採用迴旋曲線的工業製品的設計方法及用該設計方法設計的工業製品、採用迴旋曲線的...的製作方法

2023-08-10 02:13:26

專利名稱：採用迴旋曲線的工業製品的設計方法及用該設計方法設計的工業製品、採用迴旋曲線的 ...的製作方法
技術領域：
在以下的說明書中，在有關「採用迴旋曲線的工業製品的設計方法及用該設計方法設計的工業製品」(以下，只稱為採用迴旋曲線的工業製品的設計方法)的說明中附記A，在有關「採用迴旋曲線的數值控制方法及裝置」(以下，只稱為採用迴旋曲線的數值控制方法)的說明中附記B。
A.採用迴旋曲線的工業製品的設計方法本發明涉及採用迴旋曲線的工業製品的形狀的設計方法，尤其涉及在包含使具有質量的機械元件運動的機構的機械中，設計使該機械元件的運動流暢的運動軌道的方法。
B.採用迴旋曲線的數值控制方法此外，本發明涉及採用迴旋曲線，控制機器人、工具機、裝配機械、檢查機械等作業機械(稱為機器人等)中的工具(包括把手等把持部或各種工具)的運動的數值控制方法及裝置。
背景技術：
A.採用迴旋曲線的工業製品的設計方法隨著機械的小型化及高精度化，高速運動機械元件的機構變得重要。強烈要求設計力學上合理的流暢的運動軌跡，減少振動或運動誤差，抑制時效變化或損傷，實現高速、高精度的運動。
關於自由運動軌跡的設計方法，以往採用連接直線或圓弧等解析的曲線的方法，或樣條曲線插補(用迴旋曲線插補給出的點列的方法)(參照非專利文獻1)。
B.採用迴旋曲線的數值控制方法在進行焊接、塗裝、粘合劑塗布等的數控的機器人中，一般作為離散的點列數據輸入輸入圖形。因此，要生成連續的圖形，需要採用任何方法插補點列。
作為插補任意給出的點列間的方法，已知有圓角加工折線的角部的方法或B樣條插補、三次式樣條插補等，但是作為可嚴格通過給出的各點的插補法，已知有三次式樣條插補(參照非專利文獻1)。
但是，三次式樣條插補，由於作為參變量表現不具有幾何學的意思的自變量，所以具有自變量和曲線的幾何學的諸量的關係不穩定這大的缺陷。該三次式樣條插補，從始點的移動距離和曲率的關係複雜，在使線速度固定的控制中不適宜。
非專利文獻1穗坡衛·佐田登志著，「統合化CAD/CAM系統」Ohm出版社，1997非專利文獻2仇時雨、牧野洋、須田大春、橫山恭男，「利用迴旋的自由曲線插補」(日本機器人學會志8卷6號，pp40-47)非專利文獻3Li Guiqing、Li Xianmin、Li Hua，「3D Discrete ClothoidSplines」，(CGI』01，pp321-324)發明內容A.採用迴旋曲線的工業製品的設計方法在連接直線或圓弧等解析的曲線的方法中，難在直線和圓弧的連接點連續連接曲率。如果根據用樣條曲線插補的方法，能夠連續連接曲率，但由於從始點的移動距離和曲率的關係複雜，因此很難沿著軌道設計力學上合理的曲率的分布，得不到良好的運動軌跡。
因此，本發明的目的在於，在包含使具有質量的機械元件運動的機構的機械中，提供一種使該機械元件的運動流暢的運動軌道的設計方法。該方法是由本發明者們提出的新的、並且嶄新的方法。
此處，所謂的流暢，意思是軌道的切線、接觸平面(法線)或曲率等的變化沿著軌道連續，因而作用於沿著軌道上運動的機械元件的力連續變化。
可是，機器人、工具機、裝配機械、檢查機械等多用的滾珠絲槓的回歸路經的形態是用直線或圓弧連接的，曲線的切線或曲率不連續，此外軌道設計的自由度也不足。
本發明的另一目的在於，在滾珠絲槓的滾珠循環路徑的設計中，為減輕滾珠絲槓的循環路徑上的運動能的損失，此外防止沿著循環路徑對部件造成損傷，確立循環路徑的切線或曲率連續的、並且曲率變化平穩的循環路徑的設計方法。滾珠絲槓的循環路徑的設計方法，是設計使機械元件的運動流暢的運動的軌道的方法的應用例。
B.採用迴旋曲線的數值控制方法作為在二維中通過給出的各點的插補方法，已知有發明者們提出的迴旋插補法，能夠流暢地插補(參照非專利文獻2)。因此認為，如果三維擴張迴旋曲線，用於自由點列的插補，與作為曲線長度的函數表示的迴旋曲線的特徵相比，能夠容易實現保持線速度固定，或根據線長變化線速度的控制。此外，由於以曲線長作為參數，所以與其它方法不同，還有不需要從後面求出線長的優點，希望三維擴張迴旋曲線在數值控制等領域是有益的。以前，關於三維擴張迴旋曲線，已知有Li等人的「3D Discrete ClothoidSplines」(參照非專利文獻3)等，但還未發現以式的形式三維擴張迴旋曲線。以式的方式的擴張，在容易算出各值這一點上具有優勢。
因此，本發明的目的在於，為了數值控制工具的運動，提供一種新的三維迴旋曲線的定義式，其相對於自變量的曲率變化圖形可儘量接替單純的二維迴旋曲線的特性。此外，本發明的目的在於，通過該三維迴旋曲線插補點列。
A.採用迴旋曲線的工業製品的設計方法以下，說明權利要求1～10所述的迴旋曲線的工業製品的設計方法的發明。
第1發明，為解決上述的問題，提供一種工業製品的設計方法，其特徵是採用按曲線長或曲線長變量的二次式給出切線方向的傾角(pitchangle)及偏轉角(yaw angle)各自的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計工業製品的形狀。
第2發明，如第1發明所述的工業製品的設計方法，其特徵是所述工業製品是包含使具有質量的機械元件運動的機構的機械；採用所述三維曲線(稱為三維迴旋曲線)設計所述機械元件的運動軌道。
第3發明，如第2發明所述的工業製品的設計方法，其特徵是所述機械是作為所述機械元件包含使滾珠運動的機構的螺絲裝置；所述螺絲裝置具備，在外周面具有螺旋狀的滾動體滾道槽的絲槓軸、和在內周面具有與所述滾動體滾道槽對置的負荷滾動體滾道槽，同時具有連接所述負荷滾動體滾道槽的一端和另一端的回歸路徑的螺母、和排列在所述絲槓軸的所述滾動體滾道槽和所述螺母的所述負荷滾動體滾道槽的之間及回歸路徑上的多個滾動體；採用所述三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計所述螺絲裝置的所述回歸路徑。
第4發明，如發明1～3中任何一項所述的工業製品的設計方法，按以下式定義所述三維迴旋曲線。
P=P0+0suds=P0+h0SudS,]]>0≤s≤h，0S=sh1]]>(1)u=EkEj(i)=cossin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin]]>(2)α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此處，[數式2]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(5)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值。
