基於Lyapunov函數分析的時滯穩定判據保守性評估方法與流程
2023-07-11 21:24:56
本發明涉及改進歐拉系統仿真算法、線性矩陣不等式(LMI)技術和時滯系統穩定性分析領域，尤其涉及一種基於Lyapunov函數分析的時滯電力系統LMI穩定判據保守性評估方法。
背景技術：
隨著電網互聯範圍的不斷增大，廣域協調控制成為保證複雜電力系統安全運行的一種重要手段，受到越來越多的關注。在廣域控制系統中，遠方量測信號會存在顯著時滯，這些時滯會對控制系統的穩定性和控制性能產生不利影響，因此需要科學加以考慮。
在各類時滯穩定分析方法中，基於Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式(LMI)技術發展起來的Lyapunov穩定判據方法，具有諸多優勢，如可考慮系統的隨機因素、可考慮不同類型時滯環節、可用於對時滯系統穩定性進行多方位評估、可直接用於控制器閉環設計等，因此受到越來越多的關注。這類方法一般通過構造合適的Lyapunov函數，然後經一定變換後將判穩條件轉換為標準LMI形式，最後藉助各類LMI求解器進行問題求解和穩定性判別。
由於存在Lyapunov函數只是時滯系統穩定的充分條件，由此決定Lyapunov穩定判據方法必然存在一定的保守性。不同的時滯穩定判據會採用不同形式的Lyapunov函數，且在判穩推導過程中會採用不同的處理方式，由此導致不同判據的外在形式差別較大，且其保守性、計算效率和數值穩定性往往也存在較大不同。對於電力系統的實際使用者，他們往往並不關心Lyapunov穩定判據的具體推導過程，而只是希望有一種有效的評估手段，可幫助他們直接分析各類判據的內在差異，從而方便地進行方法選擇，但這方面的工作卻鮮有研究。
[參考文獻]
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技術實現要素：
為解決上述問題，本發明針對Lyapunov穩定判據的保守性評估方法開展了深入研究，提出了一種基於Lyapunov函數分析的時滯穩定判據保守性評估方法。該方法根據每個時滯穩定判據是通過構造相應Lyapunov函數來判斷系統穩定性的原理，分析了Lyapunov函數的構成項差異，通過系統軌跡仿真、Lyapunov函數歸一化後求導，進一步提出判據保守性評估指標，將保守性差異進行量化用於比較評估。將本發明方法應用於四個典型的時滯穩定判據，在含有時滯環節的單機無窮大系統場景下，評估四個判據的保守性差異。
為了解決上述技術問題，本發明提出的一種基於Lyapunov函數分析的時滯穩定判據保守性評估方法，具體步驟如下：
步驟一、構建時滯電力系統數學模型：
式中：t表示時間變量；x(t)為狀態變量；為狀態變量對時間的導數；A0為非時滯係數矩陣；Ai，i＝1，2，…，m，為時滯係數矩陣，m表示時滯環節數目；τi，i＝1，2，…，m，為系統的時滯常數；τi＞0表示時滯均大於0；x(t-τi)，i＝1，2，…，m，為時滯狀態變量；h(t，ξ)，為狀態變量x(t)的歷史軌跡；ξ∈[-max(τi)，0)表示變量ξ在τi最大值的相反數和0之間變化；上述代數變量均屬於實數域R，上述向量變量均屬於n維實數向量Rn；
步驟二、採用改進歐拉法，對步驟一構建的時滯電力系統數學模型求解系統狀態變量軌跡x(t)＝ψ(x0,t)，其中，x0為狀態變量初值；
步驟三、引用待評估的時滯穩定判據，利用步驟二中求解的狀態變量軌跡x(t)，以及時滯穩定判據求解的Lyapunov函數中的待求矩陣變量，採用數值方法計算時滯穩定判據分別對應的Lyapunov函數隨時間變化的曲線Vk(x(t))，k代表時滯穩定判據，k＝1,2,3,4,…,n；
步驟四、對步驟三求解的Lyapunov函數曲線剔除不可微環節的影響，並進行歸一化處理，使得時滯穩定判據所對應的Lyapunov函數隨的曲線均從數值1開始，從而保證不同判據之間可實現相互比較；
