不規則三角形組成的牆繪（循環群二面體群）

2023-10-11 01:19:29 2

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

任何地方都不需要很高的數學知識，因為大部分的陳述都會有插圖而不是證明。

——H.J. Woods(1935)

1 介紹

正如前文所述，一些研究者提出了用產生任何此類圖案的四個基本幾何運動來描述重複圖案。自從這些最初的論文發表以來，潛在的用戶對這種方法充滿了熱情，但由於必要的幾何概念不是傳統人類學或藝術培訓的一部分，所以在進行分析時遇到了困難。

對此，科學家開發了明確的對稱性分析程序。我們相信這些流程圖將加速對稱性分析方法的採用。流程圖通過一系列的問題引導用戶對圖案進行完整的描述，每個問題只要對幾何學的幾個原理有基本的了解就可以輕鬆回答。本章的目的是對這些幾何原理做一些解釋。

我們首先將簡要地描述我們所關注的各種圖形：平面上的圖形。這些是表面上的圖形，至少在概念上可以被壓扁成一個平面。許多裝飾物，如紡織品、瓷磚、裝飾牆和容器的平面，本身就是平面的；它們的裝飾物已經是平面上的圖形。

我們將簡要地討論一些被裝飾物體幾乎是圓柱形或球形的情況。圓柱體是最簡單的情況（除了平面本身），因為它的裝飾可以在不變形的情況下展開到一個平面上。事實上，對於一些物體，如用於製作花紋酥餅的雕花擀麵杖，或圓柱形印章，這就是它們的實際用途。圖2.1顯示了通過展開一個來自墨西哥的圓柱形郵票而得到的帶狀圖案。圖5.106、5.109、5.123、5.127、5.129、5.157、5.184、5.186和5.197顯示了許多其他圓柱形圖案的例子，通過這種展開過程，它們很容易轉化為平面上的實際圖案。

圖2.1

一個幾乎是圓柱形的圓錐體也可以用同樣的方法處理。(在球體的情況下，圖案單位相對於球體的大小可能足夠小，以至於它可以被認為是一個平面圖案（就像城市地圖畫在一張平面紙上一樣，儘管這個城市實際上位於球形的地球上）。

圓錐體和球體上的圖案很多時候是圍繞物體的帶子。這些帶子也可以被展開到平面上，只有適度的失真。圖4.32、4.35、4.45、4.61、4.76和4.122中可以看到這種條帶的例子。

最後，在球形的碗上，經常有圓形的設計，在碗的頂部、前面或底部的中心。圖2.2中的Baluba小碗上就有這種一般類型的例子，但卻是方形的，而不是圓形的。這些通常被視為 "有限設計"，儘管經過一些變形，有些可以展開成為帶狀設計。

圖2.2

我們將假設要研究的圖形實際上位於一個平面內。(事實上，本書或任何其他書籍中的所有插圖都必須是最初可能出現在更複雜表面上的圖形的平面表示）。然後我們將通過平面幾何的簡單工具，即剛性運動來分析這些平面圖形。我們所說的剛體運動是指平面對自身的距離保全變換。從原理上講，這意味著平面上的點P, Q, ... - ...被分配到新的位置P', Q'...這樣，任何兩點P和Q之間的距離PQ總是與變換後的點之間的距離P'Q'相同。剛性運動通常也被稱為運動、對稱、等值或保距變換。下一節將專門描述平面的剛性運動・・・。

2 平面的對稱：四種基本剛性運動

我們將把以下事實作為我們的出發點（在附錄1中證明）：平面的每一個剛性運動，無論多麼複雜，都是四個基本剛性運動中的一個。

1.反射（在平面內的一條線上）。

2.平移

3.旋轉（圍繞平面內的一個點）。

4.滑移反射

本書所述的圖案分析所需的唯一工具是識別這四種運動中的每一種，並注意其在特定圖案中的出現（或不出現）。下文第2.2.1節對這些運動進行了簡要描述。

作為對這四種基本剛性運動進行更正式討論的第一步，想像一個平面圖形F，例如圖2.3a的三角形，畫在一張紙上。然後在該三角形上鋪上一張透明的紙，並畫出它的精確拷貝，即F*。現在，對於圖中所示的特定三角形，沒有辦法移動透明紙，然後替換它，使F和F*完全吻合，除非把它放回原處。這是另一種說法，這個三角形沒有對稱性，或者說是不對稱的。