將從始點的曲線的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h。用S表示用h除s的值。S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量。
i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量。
u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(2)給出。Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，分別表示k軸系的角度β的旋轉及j軸系的角度α的旋轉。將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉。式(2)，表示通過首先使i軸向的單位矢量在j軸系只轉動α，而後，在k軸系只轉動β，得到切線矢量u。
a0、a1、a2、b0、b1、b2是常數。
第5發明，如第4發明所述的工業製品的設計方法，其特徵是在三維坐標內指定多個空間點，通過採用所述三維迴旋曲線插補這些空間點，設計所述工業製品的形狀。
第6發明，如第5發明所述的工業製品的設計方法，其特徵是以在所述多個空間點，用一個三維迴旋線段(構成通過插補生成的曲線群的單位曲線)和下個三維迴旋線段(構成通過插補生成的曲線群的單位曲線)，連接兩者的位置、切線方法、法線方向及曲率的方式，算出所述三維迴旋線段的7個參數a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
第7發明，如第6發明所述的工業製品的設計方法，其特徵是指定所述多個空間點中的始點及終點的切線方向、法線方向及曲率；通過在預先指定的所述空間點間重新插入插補對象，使加運算所述始點及所述終點的切線方向、法線方向及曲率的條件式、和用所述多個空間點上的一個三維迴旋線段和下個三維迴旋線段連接兩者的位置、切線方向、法線方向及曲率的條件式的條件式數，與所述三維迴旋線段的7個參數a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的未知數一致；通過使條件式和未知數的數一致，算出所述三維迴旋線段的7個參數a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
第8發明是一種工業製品，用如發明1～7中任何一項所述的工業製品的設計方法設計。
第9發明是一種程序，用於為了設計工業製品的形狀，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計工業製品的形狀的手段而發揮作用。
第10發明是一種計算機可讀取的記錄介質，在其上記錄程序，該程序用於為了設計工業製品的形狀，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計工業製品的形狀的手段而發揮作用。
B.採用迴旋曲線的數值控制方法以下，說明採用權利要求11～27所述的迴旋曲線的數值控制方法的發明。
第11發明，為解決上述的問題，提供一種數值控制方法，其中，採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀，通過該三維曲線控制工具的運動。
第12發明，如第11發明所述的數值控制方法，其中按以下式定義三維迴旋。
P=P0+0suds=P0+h0SudS,]]>0≤s≤h，0S=sh1]]>(1)u=EkEj(i)=cos-sin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin]]>(2)α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此處，[數式4]
P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(5)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值。
將從始點的曲線的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h。用S表示用h除s的值。S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量。
i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量。
u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(2)給出。Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，分別表示k軸系的角度β的旋轉及j軸系的角度α的旋轉。將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉。式(2)，表示通過首先使i軸向的單位矢量在j軸系只轉動α，而後，在k軸系只轉動β，得到切線矢量u。
a0、a1、a2、b0、b1、b2是常數。
第13發明是一種數值控制裝置，其中，採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀，通過該三維曲線控制工具的運動。
第14發明是一種程序，用於為了數值控制工具的運動，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的手段而發揮作用。
第15發明是一種計算機可讀取的記錄介質，在其上記錄程序或由該程序得出的計算結果，該程序用於為了數值控制工具的運動，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的手段而發揮作用。
第16發明為解決上述問題，提供是一種數值控制方法，其中，採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(三維迴旋線段)，插補在三維坐標內任意給出的點列間，通過該三維迴旋線段控制工具的運動。
