一種基於斜橢球域影響凸包的幾何網格模型變形方法與流程

2023-05-28 13:18:01

本發明涉及先進位造技術領域的複雜幾何模型處理方法，尤其是涉及計算機造型設計中幾何網格模型的變形方法。

背景技術：

網格變形是指在滿足幾何約束下得到一個新曲面。網格變形技術作為一種重要的造型手段，已經成為計算機圖形學領域一個十分活躍的研究熱點，在造型設計、變形設計影視動畫等領域有著相當廣泛的應用。拉格朗日坐標是嵌在質點上，隨物體一起運動和變形的坐標，又稱物質坐標或隨體坐標。歐氏坐標是固定在空間中的坐標，又稱空間坐標或固定坐標。網格變形種類有拉伸變形、壓縮變形、彎曲變形和扭曲變形，扭曲變形是在彎曲變形的基礎上旋扭變換。網格變形技術主要分為：自由變形、基於薄殼能量的變形、基於梯度的網格變形、基於拉普拉斯(laplacian)坐標的網格變形、多分辨層次網格變形，以及基於解偏微分方程的網格變形等。自由變形是指不直接操作變形物體，而是將物體嵌入一空間，隨所嵌空間變形而變形，從某種程度上講仍然是建立在傳統曲線和曲面造型理論基礎上的。自由變形技術具有便於用戶交互和高效實用的優勢，但很難保持模型的幾何細節，因此常用於光滑模型的變形。基於薄殼能量的變形是指滿足位置約束的網格變形的薄殼能量應最小化，優點是由於位置約束是網格變形最典型、最直觀的約束，可直接作用在曲面上，保持變形的細節部分，缺點是要求解大量約束方程，耗時較多。基於梯度的網格變形是指通過求解滿足不同邊界約束條件的poisson方程對幾何網格進行變換操作，進而約束網格變形，優點是局部微分坐標能表示幾何細節，具備簡單、健壯和性能優勢，缺點是梯度的方向依賴於全局坐標系(globalcoordinatesystem，gcs)，梯度不是剛性不變量，直接基於位置約束條件求解基於梯度的變形網格難以產生滿意的結果。基於laplacian坐標的網格變形是指基於laplacian坐標的刻畫頂點均值曲率和法向量的能力，用laplacian坐標代替梯度表示幾何細節，優點是把網格變形歸結位置約束的優化問題，包含了網格的局部細節特徵，因此laplacian網格變形能夠較好地保持網格模型的局部細節，缺點是基於迭代的非線性優化過程計算量大，對於變化幅度較大的網格變形不理想。laplacian坐標的性質主要包括線性變換、平移不變性和對旋轉變化敏感。laplacian坐標的表示對網格細節特徵的保持起到至關重要的作用，因此laplacian網格變形方法的關鍵之處在於計算頂點的laplacian坐標，並根據laplacian坐標的平移不變性通過求解線性系統來獲得變形後網格頂點的歐氏空間坐標。由於laplacian坐標對旋轉敏感，使得網格的局部信息會發生旋轉扭曲，特別是對於大尺度變形時，其扭曲尤為嚴重。要實現網格模型的保特徵變形，不能直接使用原網格的laplacian坐標來重建變形後的網格模型，而應該重新設置微分坐標的方向再重建模型。基於解偏微分方程的網格編輯方法直接作用在網格上，能夠有效保持網格曲面的微分特性，能夠反映曲面的局部幾何細節，具有細節保持的性能。但是基於微分域變形技術需要求解大型稀疏線性方程組或進行非線性優化，時間複雜度較高。橢球作為常見的規則幾何體，相對於平面包圍體(例如軸對齊包圍盒axisalignedboundingbox，aabb，有向包圍盒orientedboundingbox，obb)等具有更廣泛的擬合性，特別是對於具有弧度的彎曲區域，比單一的包圍球或包圍盒更加有效靈活。

