解排列組合問題常用方法（逆向思維助你解）

2023-07-30 02:21:24 1

對於如下幾類排列組合等應用問題：

（１）其中某幾個元素不相鄰；

（２）所有元素兩兩相同；

（３）其中某幾個元素的排列順序一定的；

我們可以採用「逆向思維」模式：先給出該問題結果的某一排列或組合，然後逆向思維產生這一結果的「過程」，最後依據這一「過程」進行推理與計算．

一、　其中某幾個元素不相鄰的排列組合應用問題

[例1] 如下圖，某建築工地搭建的腳手架局部類似於4×3×2的長方體框架（由24個稜長為一個單位的正方體框架組合而成），一建築工人從A點沿腳手架到B點，每步走一個單位長度，且不連續向上登攀，則其行走的最近路線共有：

A.150條； B. 525條； C. 840條 ; D.1260條。

分析與解：假設建築工人從A點沿腳手架到B點行走的一條最近路線依次是：向右，向上，向北，向北，向上，向右，向上，向右，向右（共9步且向上的３步不相鄰鄰），這一最近路線可看成從向右或向北的６步中選４步向右，剩下的２步向北，再將向上的３步插入到前６步形成的7個空隙中，所以其行走的最近路線共有

選B。

例2, 7張椅子4人入座,每人坐1張,恰有2張空椅相鄰的不同坐法有多少種？

分析與解:逆向思維如下：用a,b,c,d表示4人分別入坐1張椅子的一個結果；用「0」表示空椅子．假設該問題的某一坐法是：a，0，b，0，0，c，d,這一坐法可以看成4人先坐在4張固定的椅子上,再把3張空椅子(恰有2張空椅相鄰)插入到這4人形成的5個空隙中,故不同坐法有

評析:凡「其中某幾個元素不相鄰的排列組合應用問題」，都是使用「先排可相連的，後插入不相連的」的「插空法」。

二、所有元素兩兩相同的排列組合應用問題（也叫名額分配問題）

例3，方程

的非負整數解的個數是多少？

分析與解：若定義映射

則 f是從方程

的非負整數解集到方程

的正整數解集的一一映射。

逆向思維如下：假設方程

的一個正整數解是

=（１，１＋１，１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１），

這相當於將11個「1」排成一行後, 用3塊板子將它們隔成4部分, 使每一部分至少有1個「1」，所以方程

正整數解的個數是

從而方程

的非負整數解的個數也是120。

例4，現準備將6臺型號相同的電腦分配給5所小學，其中A 、B 兩所希望小學每個學校至少2臺，其他小學允許 1臺也沒有，則不同的分配方案共有多少種？

分析與解: 逆向思維如下,假設A 、B 兩所希望小學及其餘的3所小學分配的電腦臺數分別是：2，3，1，0，0，這一分配方案可看成先將 A、B 兩所希望小學各分配2臺電腦，剩下的２臺再分配給這5所小學（相當於求方程

的非負整數解的個數），仿例3的推理得：不同的分配方案共有

評析，凡「所有元素兩兩相同的排列組合應用問題（也叫名額分配問題）」，都可以用「隔板法」。

三、其中某幾個元素排列順序固定的排列組合應用問題

例5，牆壁上掛著8個氣球（如下圖），一個神槍手每次選擇一列最下方的一個球射擊（假設每次射擊必中），則將氣球全部擊完的方式有多少種？

分析與解：逆向思維如下，設左邊３個球由下到上依次是a1，a2，a3 ；中間２個球由下到上依次是 b1，b2；右邊３個球由下到上依次是 c1，c2，c3．假設將氣球全部擊完的一種方式是 b1，c1，c2，a1，b2，c3，a2，a3，這一方式可看成是將這８個元素進行全排列，且 a1，a2，a3；b1，b2 ；c1，c2，c3 分別按照由左到右的固定順序排列．所以將氣球全部擊完的方式有

例6，一隻蜘蛛早晨起床給它的8隻腳穿上襪子和鞋，每隻腳先穿襪子後穿鞋, 那麼不同穿法種數是多少（只需列式）？

分析與解： 逆向思維如下：用

分別表示蜘蛛早晨起床穿上的第 i 只腳上的襪子和鞋．假設一隻蜘蛛早晨起床給它的8隻腳穿上襪子和鞋的某一種穿法是：

這一穿法可看成16個元素進行全排列且

按照固定順序排列得到的，所以不同穿法種數

評析: 凡「其中某幾個元素排列順序固定的排列組合應用問題」，都可以用「等機率法」。

四、可化歸為以上３種問題的排列組合綜合應用問題

例7，某民航站設有A,B,C,D共4個「安檢」入口，每個入口每次只能進1個旅客，一個小組4人進站的不同方案種數是多少？

分析與解：逆向思維如下，４名旅客用p，q，r，s表示．假設一個小組4人進站的某一方案是：Ａ「安檢」入口無人通過；Ｂ「安檢」入口由q，p依次通過；Ｃ「安檢」入口r通過；Ｄ「安檢」入口s通過，這一方案可看成先將４個名額分配到A,B,C,D這4個「安檢」入口（相當於求方程 x1 x2 x3 x4 = 4 非負整數解的個數），再將p，q，r，s這４人進行全排列後按照分配到４個「安檢」入口的名額依次進站，所以一個小組4人進站的不同方案種數

例8, 10個相同的小球放入編號為１,2,3的三個盒子內，若每個盒子內的球數不小於它的編號數，則有多少種不同的放法？

分析與解:逆向思維如下,先將編號為1,2,3的盒子內分別放入0,1,2個小球, 這時剩下7個小球放入編號為１,2,3的三個盒子內使得每個盒子內至少1個小球（相當於求方程x1 x2 x3 = 7 正整數解的個數），所以不同的放法

例9, 用1，2，3三個數字排成一個四位數，每個數字都排上，所得四位數的個數是多少？

分析與解: 逆向思維如下,假設所得四位數是2313 ，這個數可以看成是23 13（3 ,3 這2個元素的順序固定），

所以所得四位數的個數為

例10, 某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單,開演前又增加了2個新節目,如果將這2個插入原節目單中,那麼不同的插法種數是多少？

分析與解:逆向思維如下,用a，b，c，d，e表示原來的5個節目，用p，q表示插入的2個新節目．假設將這2個插入原節目單中的某排列是：a，b，p，c，d，q，e或a，p，q，b，c，d，e，這可看成2個新節目在7個位子上選2個位子排列得到的（其餘５個位子上依次排原來的５個節目），故不同的插法種數是