張朝陽的物理課電子書（張朝陽的物理課介紹分離變量法）

2023-09-24 02:01:54 2

如何處理二體問題中糾纏在一起的變量？分離變量法與對易關係有什麼內在聯繫？5月13日、15日中午12時，《張朝陽的物理課》第五十三期、五十四期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，用兩期時間討論了波函數在坐標空間的表示，並研究了二體問題中哈密頓算符本徵方程的解法，通過選取合適的新變量以及細緻的推導，將二體運動方程分解為質心運動部分與相對運動部分。最後討論了分離變量法與算符對易性的聯繫，並闡明了算符的對易性與算符共同本徵態存在性的關係。

在直播中張朝陽介紹，在經典力學中，用質點的位置和動量來描述物理系統，而在量子力學中則使用波函數來描述，波函數需要滿足「單值、連續、可歸一」的條件，並且其作為矢量可進行線性疊加得到其它波函數，所有物理波函數構成的線性空間稱為希爾伯特空間。

經典力學中經常遇到的可觀察量，例如位置、動量、能量等等，在量子力學中則成為希爾伯特空間的線性算符，若算符作用到某個波函數的結果只與原波函數相差一個比例係數，那麼該波函數稱為該算符的本徵態，而對應的比例係數稱為此本徵態對應的本徵值。波函數可以按照這些本徵態展開，某一本徵態的展開係數的模平方，正是觀察波函數時觀察量取得對應本徵值的概率。張朝陽在直播中不僅求出了動量本徵態與坐標本徵態，還將一般波函數展開為動量本徵態與坐標本徵態，並發現坐標空間波函數在某點的值的模平方就是在該點找到粒子的概率密度。

除了動量與坐標算符，哈密頓算符由於出現在薛丁格方程中，它在量子力學中具有非常重要的地位。張朝陽以一維空間的兩體問題為例，展現哈密頓算符本徵態與本徵值的求解過程。兩體問題的哈密頓算符中的勢能項，將兩體的坐標耦合在一起，使得方程難以求解，因此選取質心坐標與相對坐標來代替兩體坐標作為波函數的自變量。進一步通過複合函數求導的鏈式法則，可以將對兩體坐標的偏導表示為對質心坐標與相對坐標的偏導的線性疊加，利用這些偏導之間的關係，能把哈密頓算符分解為質心運動部分與相對運動部分之和。

緊接著將波函數寫成變量分離的形式並代入哈密頓算符的本徵方程中，可以將其分解為兩個獨立的方程，其中一個是質心運動部分的本徵方程，另一個是相對運動部分的本徵方程。經過分解的本徵方程只有一個變量，相當於原來複雜的二體問題化為了簡單的單體問題，進而可以求解出本徵態與本徵值來。

（張朝陽利用分離變量法求解哈密頓算符的本徵方程）

容易證明上述使用的變量分離形式的波函數是質心運動部分哈密頓算符與相對運動部分哈密頓算符的共同本徵態。張朝陽證明了在不簡併的情況下，兩個對易的算符有共同本徵態，反之，若兩個算符的共同本徵態能構成希爾伯特空間的完備基，那麼它們對易。由此可得，質心運動哈密頓算符與相對運動哈密頓算符是對易的，這說明想用分離變量法來求解哈密頓算符的本徵方程，那就需要將哈密頓算符分解成相互對易的算符，通過求解這些對易算符相對簡單的本徵方程來破解原哈密頓算符的本徵方程，這正是我們求解氫原子定態薛丁格方程時用到的方法。

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播五十餘期。從去年11月開啟第一節物理直播課，他先是從經典物理學開始，科普了牛頓運動定律等；而後從經典物理的「兩朵烏雲」說起，向近現代物理過渡，探討了黑體輻射理論中的維恩公式、普朗克公式等知識。此後逐步進入量子力學領域，從基礎的薛丁格方程等理論內容，到氫原子波函數，再到氣體定容比熱的溫度階梯等更加具體實用的案例。內容豐富、覆蓋廣泛，理論公式由淺入深、繁簡交融。

《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟：注重推導，通過一步一步詳盡的數學計算，推導出相關的物理公式，把每個公式從頭到尾拆解得十分清晰。

據了解，《張朝陽的物理課》於每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻「關注流」中搜索「張朝陽」，觀看直播及往期完整視頻回放；關注「張朝陽的物理課」帳號，查看課程中的「知識點」短視頻；此外，還可以在搜狐新聞APP的「搜狐科技」帳號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。

除了《張朝陽的物理課》外，在直播方面，搜狐視頻正持續打造知識直播平臺，邀請各個科學領域的頭部播主入駐，進行科普知識直播。包括中國運載火箭技術研究院專家錢航，直播講述航空航天事業發展史；北京交通大學理學院教師陳徵博士線上開課——「奇趣的科學實驗」；中國科學院基因組學博士、元碼基因創始人田埂講解基因組學與生活的緊密聯繫；天體物理博士劉博洋科普「日全食是怎麼產生的」等。未來還將有更多知識播主入駐搜狐視頻，一起互動玩轉科學。