許多學者提出了一些網格變形算法，例如，1986年sederberg和parry在《acmsiggraphcomputergraphics》(1986，20(4):151-160.)發表論文「free-formdeformationofsolidgeometricmodels」，首次提出自由曲面造型(ffd)方法。catmull等人於1972年在《acmconference》(1972:422-431)發表「asystemforcomputergeneratedmovies」，提出一種骨架驅動的變形方法。terzopoulos等人於2015年在《acmsiggraphcomputergraphics》(2015，21(4):205-214.)發表論文「elasticallydeformablemodels」，提出了薄殼能量應最小化的網格變形。alexa於2003年在《visualcomputer》(2003，19(2):105-114.)發表論文「differentialcoordinatesforlocalmeshmorphinganddeformation」，首次提出用均勻laplacian坐標表示幾何細節。sorkine於2004年發表論文「laplaciansurfaceediting」，提出幾何細節是一個表面的一個內在屬性，因此，表面編輯是最好的通過操作一個內在的表面表示。提供了基於網格的laplacian算子，通過編碼相對於它的鄰域的每個頂點，不斷遍歷各層環形鄰域的頂點，進而表示出網格面片的關係。美國明尼蘇達大學michaelludwig等人於2015年在《computers&graphics》((2015，51:146-156)發表論文「3dshapeandtexturemorphingusing2dprojectionandreconstruction」，採用降維的方法把三維變形問題轉化為多個二維變形，包括改變拓撲結構、創造出變形時的外觀和給用戶提供控制界面。美國阿拉巴馬大學chaopeng等人於2016年在《computers&graphics》((2016，59:107-118)發表論文「fastmappingandmorphingforgenus-zeromesheswithcrosssphericalparameterization」，提出一種基於交叉式球形參數化對網格的快速映射和變形的方法。荷蘭代爾夫特理工大學t.gillebaart等人於2016年在《journalofcomputationalphysics》(2016，321:997-1025)發表論文「adaptiveradialbasisfunctionmeshdeformationusingdatareduction」，提出了自適應徑向基函數(rbf)網格變形方法，增加網格變形的魯棒性。

綜上所述，現有的網格變形技術都是儘量保證全局變形的光滑性和均勻性，因此難以有效地保持網格模型特徵。如何分析和抽取不同類型的網格特徵，並在變形中保持這些具有設計和工程意義的特徵，滿足創意設計、點雲重建、快速成型(rapidprototyping，rp)中幾何網格模型變形需求，是未來需要進一步研究的難題之一。如何精確控制控制頂點的影響區域，是現有技術中所欠缺的。

技術實現要素：

為了解決背景技術中存在的問題，為了表徵控制頂點的影響區域，將原網格分解為影響凸包區域和非影響凸包區域，本發明的目的在於提供一種基於斜橢球域影響凸包的幾何網格模型變形方法。針對用不同的相對影響凸包處理影響凸包區域和非影響凸包區域，能使變形後的網格過渡平緩均勻，具有更好的平順性。

為了實現上述目的，如圖1所示，本發明採用的技術方案的步驟如下：

第一步：導入待變形的網格模型，根據感興趣區域(regionsofinterest,roi)作為待變形區域，將原網格模型分解為影響凸包區域和非影響凸包區域，以感興趣區域作為影響凸包區域，感興趣區域以外的網格模型為非影響凸包區域，待變形區域中的頂點作為待變形點，獲得待變形點集p，從待變形點中選定一個待變形控制頂點v*；

第二步：根據待變形區域佔總體網格的比例，進行影響凸包的正向包絡和反向包絡，若選擇正向包絡，則包絡區域內的頂點為待變形頂點，若選擇反向包絡，則包絡區域外的頂點為待變形頂點，據此確定從全局網格頂點邏輯正向或反向選定影響區域；