步驟五、對步驟四處理後的Lyapunov函數曲線求導，並提出三個評估指標用於分析導數曲線，所述三個評估指標包括：均方差指標、均方根指標和決定係數指標，經所述三個評估指標綜合分析後，對待評估的時滯穩定判據的保守性作出量化評估；即：綜合比較時滯穩定判據的三項指標結果，評估時滯穩定判據保守性；當時滯接近系統的時滯穩定裕度時，均方差指標越小，均方根指標越小，決定係數指標越大，對應時滯穩定判據的保守性就越小，判斷穩定性的效果越好；在時滯為臨界穩定裕度時，各項指標相同的時滯穩定判據，保守性相同，判斷穩定性的效果相同。
進一步講，步驟四包括以下步驟：
步驟4-1：剔除不可微環節的影響：由於時滯系統軌跡在-τ≤t0時刻前的系統軌跡刪去，僅使用該時刻之後的部分用於評估分析，並用Vk0＝Vk(ts)表示所保留的系統軌跡的初始值；
步驟4-2：Lyapunov函數曲線歸一化：基於任何Lyapunov函數兩端同時乘以某一常數，並不影響判據判斷穩定性的效果；對Lyapunov函數曲線Vk(x(t))按下式進行歸一化處理：
其中：ak＝1/Vk0；合理選擇ts，總可以保證Vk0不為零；
經歸一化處理後，自ts時刻開始的曲線均從開始，從而保證不同判據之間可實現相互比較。
步驟五包括以下步驟：
步驟5-1：對步驟四求解的Lyapunov函數歸一化曲線求導，得到導數曲線：
步驟5-2：導數曲線yk(t)為振蕩曲線，對該振蕩曲線擬合出振蕩中心線
步驟5-3：從ts時刻開始，按周期T對曲線進行採樣，採樣後得到如下數組：
Yk(t)＝[yk(ts),yk(ts+T),…,yk(ts+(l-1)T)]
其中：l為數組長度；通過選擇採樣周期T，保證每一振蕩曲線具有足夠的採樣點數以保證評估的精度；
步驟5-4：利用上述對導數曲線和振蕩中心線採樣後得到的數據，計算下述三項量化評估指標，
均方差指標IMSE
均方根指標IRMSE
決定係數指標IR-square
式中，SSR是用於擬合數據與原始數據均值之差的平方和，SST是用於表示原始數據和均值之差的平方和，是原始數據的平均值，
步驟5-5：經所述三個評估指標綜合分析後，對待評估的時滯穩定判據的保守性作出量化評估。
與現有技術相比，本發明的有益效果是：
該發明方法針對時滯電力系統LMI穩定判據提出了一種基於Lyapunov函數分析的判據保守性評估方法，根據時滯穩定判據是通過構造相應Lyapunov函數來判斷系統穩定性的原理，分析Lyapunov函數的構成項差異，通過系統軌跡仿真、Lyapunov函數歸一化後求導，提出判據保守性評估指標，將保守性差異進行量化，用於比較穩定判據的保守性相對大小，從而在使用判據前，進行判據選擇，為尋求更為科學的時滯穩定判據提供支持。
附圖說明
圖1是Lyapunov函數導數曲線及其振蕩中心擬合曲線示意圖；
圖2-1是四種典型判據在單機無窮大系統下的均方差指標與時滯的變化曲線圖；
圖2-2是四種典型判據在單機無窮大系統下的均方根指標與時滯的變化曲線圖；
圖2-3是四種典型判據在單機無窮大系統下的決定係數指標與時滯的變化曲線圖。
具體實施方式
下面結合附圖和具體實施例對本發明技術方案作進一步詳細描述，所描述的具體實施例僅對本發明進行解釋說明，並不用以限制本發明。
本發明的設計思路：根據每個時滯穩定判據是通過構造相應Lyapunov函數來判斷系統穩定性的原理，在時滯電力系統數學模型基礎上，對已有的線性矩陣不等式(LMI)時滯穩定判據分析其對應Lyapunov函數的構成項差異，然後通過系統軌跡仿真、Lyapunov函數歸一化後求導，進一步提出三類反映判據保守性差異的指標，構成一套用於評估分析時滯電力系統穩定判據保守性的數值計算方法，可以用於在使用判據前，估計判據的保守性，從而為尋求更為科學的時滯穩定判據提供支持。
下面以四種典型判據為例對本發明提出的一種基於Lyapunov函數分析的時滯穩定判據保守性評估方法，具體步驟如下：
步驟一、構建時滯電力系統數學模型：具體步驟如下：
步驟1-1：在單機無窮大系統中，令機端電壓在反饋給勵磁調節器的過程中存在延時τ，構建含有時滯環節的電力系統微分代數方程組：