第17發明是一種數值控制方法，其中，將切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(三維迴旋線段)連接多根，通過該多根三維迴旋線段控制工具的運動。
第18發明，如發明16或17所述的數值控制方法，其中按以下式定義三維迴旋曲線。
P=P00suds=P0+h0SudS,]]>0≤s≤h，0S=sh1]]>(1)u=EkEj(i)=cos-sin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin]]>(2)α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此處，[數式6]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(5)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值。
將從始點的曲線的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h。用S表示用h除s的值。S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量。
i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量。
u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(2)給出。Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，分別表示k軸系的角度β的旋轉及j軸系的角度α的旋轉。將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉。式(2)，
表示通過首先使i軸向的單位矢量在j軸系只轉動α，而後，在k軸系只轉動β，得到切線矢量u。
a0、a1、a2、b0、b1、b2是常數。
第19發明，如第18發明所述的數值控制方法，其特徵是在一個三維迴旋線段和下個三維迴旋線段的接頭上，以兩者的位置、切線方向(及根據情況曲率)連續的方式，算出所述三維迴旋線段的7個參數a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
第20發明是一種數值控制裝置，其中，採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維迴旋線段，插補在三維坐標內任意給出的點列間，通過該三維迴旋線段控制工具的運動。
第21發明是一種程序，用於為了數值控制工具的運動，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維迴旋線段，插補在三維坐標內任意給出的點列間的手段而發揮作用。
第22發明是一種計算機可讀取的記錄介質，在其上記錄程序或由該程序得出的計算結果，該程序用於為了數值控制工具的運動，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維迴旋線段，插補在三維坐標內任意給出的點列間的手段而發揮作用。
第23發明是一種數值控制方法，其中採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀；指定沿著所述三維曲線移動的工具的運動；按照指定的運動，按每單位時間算出工具的移動位置。此處，所謂運動，指的是作為時間的函數變化的位置信息。
第24發明，如第23發明所述的數值控制方法，其中按以下公式定義三維迴旋曲線。
P=P0+0suds=P0+h0SudS,]]>0≤s≤h，0S=sh1]]>(1)
u=EkEj(i)=cos-sin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin]]>(2)α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此處，[數式8]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(5)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值。
將從始點的曲線的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h。用S表示用h除s的值。S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量。
i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量。
u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(2)給出。Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，分別表示k軸系的角度β的旋轉及j軸系的角度α的旋轉。將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉。式(2)，表示通過首先使i軸向的單位矢量在j軸系只轉動α，而後，在k軸系只轉動β，得到切線矢量u。a0、a1、a2、b0、b1、b2是常數。
第25發明是一種數值控制裝置，其中採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀；指定沿著所述三維曲線移動的工具的運動；按照指定的運動，按每單位時間算出工具的移動位置。此處，所謂運動，指的是作為時間函數變化的位置信息。
第26發明是一種程序，用於為了數值控制工具的運動，而使計算機作為以下手段發揮作用採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維回曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的手段；指定沿著所述三維曲線移動的工具的運動的手段；按照指定的運動，按每單位時間算出工具的移動位置的手段。此處，所謂運動，指的是作為時間函數變化的位置信息。