第三步：以待變形控制頂點v*為球心建立最小體積外接橢球(minimumvolumeenclosingellipsoids，mvee)，通過仿射變換將構建的最小體積外接橢球進行斜橢球化，建立斜橢球域影響凸包，最小體積外接斜橢球包絡所有待變形點，用最小體積外接斜橢球表徵控制頂點的影響區域；

第四步：根據選擇的變形種類，對拉伸變形和扭曲變形的不同變形種類採用區分式處理；

第五步：遍歷待變形控制頂點的環形鄰域，得到具有s個頂點的三角網格模型m，並用laplacian坐標δi描述幾何網格模型；

第六步：在最小二乘意義下，對待變形區域進行最小二乘約束變形，無論是拉伸或扭曲變形，均構建能量誤差函數e(v′)並求最小值，解得變形後的頂點，從而完成變形。

求解能量誤差函數e(v′)的極小值即為求解二次最小化的問題，可以轉換為求解稀疏線性系統。

所述第四步中，變形種類的區分和處理具體為：

若變形種類為拉伸變形，則直接進行下一步驟；

若變形種類為扭曲變形，則通過一種矢量組合運算方法完成空間網格模型繞任意動軸的扭曲變形，之後再進行下一步驟。

所述的矢量組合運算方法具體是：

步1：建立世界坐標系oxyz，以待變形控制頂點v*為向量的起點並作為旋轉基點，各個待變形的頂點為向量的終點，為每一個頂點添加一個變換向量；

步2：以待變形控制頂點v*的單位法向量n為旋轉軸；

步3：構造矢量vi是第i個待變形點，i為待變形點的序號，過待變形控制頂點v*取一個法向量為單位法向量n的平面γ；

步4：通過單位法向量n與矢量乘構造矢量v2；

步5：通過矢量v2與單位法向量n叉乘構造矢量v1；由於n為單位向量，v1與v2正交且模相等；

步6：構造向量v＝v1cosθ+v2sinθ，其中θ為旋轉角度；由於v1與v2正交且模相等，向量v就是向量v1繞n旋轉θ後的新向量；

步7：構造向量其中o為坐標系的原點；

步8：為方便計算，將向量進一步轉化為下式：

其中，為旋轉基點轉化而來，v*1是控制頂點v*在點vi旋轉平面的投影點，為向量n乘以一個常數ρ，其中ρ為向量n與向量點乘的結果。

向量的末端就是點vi旋轉θ得到的新頂點v′i，由此獲得對任意頂點vi繞法向量為n的控制頂點v*旋轉θ角度後的頂點vi′。

所述的矢量組合運算方法是用不同的相對影響凸包處理影響凸包區域和非影響凸包區域，對原始網格模型的laplacian坐標進行了修正，為影響凸包內的網格頂點隱式地添加變換向量，解決了laplacian微分坐標對縮放和旋轉變換變形中局部信息發生旋轉扭曲的弊端。

所述第三步構建最小體積外接橢球的具體步驟為：

步1：給定點集p和包絡誤差，將點集p劃分為多個子點集，對每個子點集生成一個包圍橢球，橢球的中心式方程表示如下：

(x-ps)t×a×(x-ps)＝1

其中，ps是最小體積包圍橢球的中心，在三維空間中，a是一個3×3的正定矩陣，且a的特徵值為橢球半軸平方的倒數，t表示矩陣轉置；

步2：在三維空間中，由橢球方程的定義可知，a是3×3的正定矩陣。對完全包圍點集p的橢球方程中的正定矩陣a進行奇異值分解，得到三個矩陣u,q,d，其中，u,d分別是酉矩陣(unitarymatrix)，分別為左乘酉矩陣和右乘酉矩陣，u和d的共軛轉置等於其逆矩陣uh＝u-1，dh＝u-1，q是表示a的特徵值的對角矩陣，即表示為橢球方程的標準形式：