圖2.3a 不對稱的三角形

然而，如果三角形是一個等邊三角形ABC，如圖2.3b所示，那麼當我們描繪副本A*B*C*時，有幾種方法可以替換它，使它與ABC重合，例如，我們可以將透明板旋轉120 °(三分之一整圈),使A*位於B上，B*位於C上，C*位於A上，這表明等邊三角形具有旋轉對稱性，或允許旋轉120°。一個同義的表達是三角形在旋轉120°下是不變的。

圖2.3b

在等邊三角形的情況下，三角形也可以自身翻轉，這樣A*仍然位於A上，但B*位於C上，C*位於B上。這表明三角形也承認直線L上的反射，直線L是邊BC的垂直平分線(圖2.3c)。在等邊三角形的情況下，還有兩條這樣的反射對稱線，即AB邊和AC邊的垂直平分線。這裡我們再說一遍，三角形在這三條垂直平分線中的任何一條上的反射下都是不變的。

圖2.3c 等邊三角形的對稱軸L

在某些無限圖形中，例如圖2.3d中由無限行等距三角形組成的圖形，當描摹的副本由整個無限圖形組成時，通過將T*移動到Tb，T *移動到T2等，將有可能使副本與原件相匹配(無需切紙)。這表明原來的一排三角形具有平移對稱性，因為將整個圖形向左移動一個三角形的運動稱為平移。當然，我們也可以將每個三角形向左移動兩個或更多個三角形。我們再說一遍，三角形的無限行在任何這樣的平移下都是不變的。

圖2.3d 平移對稱的圖案

請注意，透明紙實驗表明，沒有一個有限的圖形允許平移，因為沒有平移可以移動一個有限的圖形，使其與自身重合。在本書中，單詞pattern將僅用於指代(潛在的)無限數字。

如果一個平面圖形包含四個平面等距中的一個或多個，則稱它對稱。例如，在這個一般意義上，圖2.3d中的三角形的無限帶是對稱的，因為有一個平移，將每個三角形移動到下一個三角形上。這是一個更一般的概念，而不是普遍理解的僅指兩側對稱(參見Brainerd 1942)。也就是說，在流行的用法中，一個平面圖形只有當它允許反射時才被認為是對稱的。我們將在下一節中對此進行更多的討論。首先，我們轉向對平面的四種剛性運動中每一種的更詳細的描述。

2.1反射

線L上或穿過線L的反射(為了強調，也稱為線反射或鏡面反射)將每個點P移動到點P '上，該點P '是通過畫一條垂直於L的線並在L的另一側將其延伸相同的距離而獲得的。(如果P在鏡像線上，則P' = P，即z P是一個固定點。)形象化的一個好方法是畫點P，Q，.。。在一張紙上畫出L線(飛機)。然後沿著L摺疊這張紙，在P，Q，.。。位於l的另一邊。這些新的點，P '，Q '，。。是P，Q，在L中的鏡像，..如圖2.4所示。因此，任何可以「對摺」使得一半與另一半完全重合的圖形都有一個反射，而摺疊線就是該反射的鏡像線。

圖2.4 鏡像對稱

將平面上的每一點取為直線L上的鏡像的等距線稱為直線L上的反射線。直線L稱為反射鏡或反射軸。記住鏡像線上的點根本不移動:它們是這種等距的固定點。圖2.5a中的三角形通過線l中的反射相關聯。圖2.5b中的San Ildefonso Pueblo圖案的上半部分和下半部分通過穿過條帶中間的水平線中的反射以相同的方式相關聯。在我們的插圖中，我們用實線表示鏡面反射軸。(虛線是滑移反射軸，將在下面的2.4節中討論。)

圖2.5a 中央水平線是對稱軸

圖2.5b

在帶狀(或條狀)圖案中，任何反射軸都必須沿著帶的軸，如圖2.5a和2.5b所示，或者垂直於該軸，如圖2.5c和2.5d所示。注意，對於帶，最多只能有一條「水平」反射線，但可能有許多「垂直」反射線。事實上，在一個允許平移的無限帶中，正如在圖2.5的所有那些圖中一樣，必然會有無限多條垂直反射線(如果有的話)。在圖2.5c和2.5d中只標出了兩條反射線；平移將每條垂直反射線移動到另一條反射線。