第27發明是一種計算機可讀取的記錄介質，在其上記錄程序或由該程序得出的計算結果，該程序用於為了數值控制工具的運動，而使計算機作為以下手段發揮作用採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維回曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的手段；指定沿著所述三維曲線移動的工具的運動的手段；按照指定的運動，按每單位時間算出工具的移動位置的手段。此處，所謂運動，指的是作為時間函數變化的位置信息。
A.採用迴旋曲線的工業製品的設計方法根據第1～10發明所述的發明，通過採用三維迴旋曲線，能夠設計使機械元件的運動流暢的運動的軌道。如果能夠如此設計軌道，可實現力學上合理的運動，能夠製造運動誤差造成的機能下降或軌道損傷小的機械。
尤其對於螺絲裝置，能夠提供在設計滾動體的循環路徑時必需的空間曲線的廣用的發生方法。在滾動體沿著循環路徑的空間曲線，伴隨加減速度運動的情況下，可設計約束力變化流暢的設計。根據該特徵，由於滾動體進行平穩、流暢的運動，因此能夠提高螺絲裝置的動力傳遞效率，抑制過大摩擦力或慣力的發生。從而能夠防止部件的損傷，實現可靠性高的螺絲裝置。
此外，應用能夠控制曲率變化圖形的特徵，可增加在產業領域的應用。例如，在要求審美的意匠的圖案形狀設計中，能夠有效地應用該廣用的曲線設計法。
B.採用迴旋曲線的數值控制方法根據第11～27發明所述的發明，由於曲線的主變量是曲線長或曲線長變量，並分別按曲線長或曲線長變量的二次式給出其切線方向的傾角及偏轉角，因此可保證關於曲線長或曲線長變量，一次微分其得到的法線方向、及二次微分其得到的曲率是連續的。換句話講，在一個迴旋曲線中，法線方向及曲率是連接的。因此，可得到流暢的性質良好的曲線，實現力學上合理的速度變化的數值控制方式成為可能。


圖1是表示xy坐標上的二維迴旋曲線的圖示。
圖2是表示典型的二維迴旋曲線的形狀的圖示。
圖3是表示三維迴旋曲線的傾角α及偏轉角β的定義的圖示。
圖4是表示典型的三維迴旋曲線的形狀的圖示。
圖5是表示單位法線矢量的變化量的圖示。
圖6是表示大小、形狀相同但朝向相反的2個二維或三維迴旋曲線的圖示。
圖7是表示三維迴旋曲線的分割的圖示。
圖8是表示G2連續的插補的條件的圖示。
圖9是表示接觸平面的概念的圖示。
圖10是表示迴旋插補的方法的簡要流程的圖示。
圖11是表示滿足G2連續的條件的迴旋插補的方法的簡要流程的圖示。
圖12是表示點P1、P2、P3的三維迴旋插補的圖示。
圖13是表示r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的圖示。
圖14是說明3D Discrete Clothoid Splines的圖示。
圖15是通過插補生成的三維迴旋曲線的透視圖。
圖16是在橫軸取從始點的移動距離、在縱軸取曲率的曲率變化曲線圖。
圖17是表示在兩端點控制各值的三維迴旋插補的簡要流程的圖示。
圖18是表示在兩端點控制各值的三維迴旋插補的簡圖。
圖19是表示實際進行插補的結果的圖示。
圖20是表示從各曲線的始點的移動距離和曲率的關係的曲線圖。
圖21是表示中間點上的值的控制的圖示。
圖22是表示採用在始點及端點控制各值的三維迴旋的插補法的簡要流程的圖示。
圖23是表示r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的圖示。
圖24是表示生成的多角形的圖示。
圖25是表示點P1、P2、P3的三維迴旋插補的圖示。
圖26是表示生成的曲線和多角形的圖示。
圖27是插入點的圖示。
圖28是表示分割的三維迴旋曲線的圖示。
圖29是表示生成的曲線的圖示。
圖30是表示從各曲線的始點的移動距離s和曲率κ的關係的曲線圖。
圖31是表示反向器為螺母和其它反向器方式的滾珠絲槓的圖示。
圖32是表示反向器為與螺母一體的滾珠絲槓的螺母的圖示。
圖33A是看見滾珠循環槽的狀態的螺母的立體圖。
圖33B是看見負荷滾珠滾道槽的狀態的螺母的立體圖。
圖34是表示在絲槓軸上組裝螺母的狀態的圖示。
圖35是以往的滾珠絲槓的循環路徑的展開圖。
圖36是表示以往的滾珠絲槓的循環路徑的曲率的曲線圖。
圖37是表示滾珠中心的軌道的圖示。
圖38是表示坐標系的圖示。
圖39是表示從z軸上看的坐標系的圖示。
圖40是表示繪出沿絲槓槽移動的滾珠的中心的軌跡的曲線的圖示。
圖41是表示從y軸上看的曲線C0和C1的圖示。
圖42是表示從z軸上看的點Ps附近的曲線C0和C1的圖示。
圖43是插入點P2的圖示。
圖44是表示生成的回歸路徑和曲線C0的圖示。
圖45是表示從點Pe的移動距離和曲率的關係的圖示。
圖46是表示x、y坐標上的二維迴旋曲線的圖示。
圖47是表示二維迴旋曲線的圖示。
圖48是表示三維迴旋曲線的α、β的定義的圖示。
圖49是表示典型的三維迴旋曲線的圖形的圖示。
圖50是表示G2連續的插補的條件的圖示。
圖51是表示接觸平面的概念的圖示。
圖52是表示迴旋插補方法的簡要流程的圖示。
圖53是表示滿足G2連續的條件的迴旋插補的方法的簡要流程的圖示。
圖54是表示點P1、P2、P3的三維迴旋插補的圖示。
圖55是表示r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的圖示。
圖56是說明3D Discrete Clothoid Splines的圖示。
圖57是通過插補生成的三維迴旋曲線的透視圖。
圖58是在橫軸從始點的移動距離、在縱軸取得曲率的曲率變化曲線圖。
圖59是表示在兩端點控制各值的三維迴旋插補的簡要流程的圖示。
圖60是表示在兩端點控制各值的三維迴旋插補的簡圖。
圖61是表示實際進行插補的結果的圖示。
圖62是表示從各曲線的始點的移動距離和曲率的關係的曲線圖。
圖63是表示中間點上的值的控制的圖示。
圖64是表示採用在始點及端點控制各值的三維迴旋的插補法的簡要流程的圖示。
圖65是表示r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的圖示。
圖66是表示生成的多角形的圖示。
圖67是表示點P1、P2、P3的三維迴旋插補的圖示。
圖68是表示生成的曲線和多角形的圖示。
圖69是插入點的圖示。
圖70是表示分割的三維迴旋曲線的圖示。
圖71是表示生成的曲線的圖示。
圖72是表示從各曲線的始點的移動距離s和曲率κ的關係的曲線圖。
圖73是表示數值控制方法的工序圖。
圖74是表示以往的樣條曲線的比較圖。
具體實施例方式