其中，xr表示橢球沿x方向的半軸，yr表示橢球沿y方向的半軸，zr表示橢球沿z方向的半軸；

步3：由仿射變換將直笛卡爾坐標系的橢球域進行斜橢球化，令[x,y,z]←[x,y,z]*r，其中r為仿射變換矩陣：

r＝rz×ry×rx

其中，θx,θy,θz分別表示分別繞xyz三個方向的旋轉角度；

從而獲得包絡全局或局部幾何網格模型的斜橢球域影響凸包，通過邏輯正向或反向選定來確定影響區域。

所述第五步具體為：

步1：遍歷待變形控制頂點v*的環形鄰域，得到由環形鄰域中的s個頂點構成的三角網格模型m＝(v，e，f)，v為環形鄰域中所有頂點構成的頂點集，e為環形鄰域的邊集，f為環形鄰域的三角面片集合，s表示三角網格模型中的頂點總數；

頂點集v中，對於每個頂點，用傳統的笛卡爾坐標vi表示，記vi＝(xi，yi，zi)；

步2：通過樹形數據結構表示頂點的環形鄰接關係。循環遍歷頂點集v中每個頂點的一階環形鄰域，獲得頂點集ni＝{vj|(vi，vj)∈e}，vj表示頂點vi一階環形鄰域中的頂點，(vi，vj)表示頂點vi和頂點vj之間的連線；

步3：用以下公式表示的laplacian坐標δi計算獲得待變形網格模型中的頂點vi：

其中，δi為頂點vi的laplacian坐標，l為網格模型的laplacian算子，wi,j為vj點相對於vi點的權值，vj表示頂點vi一階環形鄰域中的頂點。

所述的權值wi,j可採用以下公式計算：

其中，card(ni)是頂點集ni的元素個數，作為頂點vi的度，即一階環形鄰域中的頂點個數，j表示頂點vi一階環形鄰域中的頂點的序數。

所述第六步中，能量誤差函數為：

其中，vi′表示變形後的頂點vi，s表示網格模型中的頂點總數，m表示待變形點總數，v′表示變換後的待變形點，點vi′和點v′均用歐氏坐標表示；

在能量誤差函數中，對待變形點和非待變形點進行區分處理：

若vi不為待變形點，則vi′＝ui，ui表示頂點vi的原坐標；

若vi為待變形點，則採用上述能量誤差函數求解獲得變形後的頂點vi′，此時i∈{1,…,m-1}。

所述第六步中，求解能量誤差函數e(v′)的極小值具體是轉換為求解以下公式的稀疏線性系統，使變形後網格上的待變形點位置逼近於指定的位置，而不變形點位置保持不變，得到影響凸包區域和非影響凸包區域疊加後的網格模型：

其中，l為laplacian變換的係數矩陣，0表示零矩陣，i為單位矩陣，v′表示待變形點變換後的歐氏坐標，δ表示變形後網格頂點的laplacian坐標矩陣，ui表示非待變形點的集合，ui＝{ui|i∈(m…s)}。

求解上述公式的稀疏線性系統是對係數矩陣l進行lu(下三角和上三角)分解，然後採用迭代法求解得到待變形點變換後的歐氏坐標v′。

所述的能量誤差函數是指在控制頂點的影響區域內，把待變形點和不變形點區分處理併疊加，將原網格分解為影響凸包區域(待變形網格)和非影響凸包區域(不變形網格)，即得到模型的多模態變形。

本發明具有的有益效果是：

1.本發明提出的方法，可以給定斜橢球必須包圍的點集，確定受控制影響變形和不受控制影響變形的頂點區域，確定從全局網格頂點邏輯正向或反向選定影響區域，進一步獲得斜橢球域影響凸包的空間表達，有助於實現網格模型上幾何鄰近而拓撲不連接區域頂點的拉伸變形與扭曲變形的多模態變形。

2.本發明提出的多分辨層次網格變形技術，可對斜橢球域影響凸包確定的變形頂點通過矢量的組合運算完成空間網格模型繞任意動軸的旋轉，變形後的網格面片法向量或頂點法向量過渡平緩均勻，具有更好的平順性，有助於實現幾何鄰近而拓撲不連接區域的幾何網格模型變形。

