωπ之間；Ω與ωπ之間的接近程度；在1:1和1:3內共振中方程的 解與時間尺度?\無關，即有Di = 0,因而式（23)的解寫成如下形式
(39) 進一步，三階近似方程式（21)寫為
(40) ，公式（40)為消除永年項條件； 對於m和η階模態之間的1:1內共振，由消除永年項條件可以得到
(41)
(42) 式中係數為
/ Λ^\ l4j)
將極坐標形式的攝動解
（a^，為實函數）代入式 (41，42)並分實、虛部可得平均方程
(48d) 其中L = ，同樣1:1內共振的位移響應寫成式（35)的形式，其中vm(x)， Vmn(X)，Kmm(X)，Km(X)與I: 2內共振相同，由式（37)給出，而Vmm(X)和KmnU)貝丨J由下 式給出 (49) 步驟3. 3、求1:3內共振的平均方程； 考慮m和η階模態之間的1:3內共振，引入調諧參數〇 i和〇 2， 〇 η - 3 〇 m+ ε ο 2，? 〇ι，（j_ - m，n) (50) 對應的二階近似解和三階近似方程與1:1的情況類似，寫為式（39)和式（40)的形式； 對於m和η階模態之間的1:3內共振，由消除永年項條件（公式（40))可以得到
式中5 h-和s kn分別表示m和η階主共振的情況，各係數為
將攝動解八111和411寫為極坐標形式.
，其中\.和^均為實函數， 將其代入式（51，52)展開並分離實、虛部可得平均方程

式中
同樣1:3內共振的位移響 應由式（35)給出，形函數
由式（37)和 式（49)給出。
【文檔編號】G06F19/00GK104112070SQ201410330339
【公開日】2014年10月22日 申請日期:2014年7月11日 優先權日:2014年7月11日
【發明者】易壯鵬, 塗光亞, 曾有藝, 袁明 申請人:長沙理工大學