圖2.5c 垂直線是對稱軸

圖2.5d

在二維圖案中，兩條相交鏡像線的存在意味著圍繞它們的交點存在旋轉(旋轉角度是兩條線相交角度的兩倍)(這在附錄1中有更詳細的討論)。)比如圖2.6a，一個中國的窗欞，有直角(90°)的鏡像線；因此，圍繞它們的交點有一個半圈(180°)。在圖2.6b的日本圖樣中，鏡像線以60°角相交；因此，圍繞它們的交點旋轉了120°

圖2.6a，一個中國的窗欞，有直角(90°)的鏡像線

圖2.6b日本圖樣

在附錄1中表明，反射是構成所有剛體運動的基礎，也就是說，每一個剛體運動(平面的)都是應用一個、兩個或三個反射的結果。兩次反射的產物是平移和旋轉，將在下面的2.2和2.3節中討論。

一個允許有反射平面圖形通常被認為是左右對稱的。事實上，在許多論述中(如本書1.4.2節所討論的),這是唯一一種被認可的對稱。然而，我們將對稱一詞用於其更一般的意義上如果一個平面圖形允許四種剛性運動中的任何一種(或多種)運動，就說它是對稱的例如，一個希臘十字架是對稱的，因為它允許反射。但是納粹黨所用的十字記號也是對稱的，因為它允許繞其中心旋轉90度(或180度或270度)。納粹黨所用的十字記號沒有(鏡像)對稱性，因此對稱性較低(即z允許較少的剛性運動),但仍保持與希臘十字相同的旋轉對稱性。

2.2平移

平面的平移只是沿著某一條線L(或任何與之平行的線)位移或移動某一距離d。因此，向量v(長度為d，方向平行於L)完全定義了平移。更具體地，如果向量的尾部位於點P、Q、的每一個處，並且每個向量的頭部被標記為P′、Q′、P，Q′到P′、Q′的平面的剛性運動是向量v的平移(或者等效地，L方向上的距離d)。圖2.7a示出了一種三角形圖案，它(當解釋為無限帶時)允許平移，但不允許其他等距變換最小平移，即從三角形A到三角形B，從三角形B到三角形C，等等。在圖2.7a中顯示為矢量v。在圖2.7b中，最小平移向量是w。

圖2.7a 按照向量v平移

圖2.7b 陶瓷設計

當然，允許某個向量v平移的圖案也允許2v、3v等平移，以及相反方向的平移，即-v、-2v、-3v等平移。再次參考圖2.7a，這意味著如果某個平移(v)將每個三角形向右移動一步，那麼當這個平移應用兩次時，產生2v的新平移，每個三角形向右移動兩步。同樣，平移-3v，將每個三角形向左移動三步。

注意，在平移下沒有固定的點，每個點移動完全相同的距離d。

2.3旋轉

旋轉只有一個固定點，旋轉的中心當我們知道它的中心，旋轉的角度和它的方向，順時針或逆時針，旋轉就完全確定了。逆時針方向通常被認為是正方向很明顯，旋轉是有限(即有界)圖形允許的唯一對稱(除了反射)。圖2.8a顯示了一個簡單的有限設計(兩個鉤子，A和B ),其唯一的對稱是雙重(即 180 °)旋轉。圖2.8b顯示了科契蒂普韋布洛的雙重有限陶瓷設計。圖2.8c不具有旋轉對稱性；它沒有旋轉中心點。

圖2.8a 二重旋轉（18°旋轉），有限設計

圖2.8b 陶瓷設計

圖2.8c 葉狀元素

同樣明顯的是，一個帶圖案可以接受的唯一旋轉是半圈(180度旋轉)。與垂直反射的情況一樣，如果一個帶圖案(允許平移)允許一個這樣的旋轉，它就允許無限多個這樣的旋轉，因為每個平移將任何旋轉中心移動到一個新的旋轉中心。圖2.9a示出了通過平移重複圖2.8a的鉤子以形成帶狀圖案。在圖2.9b中使用三角形顯示了完全相同的對稱性。該圖案允許圍繞P和Q等點進行兩次旋轉。注意，圍繞P或Q旋轉180°以外的任何角度(或180°的倍數)都會使條帶偏離其原始位置一個角度；因此，帶鉤或三角形不可能匹配其原始位置。這就是為什麼能帶圖案只允許雙重旋轉，而不允許其他旋轉圖2.9c顯示了一個San Ildefonso Pueblo圖案，其對稱性與前面兩個例子完全相同。