附圖說明

圖1是本發明方法流程總圖。

圖2是本發明的微分域坐標變換的多模態變形示意圖。

圖3是本發明的扭曲變形矢量構建示意圖。

圖4是本發明的實例幾何網格模型圖。

圖5是本發明的網格模型的全局與局部斜橢球域影響凸包圖。

圖6是本發明的全局斜橢球域影響凸包的實例變形圖。

圖7是本發明的局部斜橢球域影響凸包的實例變形圖。

圖8是本發明的全局斜橢球域影響凸包變形網格的頂點法向量圖。

圖9是本發明的局部斜橢球域影響凸包變形網格的頂點法向量圖。

具體實施方式

下面結合附圖和實施例對本發明作進一步說明。

本發明的實施例及其實施過程如下(進一步完善實施例，核實實施例的完整性，並核查字母名稱解釋是否統一和缺失)：

第一步：導入待變形的網格模型，圖4是本發明的實例幾何網格模型圖。

實例幾何網格模型面片數3789，頂點數1926。在列印坐標系中，變換後網格模型，凸包圍盒頂點的坐標極值：[xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax]＝[0.0000,11.6360,0.0000,9.3149,0.0000,12.3809]，凸包圍盒中心坐標：(5.8180,4.6574,6.1905)，模型形心坐標：(8.0134,4.1450,3.6348)，凸包圍盒空間：(11.6360,9.3149,12.3809)，凸包圍盒對角線長度為19.3766。頂點法向量與z軸正方向的夾角，最大值max為176.9595，最小值min為21.4073，平均值mean為98.6952，大於平均值mean的有937個，佔48.65％。平均曲率最大值max(cmean)＝5.1386，最小值min(cmean)＝0.0308，平均值mean(cmean)＝0.6843，大於平均平均曲率的頂點有651個，佔33.80％。高斯曲率最大值max(cgaussian)＝16.4826，最小值min(cgaussian)＝0.0001，平均值mean(cgaussian)＝0.4136，大於平均高斯曲率的頂點有381個，佔19.78％。第一主分量最大值max(λ1)＝3.1806，最小值min(λ1)＝0.0002，平均值mean(λ1)＝0.2420，大於平均λ1的頂點有589個，佔30.58％。第二主分量最大值max(λ2)＝8.2885，最小值min(λ2)＝0.0358，平均值mean(λ2)＝1.1265，大於平均λ2的頂點有672個，佔34.89％。面片法向量與z軸正方向的夾角，最大值max為161.5788，最小值min為1.3441，平均值mean為81.5279，大於平均值mean的有1955個，佔51.60％。頂點法向量與z軸正方向的夾角，最大值max為176.9595，最小值min為21.4073，平均值mean為98.6952，大於平均值mean的有937個，佔48.65％。網格模型x方向最大值點(11.6360,5.3530,8.4176)，最小值點(0.0000,0.9198,1.3243)，y方向最大值點(8.5910,9.3149,6.6931)，最小值點(8.0511,0.0000,7.0067)，z方向最高點(10.9784,6.4637,12.3809)，最低點(2.4196,3.5340,0.0000)。laplacian微分坐標表示為1926*1926個單元的稀疏矩陣。

根據感興趣區域(regionsofinterest,roi)作為待變形區域，待變形區域中的頂點作為待變形點，獲得待變形點集p，從待變形點中選定一個待變形控制頂點v*。

第二步：以待變形控制頂點v*為球心建立最小體積外接橢球，建立全局或局部的斜橢球域影響凸包，最小體積外接橢球包絡所有待變形點，用最小體積外接橢球表徵控制頂點的影響區域。

第三步：通過仿射變換將構建的最小體積外接橢球進行斜橢球化：根據空間包絡關係對最小體積外接橢球進行旋轉變換，直至構建的最小體積外接橢球所處的中心滿足全部包絡指定的頂點。