A.採用迴旋曲線的工業製品的設計方法以下，關於採用迴旋曲線的工業製品的設計方法的發明的實施方式，分1.三維迴旋曲線的定義和特徵、2.採用三維迴旋曲線的插補法、3.採用三維迴旋插補，設計作為螺絲裝置的滾珠絲槓的回歸路徑的方法、4.採用三維迴旋插補的數值控制方法，依次說明。
1.三維迴旋曲線的定義和特徵(1-1)三維迴旋的基本方式迴旋曲線(Clothoid curve)，別名還稱為柯紐的螺旋(Cornu’s spiral)，是與曲線的長度成正比地變化曲率的曲線。
發明者已經提出的二維的迴旋曲線，是平面曲線(二維曲線)的一種，在圖1所示的xy坐標上，用下式表示。
P=P0+0sejds=P0+h0SejdS,]]>0≤s≤h，0S=sh1]]>(1-1)φ＝c0+c1s+c2s2＝φ0+φvS+φuS2(1-2)此處，[數式10]P＝x+jy，j=-1---(1-3)]]>是表示曲線上的點的位置矢量，[數式11]P0＝x0+jy0(1-4)是其初始值(始點的位置矢量)。
ejφ＝cosφ+jsinφ(1-5)是表示曲線的切線方向的位置矢量(長度為1矢量)，該方向Φ從原線(x軸方向)逆時針測定。如果在該單位矢量中乘以微小長度ds積分，可求出曲線上的點P。
將沿著曲線測定的曲線的從始點的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h。用S表示用h除s的值。S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量。
迴旋曲線的特徵，如式(1-2)所示，在於用曲線長s或曲線變量S的二次式表示切線方向角Φ。c0、c1、c2或Φo、Φv、Φu是二次式的係數，將這些數及曲線的總長h稱為迴旋的參數。圖2表示一般的迴旋曲線的形狀。
三維擴張以上的關係，製作三維迴旋曲線的式。以往不知道給出三維迴旋曲線的式，所以發明者們最初導出其式。
按以下的式定義三維迴旋曲線。
P=P0+0suds=P0+h0SudS,]]>0≤s≤h，0S=sh1]]>(1-6)u=EkEj(i)=cos-sin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin]]>(1-7)α＝a0+a1S+a2S2(1-8)β＝b0+b1S+b2S2(1-9)，此處，[數式14]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(1-10)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值。i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量。
u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(1-7)給出。在式(1-7)中，Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，如圖3所示，分別表示k軸(z軸)系的角度β的旋轉及j軸(y軸)系的角度α的旋轉。將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉。式(1-7)，表示通過首先使i軸(x軸)向的單位矢量在j軸(y軸)系只轉動α，而後在k軸(z軸)系只轉動β，得到切線矢量u。
也就是，在二維時，由從x軸的傾斜角度Φ得到表示曲線的切線方向的單位矢量ejΦ。在三維時，可由從傾角α及偏轉角β得到曲線的切線矢量u。如果傾角α為0，可得到以x y平面捲起的二維迴旋曲線，如果偏轉角β為0，可得到以x z平面捲起的二維迴旋曲線。如果在切線方向矢量u中乘以微小長ds地積分，可得到三維迴旋曲線。
在三維迴旋曲線中，切線矢量的傾角α及偏轉角β，分別如式(1-8)及式(1-9)所示，可由曲線長變量S的二次式給出。這樣一來，能夠自由選擇切線方向的變化，並且還能在其變化中使其具有連續性。
如以上的式所示，三維迴旋曲線被定義為「是分別用曲線長變量的二次式表示切線方向的傾角α及偏轉角β的曲線」。
從P0開始的一個三維迴旋曲線，由[數式15]a0，a1，a2，b0，b1，b2，h (1-11)這7個參數確定。a0～b2的6個變量具有角度的單位，表示迴旋曲線的形狀。與此相反，h具有長度的單位，表示迴旋曲線的大小。作為三維迴旋曲線的典型的例子，有圖4所示的螺旋狀的曲線。
(1-2)三維迴旋曲線上的弗雷涅標架和曲率在具有任意的三元曲線時，規定以t作為參數以R(t)表示。尤其，在以從始點的移動距離s作為參數時，以R(s)表示。
如果把具有ds程度差的曲線上的2點的相對位置矢量dR(s)的絕對值看作線素ds，在ds和dt的之間具有下式(2-1)的關係。為簡化利用參數t的R的微分，在字母上附加圓點表示。
ds=|dR(t)|=|dR(t)dt|dt=|R|=RRdt---(2-1)]]>由於單位切線矢量u(t)使曲線的線素矢量dR(t)標準化，所以如果參照式(2-1)，可用式(2-2)表示。
u(t)=dR(t)|dR(t)|=dR(t)ds=R|R(t)|---(2-2)]]>接著，考慮單位切線矢量的變化量du。圖5表示單位法線矢量的變化量。由於在是直線時切線方向不變化，因此是du(t)＝{0，0，0}，但在曲線時不這樣，分離距離ds的位置上的單位切線矢量的變化量du與切線矢量u正交。這也可從如果微分u·u＝1的關係，就可得到正交關係u·du＝0中弄清。使該單位切線矢量的變化量du標準化的，是單位主法線矢量n(t)。也就是，用式(2-3)表示單位主法線矢量n(t)[數式18]n(t)=u(t)|u(t)|---(2-3)]]>法線方向以人朝切線方向時的左方向為正。更確切地講，在由矢量du和單位切線矢量u(t)製作的平面內，將從單位切線矢量u(t)向逆時針方向旋轉90度的方向定義為單位主法線矢量n(t)的正方向。
此外，從法線矢量b(t)，是與單位切線矢量u(t)和單位主法線矢量n(t)的雙方正交的矢量，由式(2-4)定義。
b(t)＝u(t)×n(t) (2-4)將定義的單位切線矢量u(t)、單位主法線矢量n(t)、法線矢量b(t)規定為3個矢量組{u(t)、n(t)、b(t)}的，被稱為曲線的位置R(t)上的弗雷涅標架(Frenet Frame)。
接著，敘述單位切線矢量沿著曲線的線素彎曲的比例即曲率κ。三維上的曲率用式(2-5)定義。
(t)=||R(t)R(t)||||R(t)||3---(2-5)]]>
