自然常數e由來（自然常數e的故事）

2023-09-13 04:56:07

E(自然常數, 也稱為歐拉數)是自然對數函數的底數. 它是一個無理數, 就是說小數點後面無窮無盡, 永不重複. 與 Pi 和 sqrt(2) 不同, 它不是由幾何問題上探究而來的, 而是關於增長率和變化率的常數. 但是它為什麼和增長率有關呢? 讓我們回到來 17 世紀, 看看發現 e 最初的問題與相關的兩位大數學伯努利和歐拉吧.

瑞士數學家雅各布. 伯努利在研究複利的時候發現了一個有趣的現象:

假設在銀行存了 1 塊錢 , 而銀行提供的年利率是 100%, 也就是說 1 年後連本帶息, 你會得到 2 塊錢;

現在假設半年就計算一次利息, 半年利率為 50% , 這種方案最終的收益會不會比上面更好呢?

計算一年後共會獲得 2.25 塊錢. 恩, 看起來不錯啊. 那現在計算利率周期再短一些會怎麼呢? 假設每個月結算一次呢? 月利率為 1/12 , 一年後最終得到大約 2.61304 塊錢, 這個方案變得更好一些.

現在可以看出這樣的規律, 利息的周期越短, 收益就更好. 那就讓我們繼續縮短計息的周期, 變為每周計算, 利率為 1/52 .

甚至可以計算天利率, 或者小時, 秒來計算. 所獲得的錢會越來越多. 隨著 n 趨於無窮, 對於這樣的連續複利, 那會是什麼樣子呢?

針對這個式子的極限值到底是什麼呢?

伯努利知道會是一個 2~ 3 之間的數, 但最終的結果很可惜他並沒有計算出來. 這個問題還是由 50 年後的歐拉搞定.

歐拉大神藉助下面的公式計算出來小數點後 18 位.

也就是下面的展開形式進行了計算:

並且歐拉藉助連分式的形式證明了 E 是一個無理數, 觀察這個連分數的形式

注意連分式中 2,1,2 之後出現的很規律出現的1,1,4,1,1,6,1,1,8,....

也就是說這是能夠一直被處下去的連分數, 那就意味著它是個無理數. 否則就是有理數.

e 是描述增長率的自然常量, 並且 e^x 還是唯一具有下面性質的函數:

這個函數曲線上的每一個點的 y 值, 在該點的斜率和曲線下面積三者都是相同值.

特別是當 x =1 時, 函數值就等於 e. 斜率也是 e, 而曲線下的面積也是 e.

也正是因為這主要性質, 使得它成為了微積分中最喜聞樂見的符號(微積分也正是描述變化率, 極限求和的數學). 所以當在微積分課程中, 每每遇到 e 的計算, 你覺得計算應該會簡單很多.

既然提到了 e , 通常也會提到 - 歐拉恆等式(Euler's identity):

這個公式被視為為數學中最美麗的方程, 因為 e, π, i, 1, 0 這些數學中最重要的常數數量同時出現在一個方程中, 在未來的某個時刻我們會單獨在一篇文章中單獨介紹它.

上面就是利用 Wolfram 語言製作的圖解高中數學微文. 好了, 現在讓我們在下一篇的中來看一看其他高中數學相關概念的動圖文章.

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