圖5是本實施例的網格模型的全局與局部斜橢球域影響凸包圖。全局斜橢球域影響凸包的中心(表示)為(7.1448,3.9422,4.8724)，半軸為(4.3221,5.8075,9.4114)，x方向最大值點(14.2414,7.1413,7.5622)，最小值點(0.0483,0.7430,2.1827)，y方向最大值點(11.0857,9.7503,7.5111)，最小值點(3.2040,-1.8660,2.2337)，z方向最高點(10.3725,7.1413,12.3754)，最低點(3.9172,0.7430,-2.6306)。根據roi變形需求，在網格模型上選定影響凸包需包絡的網格頂點為：x方向最大值點(11.5672,5.3529,8.7523)，最小值點(8.9154,4.4288,8.7060)，y方向最大值點(10.6101,6.8204,11.0361)，最小值點(10.1289,4.1117,8.6023)，z方向最高點(10.9784,6.4637,12.3809)，最低點(9.5647,5.6849,8.5600)，進一步從全局模型中選擇網格頂點21個，構成局部影響域的邊界(●表示)，坐標依次為(8.9154,8.9628,9.0919)，(9.2858,9.5647,9.8617)，(10.2120,10.4660,10.7907)，(11.1114,11.3959,11.5589)，(11.5672,11.4277,11.1941)，(10.9256,10.5893,10.1289)，(10.1334,9.5875,9.1684)，(4.4288,4.6009,4.9185)，(5.3072,5.6849,5.9827)，(6.2309,6.2866,6.2593)，(6.1228,5.9109,5.6479)，(5.3529,4.9966,4.5900)，(4.2089,4.1446,4.1117)，(4.3285,4.3516,4.3910)，(8.7060,8.7424,8.8054)，(8.8877,8.5600,8.6599)，(8.8101,8.5869,8.7123)，(8.7943,8.8260,8.7934)，(8.7523,8.7321,8.6865)，(8.5630,8.7802,8.6023)，(9.0327,8.8541,8.7406)，得到局部斜橢球域影響凸包的中心(表示)為(10.3760,5.4256,9.5983)，半軸為(1.1365,1.4408,3.0844)，x方向最大值點(11.8487,5.9893,10.5507)，最小值點(8.9033,4.8619,8.6459)，y方向最大值點(11.0347,7.1444,11.4363)，最小值點(9.7173,3.7068,7.7603)，z方向最高點(10.7363,6.6796,12.3653)，最低點(10.0157,4.1716,6.8313)。

最小體積包圍橢球(minimumvolumeenclosingellipsoids，mvee)具有如下性質：

其中，p表示待變形點集，ch(p)是p的凸包，mvee(p)表示圍繞mvee(p)的中心對其縮放倍。可用d×n的矩陣代表p，d表示頂點的維數，n表示點集p中含有n個頂點。即p的本質為在d維(d≥3)中包含n個定點。

構建待變形點集p的最小體積外接橢球的具體步驟為：

步1：給定點集p和包絡誤差，將點集p劃分為多個子點集，對每個子點集生成一個包圍橢球。橢球的中心式方程表示如下：

(x-ps)t×a×(x-ps)＝1

其中，ps是最小體積包圍橢球的中心，在三維空間中，a是一個3×3正定矩陣，且a的特徵值為橢球半軸平方的倒數，t表示矩陣轉置；

步2：確定橢球方程的參數a，ps，得到完全包圍點集p的橢球方程。在三維空間中，由橢球方程的定義可知，a是3×3的正定矩陣。對正定矩陣a進行奇異值分解，得到三個矩陣u,q,d，其中，u,d分別是酉矩陣(unitarymatrix)，分別為左乘酉矩陣和右乘酉矩陣，其共軛轉置等於其逆矩陣uh＝u-1，dh＝d-1，q是表示a的特徵值的對角矩陣，即橢球方程的標準形式為：