關於以上定義的三維曲線上的基本的量，用在三維迴旋曲線中作為參數採用曲線長變量S的表現記述。
在考慮任意的三維迴旋曲線P(S)時，單位切線矢量u(S)，可由式(2-2)，用式(2-6)表示。
u(S)=P(S)|P(S)|---(2-6)]]>此外，如果單位切線矢量u(S)考慮三維迴旋曲線的定義式(1-7)、(1-8)、(1-9)，也能夠用下式(2-7)表示。在本說明書中，主要採用這些表現。
u(S)=cos(S)cos(S)sin(S)cos(S)-sin(S)---(2-7)]]>用式(2-8)表示按三維迴旋曲線的單位切線矢量u(S)的曲線長變量S1階微分的，用式(2-9)表示其大小。
u(S)=-(S)cos(S)sin(S)-(S)sin(S)cos(S)-(S)sin(S)sin(S)-(S)cos(S)cos(S)-(S)cos(S)]]>(2-8)||u(S)||=(S)2+(S)2cos2(S)---(2-9)]]>接著，考慮單位主法線矢量n(S)。由於用式(2-3)表示三維曲線的法線矢量，所以三維迴旋曲線的法線矢量，用式(2-10)表示。

n(S)=u(S)||u(S)||]]>=1(S)2+(S)2cos2(S)-(S)cos(S)sin(S)-(S)sin(S)cos(S)-(S)sin(S)sin(S)+(S)cos(S)cos(S)-(S)cos(S)]]>(2-10)關於從法線矢量b(S)，規定由式(2-4)從式(2-7)的單位切線矢量u(S)和式(2-10)的單位主法線矢量n(S)求出。
b(S)＝u(S)×n(S) (2-11)最後是關於曲率，如果變形式(2-5)，用式(2-12)表示。
(S)=||P(S)P(S)||||P(S)||3=||u(S)||h=(S)2+(S)2cos2(S)h]]>(2-12)由以上，可從曲線長變量S求出三維迴旋曲線上的各點上的弗雷涅標架和曲率κ。
(1-3)朝向相反的三維迴旋曲線的生成考慮生成圖6所示的大小、形狀與某三維迴旋曲線相同而朝向相反的三維迴旋曲線。
假設具有始點Ps和終點Pe，三維迴旋曲線的迴旋參數，具有由h、a0、a1、a2、b0、b1、b2等7個值確定的三維迴旋曲線C1。此時，切線旋轉角α1、β1，用下式(2-13)(2-14)表示。
α1＝a0+a1S+a2S2(2-13)β1＝b0+b1S+b2S2(2-14)在生成大小、形狀與該三維迴旋曲線相同而朝向相反的三維迴旋曲線C2中，如果將始點設定為P’s，將P』e作為終點，分別為P’s＝Pe、P』e＝Ps。首先考慮曲線長h，但如果考慮是大小相同，曲線長在曲線C1、C2中相等。接著，三維迴旋曲線C2上的切線t，如果考慮朝向與通常相同的坐標的三維迴旋曲線C1上的切線t相反，則在曲線C1的切線旋轉角α1、β1和曲線C2的切線方向旋轉角α2、β2的之間，具有下記關係。
α2(S)＝α1(1-S)+π(2-15)β2(S)＝β1(1-S) (2-16)如果整理這些式，用下記式(2-7)(2-18)表示。
α2(S)＝(a0+a1+a2+π)-(a1+2a2)S+a2S2(2-17)β2(S)＝(b0+b1+b2)-(b1+2b2)S+b2S2(2-18)由於由此確定剩餘的參數，所以曲線C2的迴旋參數h』、a』0、a』1、a』2、b』0、b』1、b』2，採用曲線C1的參數，可用式(2-19)表示。
ps=pea0=a0+a1+a2+a1=-(a1+2a2)a2=a2b0=b0+b1+b2b1=-(b1+2b2)b2=b2h=h---(2-19)]]>如果採用該關係式，能夠生成大小、形狀相同而朝向相反的三維迴旋曲線。
(1-4)三維迴旋曲線的分割假設具有始點P1和終點P2，三維迴旋曲線的迴旋參數，具有由h、a0、a1、a2、b0、b1、b2等7個值確定的三維迴旋曲線C0。此時如圖7所示，用途中的曲線長變量為S＝Sd的點Pm分割連結點P1、P2的三維迴旋曲線C0，下面考慮分割成曲線C1和C2的方法。
考慮分割的曲線中的以點P1為始點的曲線C1。如果考慮曲線長h，由三維迴旋曲線的定義得知，曲線C1的曲線長h1等於曲線C0的曲線長h0的Sd倍。此外，如果將表示曲線C1上的點時的曲線C0的曲線長變量設為S0，將曲線C1的曲線長變量設為S1，在它們之間成立下記關係。
S1＝SdS0(2-20)也就是，得知，在曲線C0的切線旋轉角α0、β0和曲線C1的切線旋轉角α1、β1的之間，具有下記關係。
α1(S1)＝α0(SdS0)β1(S1)＝β0(SdS0) (2-21)如果整理這些公式，用下式(2-22)表示。
α1(S)＝a0+a1SdS+a2Sd2S2β1(S)＝b0+b1SdS+b2Sd2S2(2-22)由於由此確定切線方向，所以曲線C1的迴旋參數h』、a』0、a』1、a』2、b』0、b』1、b』2，採用曲線C0的參數，可用式(2-23)表示。
a0=a0a1=a1Sda2=a2Sd2b0=b0b1=b1Sdb2=b2Sd2h=hSd---(2-23)]]>下面，考慮以分割點Pm作為始點的曲線C2。關於曲線C2，能夠通過組合生成在1-3中所述的大小、形狀相同而朝向相反的曲線的方法、和在曲線C1的生成中採用的方法來生成。
首先，將大小、形狀與曲線C0相同而朝向相反的曲線設定為曲線C』0。在該曲線上用Pm＝C』0(1-Sd)表示分割點Pm。此處，如果考慮用點Pm分割曲線C』0，以該分割的曲線中的作P2為始點的曲線C』2，成為與曲線C2大小、形狀相同而朝向相反的曲線。由於利用在1-3中所述的方法和曲線C1所用的方法，能夠生成曲線C』2，所以，此處，如果另外對曲線C』2採用在1-3中所述的方法，能夠生成曲線C2。
該曲線C2的迴旋參數h″、a″0、a″1、a″2、b″0、b″1、b″2，採用曲線C0的參數，用下式(2-24)表示。
a0=a0+a1Sd+a2Sd2a1=(1-Sd){a1+2a2Sd}a2=a2(1-Sd)2b0=b0+b1Sd+b2Sd2b1=(1-Sd){b1+2b2Sd}b2=b2(1-Sd)2h=h(1-Sd)---(2-24)]]>由以上，能夠用三維迴旋曲線C0上的曲線變量為S＝Sd的點Pm，將曲線分割成曲線C1和C2。
(1-5)三維迴旋曲線的特徵(a)曲線的連續性在一個迴旋曲線(用同一參數表示的迴旋曲線)中，由於分別按曲線長或曲線長變量S的二次式給出其切線方向的傾角及偏轉角，所以關於曲線長變量S，可保證1次微分其得到的法線方向、及2次微分其得到的曲率是連續的。換句話講，在一個迴旋曲線中，法線方向及曲率是連續的。因此，可得到流暢、性質良好的曲線。即使在連結兩個迴旋曲線的情況下，為在其接頭上切線、法線、曲率達到連續，通過選擇參數，能夠製作光滑的一根連接的曲線。將其稱為迴旋曲線群。