圖2.9a 二重旋轉，一維設計

圖2.9b 繞點P和Q的二重旋轉

圖2.9c 陶瓷設計

一個值得注意的事實(「晶體學限制*」)是平面中二維重複圖案所允許的唯一可能的旋轉是半圈、三圈、四圈和六圈(分別為180、120、90和60度)。史蒂文斯給出了一個簡單的證明(1980:380-81)。圖2.10a說明了「鉤子」的排列，使得整個(無限)圖形可以旋轉180度(「兩倍」)。這種鉤子可以以不同的二維重複圖案排列，以允許120 °(三倍)旋轉、90 °(四倍)旋轉和60 °(六倍)旋轉，但是不允許例如無限重複圖案的五倍或八倍旋轉。圖2.10b顯示了在密西西比傳統分支上雕刻的二維雙重旋轉圖案我們在圖2.10a和2.10b上繪製了平移向量，以顯示它們如何通過平移移動。

圖2.10a 二重旋轉，二維圖案

圖2.10b 陶瓷設計

2.4滑移反射

滑移反射可以簡單地描述為平移(「滑移」)，然後在平行於平移方向的直線上進行反射。可以先進行反射，然後進行滑移，得到相同的結果。在實踐中，這些是最難識別和確定的動作。

一個典型的例子是行走時兩隻腳交替左右左右運動所產生的典型的人類步道，如圖2.11a所示。在圖2.11b、2.11c和2.11d中，這被分解為滑移和反射。原始位置如圖2.11b所示。在向量v滑移後，中間位置由圖2.11c中的虛線三角形表示。(請注意，每個實心三角形A、B、C等都右移了v，變成了虛線三角形A『、B』、C等。)。最後，滑移反射由虛線L上的反射完成。整個滑移反射的結果如圖2.11d所示，其中A已移動到A「(=B)，B移到B」(=Q，依此類推，從而使原始圖案與其自身重合。圖2.1 1e展示了一個聖伊爾德豐索普韋布洛陶瓷設計，其唯一的對稱性(除了平移)是滑移反射。我們使用虛線，如圖2.11所示，用於滑移反射的軸(即反射線)。

圖2.11a 人類的足跡就是滑移反射的例子

圖2.11b 滑移反射的原始位置

圖2.11c 滑移反射的中間位置

圖2.11d 完整的滑移反射

圖2.11e 陶瓷設計

一個圖形所承認的任何剛體運動都是該圖形的對稱。本書中的圖案分類是根據圖形所承認的對稱性進行的分類，分類的過程稱為對稱性分析。

3 設計，重複圖案，維度

我們現在能夠更準確地定義設計、圖案和維度的含義。我們已經使用並將繼續使用「圖形」這個術語來描述任何圖畫、繪畫、點集等。也就是說，在平面中,「圖形」一詞並不具有任何特定的含義。然而，這本書關注的是具有某種對稱性的圖形。我們將術語設計應用於這些特殊的圖形，因此設計是一種特殊的圖形，它允許至少一個(非平凡的)等距圖圓是設計的一個例子，因為它具有旋轉和反射對稱性。

我們為那些具有平移對稱性的設計保留術語圖案(或重複圖案),沒有一個有界的圖形，如圓形或玫瑰形，是圖案，即使它可能具有反射或旋轉對稱性。一個圖案必須在概念上延伸到無窮遠；否則它不可能具有平移對稱性。圖案可能根本沒有其他對稱性，如圖2.3d所示，但由於其平移對稱性，它必然會無限延伸，如帶狀圖案或壁紙圖案因此，在這種層次結構中，圖案是一種特殊的設計，而設計是一種特殊的圖形。

我們可以用本章前面的插圖來闡明這個層次:圖2.8c是一個「圖形」，但不是一個設計或圖案，因為它根本沒有對稱性。圖2.8b顯示了一個「設計」(當然也是一個圖形)，它不是一個圖案，因為它沒有平移對稱性。圖2.9c是一個「圖案」(也是一個圖形和一個設計)，因為它具有向左和向右的平移對稱性，想像為在兩個方向上無限延伸。被認為向各個方向無限延伸的二維圖形，如圖2.6所示，也是「圖形」