其中，xr表示橢球沿x方向的半軸，yr表示橢球沿y方向的半軸，zr表示橢球沿z方向的半軸；

步3：引入三個方向的旋轉角度θx,θy,θz，由仿射變換將直笛卡爾坐標系的橢球域進行斜橢球化，令[x,y,z]←[x,y,z]*r，其中r為仿射變換矩陣：

r＝rz×ry×rx

步4：獲得包絡全局或局部幾何網格模型的斜橢球域影響凸包，通過邏輯正向或反向選定來確定影響區域。

第四步：根據選擇的變形種類，對拉伸變形和扭曲變形的不同變形種類採用區分式處理；

對於扭曲變形，常見的計算方法有旋轉矩陣法、四元數法等。本發明通過矢量組合運算完成空間網格模型繞任意動軸的旋轉，如圖3所示。具體步驟如下：

步1：選定網格上的變形控制頂點v*，設置roi確定出待變形的頂點數；

步2：建立世界坐標系oxyz，以選定的控制頂點v*為旋轉基點即向量起點，各個待變形的頂點為向量的終點，為每一個頂點添加一個變換向量；

步3：對於扭曲變形，確定變形控制頂點的單位法向量n為旋轉軸；

步4：如圖3所示，在世界坐標系oxyz中，給定單位向量n，一個旋轉基點v*，一個空間的任意點vi，以構建扭曲變形矢量的方式可重新設置微分坐標的方向；

步5：構造矢量過v*點取一個法向量為n的平面γ；

步6：通過n與叉乘構造矢量v2；

步7：通過v2與n叉乘構造矢量v1。由於n為單位向量，v1與v2正交且模相等；

步8：構造向量v＝v1cosθ+v2sinθ。由於v1與v2正交且模相等，向量v就是向量v1繞n旋轉θ後的新向量；

步9：構造向量為方便計算，向量可進一步轉化為下式：

其中，為旋轉基點轉化而來，v*1是控制頂點v*在點vi旋轉平面的投影點，而為向量n乘以一個常數ρ，其中ρ為向量n與向量點乘的結果。

向量的末端就是點vi旋轉θ得到的新點坐標v′i，由此獲得對任意頂點vi繞法向量為n的控制頂點v*旋轉θ角度後的頂點坐標v′i。

第五步：遍歷待變形控制頂點的環形鄰域，得到具有s個頂點的三角網格模型m，並用laplacian坐標δi描述幾何網格模型；

如圖2所示，是本實施例構建的3d坐標分層切片平面創建示意圖。用laplacian坐標δi描述幾何網格模型，其中δi的定義如下：

其中，δi為頂點vi的laplacian坐標，l為網格模型的laplacian算子，wi,j為vj點相對於vi點的權值，vj表示頂點vi一階環形鄰域中的頂點。

第六步：對待變形區域進行最小二乘約束變形，對於拉伸或扭曲變形構建能量誤差函數e(v′)並求最小值，解得變形後的頂點，從而完成變形。

由實施例以本發明方法的全局斜橢球域影響凸包的實例變形圖如圖6所示。選取的控制頂點坐標為(7.8958,4.0050,4.4230)，距離全局網格最近歐氏距離為零，位於網格上，該點處法向量為(0.7735,-0.2506,-0.5821)，該點環形鄰域頂點有5個，笛卡爾坐標為(7.8740,8.1180,8.2256)，(7.7321,8.0285,4.0410)，(3.6366,4.0896,3.8121)，(4.2351,4.3792,4.8710)，(4.8514,4.3042,4.5041)。人機互動變形向量為(0.4065,0.8964,0.1089)，人機互動控制頂點偏移量為4.9642，變形後控制頂點坐標(9.9136,8.4550,4.9636)。能量誤差函數精度數值設置為1e-6。