(b)適用性由於能夠用兩個角度(傾角及偏轉角)分攤曲線的切線方向，所以能夠任意製作符合各種條件的三維曲線，能夠用於各種用途，能夠提供工業製品的設計必需的空間曲線的廣用的發生方法。在物體沿著空間曲線伴隨加減速度運動的情況下，能夠進行約束力變化平穩的設計。此外，由於能夠相對於曲線長適當設計曲率的變化，因而能夠有效地用於要求審美的意匠曲線設計等的多個產業領域。
(c)與幾何曲線的整合性直線·圓弧·螺旋曲線等幾何曲線，能夠通過將迴旋參數的幾個置於0，或在幾個參數間設定特定的函數關係進行製作。這些曲線是迴旋曲線的一種，能夠採用迴旋的格式表現。
此外，由於通過將α或β中的任何一種通常置於0，能夠製作二維迴旋，所以能夠應用以前就二維迴旋已經得到的資源。
也就是，通過適當設定α或β，包括已經知道的二維迴旋，還能夠表現圓弧或直線等個別的曲線。由於對於這樣的個別的曲線，能夠採用同一形式的三維迴旋曲線式，因此能夠簡化計算手續。
(d)推測的良好性在樣條插補等以往的插補法中，在使自由曲線數式化時，多難分開其整體的形式、或局部的形式，但在三維迴旋中，通過設想傾角及偏轉角各自，能夠比較容易把握整體形象。
此外，在作為迴旋曲線表現的中途端，線長·切線方向·曲率等的值是已知的，不像以往的插補法需要重新計算。也就是，與曲線的參數S對應，按式(1-7)、(2-10)及(2-12)所示，直接求出曲線的切線、或法線、曲率。
(e)運動控制的容易性曲線的主變量是長度s或標準化的長度S，曲線的方程式用相對於該長度的自然方程式給出。因此，通過作為時間t的函數確定長度s，能夠任意給出加減速度等運動特性，通過採用以往凸輪等所用的特性良好的運動曲線，能夠謀求加工作業的高速化。由於可作為實際存在的笛卡爾空間中的值給出長度s，相對於切線方向求出速度、加速度，所以不需要像以往的插補法那樣，合成按每個軸給出的值。此外，由於曲率的計算容易，從而也容易求出運動時的離心加速度，能夠進行符合運動軌跡的控制。
2.採用三維迴旋曲線的插補法(2-1)流暢的連接的數學條件在1根三維迴旋曲線中，曲線的形狀表現具有界限。此處，以利用數值控制的工具的運動控制為主要目的，多根連接三維迴旋曲線(三維迴旋線段)，通過該多根三維迴旋曲線設計工業製品的形。以下將採用三維迴旋曲線的插補法稱為三維迴旋插補。以下，將通過插補生成的曲線群整體稱為三維迴旋曲線，將構成其的單位曲線稱為三維迴旋線段。
在其端點流暢地連接2根三維迴旋線段，被定義為是連續連接端點位置、切線及曲率。採用上述的定義式，按以下敘述此條件。最初的3式表示位置的連續性，下個2式表示切線的連續性，下個1式表示法線的一致，最後的式表示曲率的連續性。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)αi(1)＝αi+1(0)βi(1)＝βi+1(0) (3-1)tanγi(1)＝tanγi+1(0)κi(1)＝κi+1(0)這是滿足切線矢量和法線矢量連續、曲率和α、β在連接點是連續的條件，有時條件過於嚴格。因此，也可以按以下所示變更條件，來單一地滿足條件。

Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1(3-2)tanγi(1)＝tanγi+1(0)κi(1)＝κi+1(0)此處，另外，[數式38]cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1如果將上面的關係也考慮在內，[數式39]tanγi(1)＝tanγi+1(0)被用下記的條件置換。
tanγi(1)＝tanγi+1(0)i(1)i(1)cosi(1)=i+1(0)i+1(0)cosi+1(0)]]>∵α′i(1)β′i+1(0)＝α′i+1(0)β′i(1)結果得知，如果滿足下記的條件，能夠達到目的。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1 (3-3)αi′(1)βi+1＇(0)＝αi+1′(0)βi′(1)κi(1)＝κi+1(0)
在式(3-3)中，最初的3式表示位置的連續性，下個2式表示切線的連續性，下個1式表示法線的一致，最後的式表示曲率的連續性。要進行G2連續的插補，需要2根三維迴旋曲線在其端點滿足式(3-3)的7個條件式。
關於G2連續(G為Geometry的字頭)進行補充。圖8表示G2連續的插補的條件。
所謂G0連續指的是2根三維迴旋曲線在其端點位置一致，所謂G1連續指的是切線方向一致，所謂G2連續指的是接觸平面(法線)及曲率一致。在以下的表1中對比樣條曲線所用的C0～C2連續和本發明的迴旋曲線所用的G0～G2連續。
表1

在考慮2根三維迴旋曲線的連續性時，隨著達到C0→C1→C2、G0→G1→G2，插補條件變嚴。在C1連續中需要切線的大小及方向都一致，但在G1連續中可以只有切線方向一致。在用2根三維迴旋曲線流暢地連接切線的時候，優選用G1連續做成條件式。如樣條曲線，如果用C1連續做成條件式，由於增加使在幾何學上無關係的切線的大小一致的條件，所以條件過嚴。如果用G1連續做成條件式，具有可自由設定一次微分係數的大小的優點。
在G2連續中使接觸平面(法線)一致。所謂接觸平面，如圖9所示，指的是局部含有曲線C的平面S1、S2。圖9表示在點P切線方向連續，但接觸平面S1、S2不連續的例子。在考慮三維曲線的連續性時，切線方向的一致後必須考慮的是接觸平面的一致。在議論曲率時，不意味著接觸平面不一致，需要在使接觸平面一致後使曲率一致。用2根三維曲線使坐標、切線方向、接觸平面(法線)及曲率一致，可達到滿足G2連續的條件。
(2-2)具體的計算順序具有以下2種計算順序。
(a)給出曲線的參數h、α、β，發生1根三維迴旋曲線，在其端點，以滿足式(3-3)的方式，確定下個三維迴旋曲線的參數。如此，能夠發生逐個流暢連接的三維迴旋曲線。根據該計算順序，容易算出曲線參數，將其稱為順解。根據此方式，能夠容易發生多種形狀的曲線，但不能明確指定曲線通過的連接點。
(b)能以預先指定的點群成為曲線的連接點的方式，連接三維迴旋曲線。此處，在每個離散地任意給出的點列的各區間做成短的迴旋曲線(迴旋段)。在此種情況下，以滿足式(3-3)的方式確定曲線參數的計算順序比(a)更複雜，為重複收束計算。由於從連接條件相反地確定曲線參數，所以該計算順序稱為逆解。