本章中的許多例子說明了顏色和複雜的運動類別，這些將在第3、4和5章中詳細討論。讀者在閱讀完這些章節後，可能希望參考這些細節和例外情況。

如果一個設計不允許任何平移，那麼它被稱為有限設計(例如，見圖2.8b)。請注意，一些「有限」設計，如光線向四面八方無限延伸的太陽，可能是無限的如果它們沒有任何平移對稱性，我們仍然稱它們為有限設計.

如果一個設計只允許一個方向的平移(和它的「相反方向*」)，這個設計被稱為手形、條形、中楣形或一維圖案(例如，見圖2.9)。

如果一個平面圖形允許在兩個或兩個以上的方向上平移，它就是一個空間圖形(例如，見圖2.10)。(在Crunbaum和Shephard 1987以及一些技術數學文獻中，這些也稱為周期圖案。)

我們在這裡強調，給定四個運動，對於一維條帶，只有七個單色類是可能的，對於二維圖案，只有十七個單色類是可能的。僅七類能帶圖案存在的證明見附錄2僅十七類二維圖案存在的證明見Martin 1982(第11章)和Schwarzenberger 1980(第1章)。

請注意，一維和二維圖案必然是無限的，因為它們允許距離d的平移意味著它們允許距離2d、3d等的平移。也就是說，他們承認無限數量的平移，因此在程度上不可能是有限的。

當然，我們稱之為紡織品或罐子上的一維或二維設計。實際上並不是無限的。這種圖案終止於布的邊緣或完全環繞容器在大多數情況下，從某種意義上來說這種圖案是無限的是非常昂貴的:一些基本圖形的重複足以使圖案如何擴展以填充整個無限帶或整個平面變得顯而易見建築物牆上的普通砌磚是我們都同意的「無限、二維」圖案的一個很好的例子。

然而，也有不那麼昂貴的情況，我們需要建立一些通用的「最小重複」規則來決定一個圖形是否真的是重複圖案。我們首先注意到，在每一個重複的圖案中，都有一些基本單位(「基本區域」或「基序」)，它們的重複，通過一定的等距，產生了整個圖案。我們一般的規則是，一個一維圖案至少要有原始的基本單元和一個通過平移得到的副本。旋轉或反射是不夠的(「平移」實際上是旋轉的環形帶是有限的還是一維的，這個問題在第6章討論。)一個二維圖案至少要有原來的基本單元，一個通過平移得到的副本，以及這兩個通過第二個方向平移得到的副本。也就是說，必須至少有兩行，每行至少兩個單位長這些規則對於碎片材料的分類特別有用，例如考古學家發現的人工製品上的設計。

例如，如果調查者知道特定時期的裝飾材料是帶狀的，那麼他可以合理地假設這個設計系統中有兩個平移單元的碎片是更長的一維條帶的一部分。

圖2.12顯示了來自美國西南部的四個陶瓷碎片，選擇它們來說明這一規則的各個方面。碎片a和b都只有一個單位或一組單位，通過兩次(180°)旋轉聯繫在一起，因此被歸類為有限設計，即使它們似乎位於條帶設計領域。如果在每種情況下，第二個三角形都是通過平移(而不是旋轉)從第一個三角形獲得的，我們將稱其為一維·。

圖2.12a 陶瓷碎片上的有限圖案

圖2.12b 陶瓷碎片上的有限圖案

相反，碎片c通過平移包含三角形的重複，因此符合一維圖案。碎片d顯示了二維棋盤圖案的片段。在這種情況下，即使調查者不知道包含棋盤的較大圖形的形狀，但其中的該圖案可以被分類為二維圖案，因為通過平移，在兩個方向的每個方向上都有兩個以上的基本單位(一起是黑白正方形)的副本。下面是更多的例子。