實施例以本發明方法的局部斜橢球域影響凸包的實例變形圖如圖7所示。選取的控制頂點坐標為(7.8958,4.0050,4.4230)，距離局部網格最近歐氏距離為-4.5264，添加新網格頂點(全局第1個)為(8.9154,4.4288,8.7060)可使歐氏距離為零，該新網格頂點處法向量為(0.5221,0.7094,-0.4735)。該新網格頂點處的1環形鄰域頂點有4個，笛卡爾坐標為(8.9628,8.9892,9.1684)，(9.1926,4.6009,4.6509)，(4.3910,4.5846,8.7424)，(9.0764,8.7406,9.1042)。人機互動變形向量為(0.4065,0.8964,0.1089)，人機互動控制頂點偏移量為4.9642，變形後控制頂點坐標(9.9136,8.4550,4.9636)。能量誤差函數精度數值設置為1e-6。

圖8是本發明的全局斜橢球域影響凸包變形網格的頂點法向量圖。面片法向量與x軸正方向的夾角，最大值為179.5147°，最小值為0.5961°，平均值為90.6251°，大於平均值的有2052個，佔54.16％。面片法向量與y軸正方向的夾角，最大值為178.8383°，最小值為2.5865°，平均值為91.2862°，大於平均值的有1782個，佔47.03％。面片法向量與z軸正方向的夾角，最大值為169.0496°，最小值為4.3358°，平均值為82.2177°，大於平均值的有1953個，佔51.54％。頂點法向量與z軸正方向的夾角，最大值為178.6990°，最小值為5.0856°，平均值為89.5188°，大於平均值的有882個，佔45.79％。頂點法向量與y軸正方向的夾角，最大值為178.1338°，最小值為0.9345°，平均值為88.6945°，大於平均值的有1031個，佔53.53％。頂點法向量與z軸正方向的夾角，最大值為176.3872°，最小值為16.7448°，平均值為97.9758°，大於平均值的有931個，佔48.34％。

圖9是本發明的局部斜橢球域影響凸包變形網格的頂點法向量圖。面片法向量與x軸正方向的夾角，最大值為179.3977°，最小值為2.1573°，平均值為89.4380°，大於平均值的有2044個，佔53.95％。面片法向量與y軸正方向的夾角，最大值為179.3487°，最小值為3.9884°，平均值為90.9403°，大於平均值的有1762個，佔46.50％。面片法向量與z軸正方向的夾角，最大值為164.3313°，最小值為4.3297°，平均值為81.5884°，大於平均值的有1951個，佔51.49％。頂點法向量與z軸正方向的夾角，最大值為179.4559°，最小值為1.9101°，平均值為90.6369°，大於平均值的有882個，佔45.79％。頂點法向量與y軸正方向的夾角，最大值為175.9330°，最小值為1.8163°，平均值為88.9624°，大於平均值的有1042個，佔54.10％。頂點法向量與z軸正方向的夾角，最大值為175.6531°，最小值為19.7440°，平均值為98.6227°，大於平均值的有928個，佔48.18％。通過對比圖8-圖9可見，本發明使用斜橢球影響凸包，可精準化包絡變形頂點的影響範圍，變形後的網格面片法向量或頂點法向量過渡平緩均勻，具有更好的平順性，有助於實現幾何鄰近而拓撲不連接區域的幾何網格模型變形。

由此可見，本發明構建出包圍指定邊界點集的斜橢球；確定受控制影響變形和不受控制影響變形的頂點區域；能夠進一步獲得斜橢球域影響凸包的空間表達；可用laplacian坐標在微分域內變換網格頂點實現網格變形；在roi內實現網格變形的同時還能夠保持模型的局部幾何細節；通過矢量的組合運算完成網格繞任意動軸的旋轉；能夠避免網格的局部信息發生旋轉扭曲，保證全局變形的光滑性和均勻性。

上述具體實施方式用來解釋說明本發明，而不是對本發明進行限制，在本發明的精神和權利要求的保護範圍內，對本發明作出的任何修改和改變，都落入本發明的保護範圍。