式(2)中：s∈Rn，為系統的原始狀態變量；y∈Rr，為系統的原始代數變量；s1＝s(t-τ)，為系統的原始時滯狀態變量；y1＝y(t-τ)，為系統的原始時滯代數變量；τ∈R，為系統的時滯常數；
步驟1-2：將式(2)在平衡點處(xe,ye)線性化，得到：
式(3)中：
步驟1-3：在不考慮奇異的前提下，式(3)中的Gy,可逆，上述式(3)表示為：
式(4)中：
步驟1-4：採用x(t)＝Δs表示狀態變量的增量，式(4)改寫成：
步驟1-5：時滯電力系統數學模型表示如下：
式(6)中：t表示時間變量；x(t)為狀態變量；為狀態變量對時間的導數；x(t-τ)，為時滯狀態變量；h(t，ξ)，為狀態變量x(t)的歷史軌跡；ξ∈[-τ，0)表示變量ξ在τ的相反數和0之間變化；上述代數變量均屬於實數域R，上述向量變量均屬於4維實數向量R4，非時滯係數矩陣A0，時滯係數矩陣A1的具體數值如下：
步驟二、採用改進歐拉法，對步驟一構建的時滯電力系統數學模型求解系統狀態變量軌跡x(t)＝ψ(x0,t)，其中，x0為狀態變量初值；具體步驟如下：
步驟2-1：設置系統狀態變量初值為x0：
步驟2-2：利用改進歐拉法，對電力系統數學模型進行仿真求解，得到系統狀態變量x的軌跡，記為：
x(t)＝ψ(x0,t) (10)
步驟三、引用待評估的四個典型的時滯穩定判據，利用步驟二中求解的狀態變量軌跡x(t)，以及時滯穩定判據求解的Lyapunov函數中的待求矩陣變量，採用數值方法計算四個典型判據分別對應的四種典型Lyapunov函數隨時間變化的曲線Vk(x(t))，k＝1,2,3,4。k取不同值代表不同的時滯穩定判據；具體步驟如下：
步驟3-1：引用四個典型的時滯穩定判據，並確定其在公共判穩範圍內時滯所能達到的最大值τm＝65.4649ms；四個典型判據具體內容如下：
判據1[1]：對於時滯系統，若存在適當維數的對稱正定矩陣P,Qi,i＝1,2,…,m，對稱半正定矩陣Wi,j，對稱矩陣和適當維數的常數矩陣0≤i<j0，若存在適當維數的對稱正定矩陣P,Q,Z,X,W,R1,R2和任意適當維數的矩陣Yi,Ni,Fi,Hi,Ji,Mi(i＝1,2,…,6)，使得如下LMI不等式成立，則系統漸進穩定的。
其中：
Φ14＝P12,Φ16＝P13,Φ23＝P12,Φ24＝Ο,Φ25＝P13,Φ26＝Ο,Φ34＝-Q12+P22,Φ36＝P23,Φ44＝-Q22,Φ45＝P23,Φ46＝Ο,Φ56＝P33-X12,Φ66＝-X22,E1＝[I Ο -I Ο Ο Ο],E2＝[I Ο Ο Ο -I Ο],E3＝[I1 Ο I2 Ο I3 Ο],E4＝[I Ο Ο Ο Ο Ο],Ωc1＝[Γ1 -τN -τY],
步驟3-2：改變時滯大小，使其小於τm，利用上述四種典型的時滯穩定判據，分別確定對應四種Lyapunov函數中的待求變量，四種Lyapunov函數表達式如下：其中V1-V3為含多時滯的Lyapunov函數表達式，V4為含有一個時滯的Lyapunov函數表達式。
其中：
θ(t)＝[xT(t+1/2τ),xT(t)]T。
步驟3-3：將各Lyapunov函數中的參數變量和步驟二求解的系統狀態變量x(t)分別帶入函數表達式中，求解四個Lyapunov函數隨時間變化的曲線Vk(x(t))k＝1,2,3,4。k取不同值代表不同的時滯穩定判據。
步驟四、對步驟三求解的Lyapunov函數曲線剔除不可微環節的影響，並進行歸一化處理，使得時滯穩定判據所對應的Lyapunov函數隨的曲線均從數值1開始，從而保證不同判據之間可實現相互比較；具體步驟如下：
步驟4-1：剔除不可微環節的影響：由於時滯系統軌跡在-τ≤t0時刻前的系統軌跡刪去，僅使用該時刻之後的部分用於評估分析，並用Vk0＝Vk(ts)表示所保留的系統軌跡的初始值；
步驟4-2：Lyapunov函數曲線歸一化：基於任何Lyapunov函數兩端同時乘以某一常數，並不影響判據判斷穩定性的效果；對Lyapunov函數曲線Vk(x(t))按下式進行歸一化處理：
其中：ak＝1/Vk0；合理選擇ts，總可以保證Vk0不為零；