圖2.12c 陶瓷碎片上的一維設計

圖2.12d 陶瓷碎片上的二維設計

在一維圖案中，單元沿一條軸線向兩個方向無限延伸圖2.13中的San Ildefonso Pueblo陶瓷設計是一維圖案的一個明顯例子

圖2.13 陶瓷上的一維設計

在二維圖案中，單元向許多方向無限延伸。圖2.14a和2.14b是兩個這樣的二維布局的示意圖。注意，如圖2.14b(和圖5.67、5.68、5.123)所示，平移方向(其中一些用箭頭表示)不必彼此成直角。二維圖案通常出現在牆紙、瓷磚、紡織品和其他介質上，其中大部分區域被圖案重複覆蓋圖2.15顯示了一個實際的San Ildefonso陶瓷設計，它是一個二維圖案。注意，它與圖2.13中的例子非常相似，只是在幾個方向上的平移不同。

圖2.14a 二維設計

圖2.14b 二維設計

圖2.15 二維設計

我們已經規定，二維圖案在兩個方向上必須至少有兩行，這一規則的一個幾乎最小的例子是在納瓦霍酋長毯子上看到的(圖2.16 ),其中只有一個重複的單元是可見的完整單元，然而，沿著邊緣的圖案單元的截斷強烈暗示著水平方向有三行，垂直方向有三行。在紐幾內亞東北部馬當地區的石灰容器上很容易滿足最小兩行規則，如圖2.17所示。基本單元有三個水平行和四個垂直行。最後，我們展示了一個在Cashinuahua吊床上截斷的二維圖案(圖2.18)。僅存在這種圖案的兩個水平行。

圖2.16 籃子上的二維圖案

圖2.17 容器上的二維圖案

圖2.18 被子的二維圖案

4 簡要回顧

從上面的討論可以清楚地看出，對稱分類與單元的形狀無關，而是與沿著軸或圍繞一點移動圖案的運動有關。這些運動可以被認為是設計的產生。對稱運動描述了每個設計的零件的具體配置對稱並不描述零件，而是描述它們如何組合和排列以形成圖案。它只涉及設計的一個方面——結構。從這些方面來看，對稱性分類在程序上與類型學或其他分類方法有著根本的不同。

此外，因為相同的單元可能通過不同的運動產生不同的圖案，所以對稱分類的結果明顯不同於將設計元素或類型的出現情況製成表格的研究結果。例如，為了說明的目的，我們修改了San II-defonso陶瓷設計(圖2.19a ),以顯示我們將了解到的在帶狀線中心的連續弧形單元的pma2結構。該弧形線具有垂直反射和雙重旋轉對稱。然而，如果弧形擠壓上能帶線，如圖2.19b所示，則對稱性變為pm11，只有垂直反射。最近的研究表明，這些結構差異可能具有深遠的文化影響(參見Washburn 1983， Van Estcrik 1981，Ascher和Ascher 1981)。

圖2.19a pma2設計

圖2.19b pm11陶瓷設計

我們強調，為了獲得最大的信息量，圖案應該以兩種方式分類:第一，描述基本底層結構的對稱性；第二，用所有添加的修飾來描述完整設計的對稱性一些圖案將具有與最終設計相同的結構對稱性；其他的將有不同的結構和最終設計的對稱性當這些不同時，精心製作或者保持或者減少對稱性。為了闡明這一點，我們在這裡考察一些情況。

例如，San Ildefonso Pueblo陶瓷圖案(圖2.20)顯示了p112圖案，該圖案從結構到完全精細的設計都沒有改變對稱性。直角三角形兩邊的平行線不會改變p112對稱性。類似地，在圖2.21中的San Ildefonso設計中，條帶被細分為平行四邊形，並添加了帶花的三角形。一條平行四邊形的對稱性是p112，三角形和花朵排列的對稱性仍然是p112，所以從設計領域到完整的設計都沒有對稱性降低。

圖2.20 p112陶瓷設計

圖2.21 p112陶瓷設計

然而，有些圖案的設計場與完整設計的設計場具有不同的對稱性。例如，在圖2.22中的San Ildefonso設計中，中間的鋸齒形圖案將兩條帶狀線之間的空間構造成pma2對稱。如果所有的條紋都是黑色的，在條紋線上添加吊墜也不會改變對稱性。然而，由於白色小橢圓僅插入上排，整個設計的對稱性降低到pm11。

