什麼是數理化基本公式（中學時代最讓學生頭疼的那些數理化公式）

2023-04-26 16:35:20 5

出品：科普中國

製作：枕草子 雁丘客 翼 蕩漾喵 張璞

監製：中國科學院計算機網絡信息中心

（矢量形式）

納維-斯託克斯方程是以克勞德-路易·納維和喬治·斯託克斯命名，廣泛應用於流體物質的方程。流體，其實簡單說就是流動的物體，比如空氣和液體。通過依賴微分方程的形式來描述流體的運動，並不是普通的代數方程，納維-斯託克斯方程所表示的是一個變化的過程，正如沒有絕對靜止的流體。

為什麼說這個方程式美呢？這又不得不回到它的描述對象，流體。舉個最簡單的例子，水。水美不美，集剛柔於一身，既有「海神東過惡風來，浪打天門石壁開」這等氣勢磅礴，亦有「柔情似水,佳期如夢,忍顧鵲橋歸路。兩情若是久長時,又豈在朝朝暮暮」這般纏綿入骨。

除了詩人的文採，難道大家就不好奇都是水，到底它們內在的差別是什麼？納維-斯託克斯方程便是這條發現之路不可缺少的指南針。

最後附一張流體電鏡圖。

能夠拿諾貝爾化學獎的分支裡怎麼能少得了物理學呢，作為一個在熱力學中出現的重要參數G(吉布斯自由能)，其為化學反應的研究發展產生了深遠的影響，其發現者吉布斯是一位完全配得上諾貝爾化學獎的數學物理學教授！

吉布斯方程

有了吉布斯自由能，我們可以判斷一個化學反應能否發生，甚至可以預測什麼條件下發生。一般來說當吉布斯自由能小於零的時，反應能夠自發發生，而大於零時則會發生副反應。我們可以舉一個簡單的例子。

假設一個反應焓變為274，熵變為1，此時在0攝氏度的條件下，我們可以計算出吉布斯自由能為：

結論是大於零的。這是反應無法自發發生。

而為了反應能夠自發發生，我們能夠做些什麼呢？升高溫度！現在假設我們在100攝氏度下做同樣的反應會怎麼樣呢，此時，

結論G約為-100，此時反應就正常自發發生了。

吉布斯方程的理論在理論上為化學化工生產提供了指導性意見，通過計算，我們能夠知道是否反應，怎麼反應，如果不反應如何進行改進讓其容易反應。

或

阿倫尼烏斯方程是最早由範特霍夫提出，瑞典科學家阿倫尼烏斯進一步分析得到的溫度和反應速率的關係，並且提出能壘Ea的存在。

我認為整個方程最精華的地方在於提出了能壘這個概念，也就是說，Ea不變的情況下，無論如何改變外界條件,比如溫度濃度等，反應都不會發生。

能壘在自然界中是普遍存在的現象，大部分的非自發反應都需要從外界獲取能量以跨越能壘使反應能夠得以發生。很多化學反應的條件十分苛刻，原因就在於能壘極高，反應想要發生需要汲取天地日月之精華（從外界獲得極高的能量）

就好像你無法得到心儀姑娘的心一樣，條件不過硬，說啥都白扯，你們之間的化學反應就是沒法發生。那麼我們有什麼辦法降低反應的能壘也就是Ea呢？答案是長得帥（催化劑）。

科學家們開發出各種各樣的催化劑，讓Ea變得更低，使得以前在較為溫和的條件下無法發生的反應現在可以發生。阿倫尼烏斯方程導出了能壘的概念，加深了我們對化學反應的理解，在藥物合成，化工生產，材料研究中應用極廣。

生物學是充滿了個體不確定性的研究科目，尤其是基礎生物類都是尋找現象解釋機理，缺乏像數學和物理那樣準確的定量描述。並且生物本身是沒有什麼所謂的生物公式，基本就是統計學由來，物理學由來或者微積分的簡單公式。

該公式的名字極具後現代意識流風格，其背後的故事更是令人莞爾乃至惋惜。1908年，當時供職於都柏林健力士釀酒廠的統計學家戈斯特發表了t檢驗的相關論文。該檢驗完美的契合了釀酒廠對於產品質檢的需求，並馬上在工程及科研領域得到廣泛應用。然而，工廠老闆認為該公式的發明人屬於商業機密，戈斯特最終被迫使用筆名「學生」（student）來命名這一公式，從而失去了一個名垂史冊的機會。

