餘弦調製濾波器組的稀疏FIR原型濾波器的設計方法與流程
2023-05-31 04:43:21
本發明屬於數位訊號處理技術領域，提供了一種稀疏、高效的餘弦調製濾波器組的線性相位fir(有限脈衝響應)原型濾波器的設計方法。
背景技術：
多速率濾波器組的理論和設計因為其在通信、語音和圖像編碼/壓縮、系統辨識、快速計算等領域有廣泛的應用而備受關注。而濾波器組的構成形式一般可分為dft濾波器組和餘弦調製濾波器組。餘弦調製濾波器組通過對低通原型濾波器進行優化設計，並通過快速離散餘弦變換(dct)得到分析和綜合濾波器組，因其具有計算複雜度低和設計過程簡單等優點，在信號處理、通信和生物醫學工程等領域有廣泛應用。具有稀疏的線性相位fir(有限脈衝響應)原型濾波器的餘弦調製濾波器組是每一通道的濾波器係數具有稀疏特性(非零抽頭係數的數目小於濾波器階數)的濾波器組。稀疏的濾波器其實現所用的加法和乘法器數目遠少於與其濾波效果相當的同類濾波器，因此，稀疏的濾波器具有運算速度高、運算誤差小和能耗低等優點。
目前對於餘弦調製濾波器組的設計方法主要分為分別設計濾波器組中的分析濾波器組與綜合濾波器組和單獨設計低通原型濾波器後經過餘弦調製得到濾波器組，而對於已經提出的餘弦濾波組的設計方法中，p.p.vaidyanathan和r.d.koilpillai的設計法可算是經典，通過分析方法，估算出滿足幅度失真和混疊失真標準最小的濾波器組。
技術實現要素：
本發明目的是設計實現小紋波，低抽頭數，低幅度失真和混疊失真的餘弦調製濾波器組的線性相位fir原型濾波器，並提供一種全新的設計方法——可設計稀疏，高效的餘弦調製濾波器組的線性相位fir原型濾波器的方法。
本發明提供的餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器的設計方法具體步驟如下：
第1、餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器設計參數的初始化；
第2、迭代計算滿足完全重建條件的餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器，包括單位脈衝響應的非零抽頭係數數目、位置以及具係數數值的確定。
(下面以ii型線性相位fir濾波器為例)：
(一)根據設計要求構造初始參數：
本發明根據餘弦調製濾波器組的通道數m，選擇通帶、過渡帶和阻帶分別對應的採樣數lp，lt，ls和紋波值δp，δt，δs，確定線性相位fir原型濾波器的初始階數n，線性相位fir原型濾波器的抽頭係數用向量h表示為：
h＝2[h1,h2,…,hm…,hn/2]t(1)
其中hm(1≤m≤n/2)代表fir原型濾波器的第m個抽頭係數；將餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器設計問題轉化為如下的數學優化問題：
s.t.|bh-d|≤e(2b)
其中||h||0代表0-範數運算，即表示抽頭係數向量中非零抽頭的個數；「min」與「s.t.」組合的公式(2a)-(2c)表示求解滿足(2b)和(2c)要求的||h||0的最小值；採樣矩陣b表示為b＝[bp；bt；bs]，其中bp、bt和bs分別代表通帶、過渡帶和阻帶的採樣矩陣，表示為
其中表示維行向量；(lp+lt+ls)×1維的向量d是離散化的理想頻率響應，表示為：
其中f(ω)是過渡帶要逼近的頻率響應函數，表示為：
其中ω0＝απ/2m(0≤α≤1)，公式(7)滿足完全重建條件，表示過渡帶的頻率採樣點；誤差向量e為(lp+lt+ls)×1維的列向量，表示為：
e＝[δp…δpδt…δtδs…δs]t,(8)
(二)設定(lp+lt+ls)×1維權重向量初始值為w(1)＝[1,1,…,1]t,本發明在第k(1≤k≤n/2)次迭代中，對b矩陣的列向量做歸一化處理：
其中利用omp算法求解如下問題：
s.t.||h(k)||0≤k(10b)
並且計算(lp+lt+ls)×1維的殘差向量r(k)，表示為：
r(k)＝φ(k)s(k)-d(11)
其中k×1維的s(k)為公式(10)的運行結果，表示omp算法從b(k)中選出的列向量集合，集合λ(k)＝{n1,n2,…,nk}表示非零抽頭係數的指標集。
(三)本發明利用得到的非零抽頭係數的指標集λ(k)，求解如下的線性規劃問題中：
s.t.|b(k)h(k)-d|≤e+μ·1l×1(11b)
判斷μ是否小於零，如果大於零，則更新權重向量w，其更新公式表示為：
其中w(k+1)(l)表示新權重向量w(k+1)中的值，rl(k)表示殘差向量r(k)中的值；將新權重向量w(k+1)帶入到第2步中循環計算；如果μ小於等於零，則停止迭代運算，計算得到的即為最終的稀疏的線性相位fir原型濾波器。
本發明具有如下有益效果：
1、本發明首次提供了一種稀疏、高效的餘弦調製濾波器組的線性相位fir原型濾波器設計方法。
2、本發明可設計低非零抽頭數的原型濾波器，濾波器的稀疏性可使其實現所用的加法器乘法器數目減少，從而能提高其運算速度、減小運算誤差和降低能耗，進而降低生產成本。
3、仿真結果表明，在相同設計指標的要求下，本發明的非零抽頭係數的數目比國內外最佳的同類濾波器的數目少35％以上。
附圖說明
圖1是實現本發明的餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器設計方法流程圖；
圖2根據函數eam(ω)計算得出近似完全重建的餘弦調製濾波器組的幅度失真圖；
圖3是根據函數ea(ω)計算得出近似完全重建的餘弦調製濾波器組的混疊失真圖；
圖4是畫出表-2中餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器的頻域響應圖。
具體實施方式