圖2.22 pm11陶瓷設計

同樣，在圖2.23中的San Ildefonso圖案中，我們看到了一個首先由具有pmm2對稱性的矩形面板設計域劃界的圖案。隨後，通過在每組圖案中添加僅具有旋轉對稱性的圖案，消除了鏡像對稱性，從而形成了p112圖案。

圖2.23 p112陶瓷設計

5單色設計和圖案的符號

在這一節中，我們討論有限設計的符號；對於七個單色的一維圖案；對於17個單色的二維圖案。(這些圖案的相應雙色版本的符號將在第3.4節中討論。)

5.1有限設計的符號表示法

我們記得有限設計是那些不允許平移(因此也不允許滑移反射)的設計。因此，有限設計只能具有反射和/或旋轉對稱性。李奧納多·達·文西已經知道了這種設計(參見。第1.2節)歸入兩個無限類Cn和Dn，其中n是某個整數。

cn型設計(c代表「循環」)是具有n重旋轉對稱，但沒有鏡像對稱的設計。圖2.24顯示了一些例子。請注意，c1是一個完全沒有對稱性的有限圖形的名稱——既沒有反射也沒有旋轉。

dn型設計(d代表「二面體」)具有反射對稱性和n重旋轉對稱性。圖2.25顯示了一些例子。請注意，d1是設計的名稱，具有雙邊對稱性，但沒有其他對稱性。更一般地，dn正好有n條不同的鏡面反射線。

5.2單色一維圖案的符號

對於七個一維單色圖案，我們使用普遍接受的四符號表示法，形式為pxyz。每個符號都以p開頭。第二個、第三個和第四個符號分別描述垂直反射、水平反射或滑移反射以及半圓反射，如下所示:

如果有垂直反射x是m(對於「鏡子」)；否則x為1

如果有水平反射，y是m；如果有滑移反射但沒有水平反射，y就是a；否則y為1

如果有半轉，z為2；否則z為1

還有一種縮寫的雙符號符號，有時用於七種一維圖案。這種縮寫是通過刪除第一個和第四個符號並用x代替a從四符號符號符號獲得的(有一個例外:符號p112變成了12)。

或者，我們可以將雙符號符號描述如下:

如果有垂直反射，第一個符號是m；否則為1。

如果有水平反射，第二個符號是m；否則，如果有滑移反射(但沒有水平反射),則為g；如果有半轉反射(但沒有反射或滑移反射),則為2；否則為1

這種雙符號記數法是由塞內查爾(1975)提出的。第3.4.2節描述了Coxeter對雙色條紋圖案的擴展

圖2.26顯示了七個單色飾帶及其名稱，包括完整版和縮略版。

圖2.26 7種單色一維圖案

5.3單色二維圖案的符號

對於17個單色二維圖形，我們的符號是X射線晶體學國際表格第1卷(Henry和Lonsdale 1952)中採用的縮寫形式。因此，在我們解釋符號之前，先簡短討論符號所基於的圖案的某些特殊特徵。使用我們的流程圖識別圖案時不需要這種解釋，但在此包括這種解釋是為了對符號的來源有所了解。我們的討論緊緊跟隨Schatt Schneider 1978，更多細節可參考該書只對識別圖案的實際問題感興趣的讀者可以跳過本節的其餘部分。第4.1節給出了使用流程圖識別17種單色二維圖案的完整描述。

與每個二維圖案相關聯的是一個點陣，該點陣的點是通過取圖案的任意一點以及通過應用圖案的平移從該點可獲得的所有點而獲得的。一個平行四邊形，其頂點是格點，但在其內部或其邊上不包含其他格點，它具有這樣的性質:圖案的平移完全覆蓋了該平行四邊形的非重疊(除了邊上)副本的平面。這種平行四邊形有時被稱為圖案的基本單元，但決不總是，圖案以簡單的方式建立在這種基本單元上，在這種情況下，基本單元很容易被看到。然而，通常情況下，原始細胞不容易被看到，因此在本書中，我們將圖案本身的分析建立在圖案的運動上，而不是原始細胞上。

為了便於記記，通常為每個圖案選擇一個特定的基本單元它在它的頂點有最高階的旋轉，它的左側被稱為x軸有五種類型的基本單元，它們的名字來源於相應的格子:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、六邊形(六邊形格子中的單元是由兩個等邊三角形組成的菱形)圖2.27顯示了五個格子，每個格子都有其通常選擇的基本單元。