用t分布理論來推論差異發生的概率，從而比較兩個平均數的差異是否顯著。研究裡最常用的顯著性水平是0.05，0.01。也就是說，當科研工作人員得出實驗組和比較組顯著水平小於0.05時，就可以高舉雙手歡呼：是的！看我有了多麼了不起的世界級新發現！

當然，有時候我們在論文裡寫道，我們以其中幾個為樣本進行了深入的研究，其實潛臺詞非常可能是，如果再加兩個樣本或更多，顯著水平就會大於0.05，就變得毫無意義了。。。。。。

關於理想氣體有幾個假設:氣體分子不佔空間，一直作直線運動，撞在容器壁上不發生變化，像彈力球一樣回彈，此外分子間沒有任何關係，都是孤獨的分子，也不會變成液體或固體。

而1873年物理學家範德華（Johannes van der Waals）提出了實際氣體狀態方程。其特點在於將被理想氣體所忽略的氣體分子自身體積和分子間作用力考慮在內了。自此對氣體的宏觀物理特性有了更精確的描述。

a. 水分子之間的範德華力

b.一個雙原分子的排斥體積

這個公式為什麼牛呢，它是人類歷史上第一個既能反映氣、液各相性質，又能描述相變和臨界現象的狀態方程。它描述了熱力學系統平衡狀態的獨立參量與溫度之間的關係。由於形式簡單，物理意義清楚，這個方程成為了熱力學和統計物理學的追捧對象。

範德華描述方程中分子間作用力時所使用的研究方法實際上就是後來所說的平均場方法，這一方法對鐵磁、超導、超流等眾多物理系統相變和臨界現象的研究，對熱力學和統計物理理論的發展產生過重大影響。

塔珀自指公式是傑夫·塔珀（Jeff Tupper）發現的自指公式。其中， mod表示模除。奇妙的是公式的二維圖像與公式本身外觀一模一樣，由於這個公式很有代表性，又比較有趣，在很多數學、計算機科學課程裡被用作繪製公式圖像的練習作業。如果取一個常數k，讓它等於：

960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660

129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 096 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 751 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719

此公式的二維圖像

這個公式本身是一個從常數k中解碼出一個相對應的黑白位圖的通用方法，所以事實上它可以用來繪製任何圖像。

這塊無窮大的位圖中有一個橫向切片描繪了繪製函數自身，但這並不意外，因為別的切片會描繪所有能被填進17像素高的位圖中的公式。

塔珀（Jeff Tupper）還通過電子郵件傳播了這個原始公式的擴展版本，這些版本的公式把其他的切片都抹除了。這裡的常數k是把公式的單色位圖化成二進位後乘以17得來的。如果把k除以17（並化成二進位），最小一位代表圖像左下角的像素；最小的17位就構成了最左邊的一列像素；第二小的17位構成了左數第二列像素；以此類推。很神奇吧？

每次迭代的值依序如下面序列所示：

不同的參數c可能會讓序列的絕對值逐漸發散到無限大，也可能收斂在有限的區域裡。曼德博集合M就是讓序列不延伸到無限大的所有複數c的小分隊。

圖為曼德博集合

如果我們把複數c表示成複平面上的點，在這個平面上，曼德博集合就是分形的人大代表。

上圖中後一個圖像是前面圖像的局部放大。分形圖可以無限重複，無數的圓圈圍繞包括原點在內的心形，把無數較小的圓圈限定到圓。

另外，如果放大周圍環境，可以發現周圍環境形狀和這個分形圖非常相似。如果把我們每個人想像成其中的一份子，很多「我們」形成了體積更大的「我們」，沒有盡頭，沒有終點，無限循環，想來是不是挺可怕的？