經歸一化處理後，自ts時刻開始的曲線均從開始，從而保證不同判據之間可實現相互比較。
步驟五、對步驟四處理後的Lyapunov函數曲線求導，並提出三個評估指標用於分析導數曲線，所述三個評估指標包括：均方差指標、均方根指標和決定係數指標，經所述三個評估指標綜合分析後，對待評估的時滯穩定判據的保守性作出量化評估。具體步驟如下：
步驟5-1：對步驟四求解的Lyapunov函數歸一化曲線求導，得到導數曲線：
步驟5-2：導數曲線yk(t)為振蕩曲線，對該振蕩曲線擬合出振蕩中心線如圖1所示。
步驟5-3：從ts時刻開始，按周期T對曲線進行採樣，採樣後得到如下數組：
Yk(t)＝[yk(ts),yk(ts+T),…,yk(ts+(l-1)T)] (22)
其中：l為數組長度；通過選擇採樣周期T，保證每一振蕩曲線具有足夠的採樣點數以保證評估的精度；
步驟5-4：利用上述對導數曲線和振蕩中心線採樣後得到的數據，計算下述三項量化評估指標，
1)均方差(Mean Squared Error)指標IMSE
2)均方根(Root Mean Square Error)指標IRMSE
3)決定係數(Coefficient of Determination)指標IR-square
在給出該指標定義前，首先定義SSR(Sum of Squares for Regression)和SST(Sum ofSquares for Error)兩個變量：SSR用於擬合數據與原始數據均值之差的平方和，SST用於表示原始數據和均值之差的平方和。
式中，是原始數據的平均值，
步驟5-5：綜合比較時滯穩定判據的三項指標結果，評估時滯穩定判據保守性；當時滯接近系統的時滯穩定裕度時，均方差指標IMSE越小，均方根指標IRMSE越小，決定係數指標IR-square越大，對應時滯穩定判據的保守性就越小，判斷穩定性的效果越好；在時滯為臨界穩定裕度時，各項指標相同的時滯穩定判據，保守性相同，判斷穩定性的效果相同。
下面給出四種典型時滯穩定判據在單機無窮大系統算例下的評估指標計算結果，用以判斷保守性相對大小，並將判斷結果與直接用判據方法計算時滯穩定裕度結果相比較，印證判據保守性評估方法的有效性：
計算四個Lyapunov函數導數的各項指標隨時滯變化曲線如圖2-1、圖2-2和圖2-3所示，各Lyapunov函數的指標IMSE、IRMSE、IR-square隨時滯變化而變化，當時滯τ＝65.4649ms，各項指標數值結果如表1所示。
表1單機無窮大系統四個Lyapunov函數指標比較結果
由該表數據可知，τ＝65.4649ms時，V1和V2導數各項指標數值相同，V3和V4導數的IMSE和IRMSE依次減小，IR-square依次增大。則評估結果為判據1和判據2保守性相同，大於判據3保守性，而判據4保守性最小。
為說明評估結果的正確性。分別採用四個穩定判據求解該系統的時滯穩定裕度，計算結果表2所示。
表2單機無窮大系統四個Lyapunov判據穩定裕度比較
通過表2可以得到與本發明方法同樣的保守性比較結論，即判據1和判據2保守性相同，大於判據3保守性，判據4保守性最小。綜合表1和表2可知，時滯穩定裕度計算結果符合本發明方法的判據保守性評估方法判斷結果，印證了本發明方法的有效性。即當時滯接近系統的臨界穩定裕度時，Lyapunov函數導數的指標IMSE,IRMSE越小，IR-square越大，對應穩定判據的保守性就越小，判穩的效果越好。在時滯為臨界穩定裕度時，各項指標相同的穩定判據保守性相同。使用本發明方法避免了求解時滯穩定裕度，僅僅利用Lyapunov函數表達式和系統的狀態變量仿真軌跡，即可計算評估指標，提前預知判據保守性相對大小，為尋求更為科學的時滯穩定判據提供支持。
儘管上面結合附圖對本發明進行了描述，但是本發明並不局限於上述的具體實施方式，上述的具體實施方式僅僅是示意性的，而不是限制性的，本領域的普通技術人員在本發明的啟示下，在不脫離本發明宗旨的情況下，還可以做出很多變形，這些均屬於本發明的保護之內。