實施例1：
本發明提供的餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器設計方法具體步驟如下：
第1、餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器設計參數的初始化；
第2、迭代計算滿足完全重建條件的餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器，包括單位脈衝響應的非零抽頭係數數目、位置以及具係數數值的確定。
為了驗證該濾波器組設計方法的有效性，對該方法進行了計算機模擬仿真。
設計要求：利用文獻：(f.tan,etal.:「optimaldesignofcosinemodulatedfilterbanksusingquantum-behavedparticleswarmoptimizationalgorithm,」4thinternationalcongressonimageandsignalprocessing,vol.5,pp.2280-2284,2011.)(f.tan,etal.:「基於量子粒子群優化算法的餘弦調製濾波器組優化設計,」第四界國際圖像與信號處理會議,vol.5,pp.2280-2284,2011.)中所給出的設計指標，濾波器組通道數m＝16，原型濾波器初始係數個數n＝256，並設計通帶、過渡帶和阻帶分別對應的採樣數lp＝4，lt＝7，ls＝94，紋波值δp＝δt＝δs＝1·10-8帶入計算。本發明用iromp算法設計餘弦濾波器組的原型濾波器，根據權重值的計算，在得到的變量集b中，選擇非零的係數位置對應的列向量bj，帶入到iromp算法中迭代計算得到的濾波器係數。
步驟一：根據餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器的設計參數要求將各設計參數帶入初始化條件，得到待求解問題：
s.t.|bh-d|≤e(2b)
將設計的通帶、過渡帶和阻帶分別對應的採樣數lp＝4，lt＝7，ls＝94帶入公式(6)得到(4+7+94)×1維的離散化的理想頻率響應d，表示為：
其中f(ω)數值如表-1所示：
表-1
將設計紋波值δp＝δt＝δs＝1·10-8帶入公式(7)，得到(4+7+94)×1維誤差列向量e，向量中每個值都為1·10-8，設定(4+7+94)×1維權重向量初始值為w(1)＝[1,1,…,1]t；
步驟二：在第k(1≤k≤n/2)次迭代中，對b矩陣的列向量做歸一化處理：
然後使用附錄1中的omp算法求解如下問題：
s.t.||h(k)||0≤k(10b)
計算得到非零抽頭係數的指標集λ(k)；
步驟三：使用步驟二求解得到的非零抽頭係數的指標集λ(k)，帶入求解如下的線性規劃問題中：
s.t.|b(k)h(k)-d|≤e+μ·1l×1(11b)
進而得到餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器抽頭係數其數值列在表-2中。
表-2
因為ii型fir濾波器的脈衝響應具有對稱性，故經過本發明求得的濾波器抽頭係數為需要求解的原型濾波器抽頭係數的一半，另一半對稱相等，即所求稀疏fir原型濾波器總抽頭係數表示為：
其中表示將向量上下翻轉。
利用本發明算法對變量矩陣b進行變量選擇。對於256階濾波器，本算法進行選擇後可得到一半抽頭係數的所有情況(另一半係數與其對稱相等)，即將帶入濾波器總抽頭係數表達式中，得到原型濾波器總抽頭係數最終得到的餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器是非零係數為166階的濾波器，與粒子群優化算法相比節省了35.6％。
利用步驟三得到的原型濾波器抽頭係數計算分析濾波器組hm(n)和綜合濾波器組gm(n)：
其中1≤m≤m，並計算餘弦調製濾波器組的幅度失真值eam和混疊失真值ea，其計算公式表示為：
eam(ω)＝1-|a0(ejω)
其中a0(ejω)和al(ejω)表示為：
hk(ejω)為分析濾波器組的頻域響應，gk(ejω)為綜合濾波器組的頻域響應。
在表-3中，分別比較了本發明算法與粒子群優化算法得到的fir陷波濾波器的階數、非零抽頭權重的數量、濾波器組的幅度失真和混疊失真等幾項關鍵指標，如表-3中所示，在幅度失真值eam與混疊失真值ea相似情況下，本發明的原型濾波器階數明顯少於粒子群優化算法。
表-3
在附圖2中，根據函數eam(ω)計算得出近似完全重建的餘弦調製濾波器組的幅度失真圖，其最大值與表-3中本發明算法得到的幅度失真值eam對應相等；在附圖3中，根據函數ea(ω)計算得出近似完全重建的餘弦調製濾波器組的混疊失真圖，其最大值與表-3中本發明算法得到的混疊失真值ea對應相等；圖4是畫出表-2中餘弦調製濾波器組的稀疏線性相位fir原型濾波器的頻域響應。
附錄1
式(13)omp算法計算過程
利用omp算法計算式(10)，m×n的矩陣b即為omp算法的傳感矩陣，n×1的d為觀測值，ri表示殘差，t表示迭代次數，表示空集，λt表示t次迭代的索引集合，λt表示第t次迭代找到的索引，aj表示矩陣β的第j列，bt表示按索引λt選出的矩陣b的列集合，θt為t×1的列向量，符號∪表示集合併運算，表示求第t次迭代更新前的殘差與矩陣β的第j列向量內積。具體實現步驟如下：
1、初始化殘差使其等於
r0＝d；(1)
2、用公式
計算得到索引λt；
3、對λt和bt併集運算，令
λt＝λt-1∪{λt}，
4、求新觀測值d＝btθt的最小二乘解：
5、用(4)求得的最小二乘解更新殘差ri，計算為：
6、令t＝t+1，如果t小於預設值則返回第(2)步，否則停止迭代進入第7步；
7、重構所得在λt處有非零項，其值分別為最後一次迭代所得