這可能是因為直觀上想像一個連續但在不可數個點上不可導的函數是很困難的事。當我們繪製函數的圖像時，總會畫出較為規則的圖形，比如滿足利普希茨條件的函數圖像。

圖為區間[−2, 2]上的魏爾斯特拉斯函數。這個函數具有分形特性：某些部分會和整體自相似。

魏爾斯特拉斯函數可以被看作第一個分形函數，儘管這個名詞當時還不存在。無論如何放大，函數圖像都不會顯得更加光滑，也不存在單調的區間。把魏爾斯特拉斯函數在任何一點放大，得到的局部圖都和整體圖形相似。這個函數和上面的曼德博集合類似，「你的身體的任何一小部分都是另一個你自己！

這個方程極其簡單，沒有複雜的運算關係，看起來有一種簡潔的美感。如果現代物理學的理論都能像這個公式這麼簡單，那所有搞物理的人都應該放下手中的工作慶祝三天三夜，而他們之所以沒能停下手中的工作來慶祝，就是為了實現這樣的目標！

物理學是為了看透複雜世界背後的簡單本質。公式中，E代表的是能量，m代表的是質量，c代表的是真空中的光速，這個公式表明任何有質量的物體都具有能量，反之亦然。

以後胖的人可以自豪的說，質能方程表明，質量大的人具有更大的能量，而且是正比於光速的平方增長的哦。這一方程是愛因斯坦在奇蹟年也就是1905年的一篇論文中寫下的，是從狹義相對論中得到的。質能方程表明，靜止的有質量的物體也具有內稟能量，是靜止能量，當它動起來時，除了靜止能量，還有動能，靜止能量和動能之和是總的能量，這樣換算出的質量就會變大，也就是動質量會大於靜質量。

核武器以及核電站利用的核能，以及我們的太陽能，都是是原子核在發生反應時由於微小的質量虧損而釋放出的巨大能量，原子彈和核電站是利用重核裂變；太陽內部是輕核的聚變；科學家們一直致力於在地球上實現可控核聚變，一勞永逸地解決能源問題。既然是等式，轉換就是雙向的，宇宙大爆炸初期是沒有物質存在的，高能光子的碰撞產生了輕子夸克等粒子，宇宙逐漸冷卻才形成現在的物質。

萬有引力定律可以說是最為著名的物理定律了。艾薩克·牛頓其在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中，詳細闡述了其三大運動定律和萬有引力定律，該書的原文使用拉丁文寫成的。

讀過該書的人會知道，該書遠非我們所知曉的一些定律這麼簡單。本書可以說是科學研究的典範，在引論部分先給出定義、公理或運動定律，接下來三部分就是論物體的運動兩卷和論宇宙的系統。

牛頓在該書中詳細推導了在引力作用下的三種軌道即橢圓、雙曲線和拋物線，裡面所用到的幾何學的知識和技巧，即使是現代人，也很難想到。而且在《原理》一書中，可以看出牛頓已經應用了微積分的思想，而他關於微積分的詳細論述則在其他數學著作中。

傳說牛頓是在蘋果樹下被蘋果砸中受啟發而發現萬有引力定律，現在劍橋三一學院以及劍橋大學植物園內還保留著這棵蘋果樹的後裔，中國科學院上海分院還嫁接了一枝。萬有引力定律將地上的蘋果落地現象、大海的潮汐以及天上日月星辰的運動統一了起來，表明任何兩個有質量的物體之間都存在引力作用。

雖然現在廣義相對論是描述引力本質的理論，今年諾貝爾物理學獎發現的引力波也再次證明廣義相對論的正確性，但並不代表萬有引力定律的失效，宏觀天體在引力作用下的運動用萬有引力定律來解決，仍然十分方便和精確，而且在天文觀測上也有很重要的意義。

1846年法國數學家和天文學家勒維耶根據引力定律計算得到一顆未知行星對天王星公轉軌道的引力攝動，建議柏林天文臺尋找這顆未知行星，結果找到了天王星，而且觀測到的天王星的位置與勒維耶的計算結果只差1度，可以說明引力定律仍然是十分精確的和應用廣泛的。另外，描述真空中點電荷的相互作用的庫侖定律，也是類似的平方反比定律。平方反比這一關係，在很多其他情況下也應用廣泛，是很好的近似。

10) 引力場方程

方程左邊表示的是時空的彎曲情況，右邊表示的是引力場作用下的物質及其運動，兩邊相等就表示了物質和時空的相互作用，用美國物理學家惠勒的話說就是「時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何彎曲」。

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