關於上述(b)的逆解，詳細地敘述計算方法。要解決的計算問題，按以下被公式化。
未知參數曲線參數約束條件式(3-3)或其一部根據要求的問題，變化約束條件的數量，可以作為未知參數設定與之相符的數量的曲線參數。例如，在不要求曲率的連續性的情況下，能夠自由地使一部分曲線參數工作。或者，在曲率連續且指定切線方向的情況下，需要通過分割增加插補所用的三維迴旋曲線的數量，增加對應的未知曲線參數。
為了使上述重複收束計算穩定收束，需要在計算上下功夫。為了避免計算的發散，加快收束，關於未知參數，有效的方法是設定更好的初始值。因此，有效的方法是，發生滿足給出的連接點等約束條件的、更單一的插補曲線，例如線形樣條曲線等，從其曲線形狀推算三維迴旋曲線的曲線參數，作為重複收束計算的初始值。
或者，不一氣滿足應滿足的約束條件，而依次增加條件式的方式，作為穩定得到解的方法也是有效的。例如，將曲線發生的順序分為下面的三個STEP，依次進行。作為第1 STEP在以位置信息和切線方向一致的方式插補後，作為第2 STEP以使法線方向一致的方式進行插補，在第3 STEP以曲率一致的方式插補。圖10表示該方法的簡要流程。已示出必要的三維迴旋曲線式及其切線、法線或曲率的定義式。
(2-3)採用三維迴旋曲線的插補法的實施例(a)插補法的流程詳細說明採用三維迴旋曲線流暢地插補給出的點列間的方法的一實施例。
作為三維迴旋插補的基本的流程，以連結插補對象的點間的三維迴旋線段的各參數作為未知數，嚴密地通過插補對象的點，並且用牛頓·拉夫申法求出滿足成為G2連續的條件的解，生成曲線。圖11是歸納該流程的概要的圖示。所謂G2連續，指的是2根三維迴旋曲線在其端點，位置、切線方向、法線方向及曲率一致。
(b)G2連續的插補的條件在三維迴旋插補中，關於嚴密地通過插補對象的點，並且成為G2連續的條件，考慮具體的條件。
現在，簡單地具有3個點P1＝{Px1、Py1、Pz1}、P2＝{Px2、Py2、Pz2}和P3＝{Px3、Py3、Pz3}，考慮用三維迴旋線段插補該點。圖12表示點P1、P2和P3的三維迴旋插補。如果將連結點P1、P2間的曲線設定為曲線C1，將連結點P2、P3間的曲線設定為曲線C2，在此種情況下，未知數為曲線C1的參數a01、a11、a21、b01、b11、b21、h1，曲線C2的參數a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2的14個。此外，以後在說明中出現的文字的下標與各曲線的下標對應。
下面考慮嚴密地通過插補對象的點，並且達到G2連續的條件。首先，在始點嚴密地通過插補對象的點的條件，如果從三維迴旋曲線的定義考慮，由於在給出始點時必然達成，所以沒有插補條件。接著在連接點P1，在位置方面成立3個，在切線矢量方面成立2個，在曲率連續的條件式的大小和方向方面成立2個，合計成立7個。此外關於終點，在點P2在位置方面是3個。由以上得出條件式合計為10個。但是，照這樣相對於未知數14個，由於條件式只存在10個，所以不能求出未知數的解。因此，在本研究中，給出兩端點的切線矢量，對於兩端點，增加各兩個條件，使條件式和未知數的數相等。此外，如果確定在始點的切線方向，由於能夠從其定義式求出a01、b01，所以可不作為未知數處理。以下，考慮各條件。
首先，如果考慮位置的條件，成立下記的3個式(4-1)、(4-2)、(4-3)。
(以下，規定自然數i＜3。)[數式42]Pxi+hi01cos(a0i+aliS+a2jS2)cos(b0i+bliS+b2iS2)dS-Pxi+1=0]]>(4-1)Pyi+hi01cos(a0i+aliS+a2jS2)sin(b0i+bliS+b2iS2)dS-Pyi+1=0]]>(4-2)Pzi+hi01(-sin(a0i+a1iS+a2jS2))dS-Pzi+1=0]]>(4-3)接著，如果考慮切線方向，則成立2個式(4-4)、(4-5)。
cos(a0i+a1i+a2i-a0i+1)＝1 (4-4)cos(b0i+b1i+b2i-b0i+1)＝1 (4-5)關於曲率κ的大小，成立下個式(4-6)[數式44]κi(1)-κi+1(0)＝0 (4-6)最後考慮法線方向矢量n。三維迴旋曲線的法線矢量n，由式(2-10)表示。
此處，與三維迴旋曲線的切線矢量u的確定同樣，採用迴旋考慮法線矢量n。對於初期切線方向(1，0，0)，規定採用常數γ，用(0，cosγ，-sinγ)i表示初期法線方向。如果與切線同樣使其迴旋，法線n如式(4-7)所示。
n(S)=cos(S)-sin(S)0sin(S)cos(S)0001cos(S)0sin(S)010-sin(S)0cos(S)0cos-sin]]>=-sincos(S)sin(S)-cossin(S)-sinsin(S)sin(S)+coscos(S)-sincos(S)]]>(4-7)如果比較式(2-10)、(4-7)，可知sinγ、cosγ與式(4-8)對應。

sin=(S)(S)2+(S)2cos2(S)]]>cos=(S)cos(S)(S)2+(S)2cos2(S)---(4-8)]]>即，由式(4-8)得知，要達成在三維迴旋插補中的連接點的法線連續，只要tanγ是連續的可以。
tan=(S)(S)cos(S)---(4-9)]]>即，得知法線連續的條件，是式(4-10)。
tanγi(1)＝tanγi+1(0) (4-10)此處，另外，如[數式49]cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1(4-11)也在考慮內，條件式(4-10)，可用下記的條件式置換。即，法線連續的條件是式(4-12)。
α′i(1)β′i+1(0)＝α′i+1(0)β′i(1) (4-12)綜上所述，得知，嚴密地通過插補對象的點，並且成為G2連續的條件，在切線點如式(4-13)。此外，即使在始點·終點，也可選擇這些其中的幾個條件。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1αi′(1)βi+1′(0)＝αi+1′(0)βi′(1)κi(1)＝κi+1(0)(4-13)
由以上得知，對於未知數a11、a21、b11、b21、h1、a02、a12、a22、b02、b12、b22和h2等12個，條件式成立下記的12個。(點P3的切線方向旋轉角設定為α3、β3。)[數式52]Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1α′1(1)β′2(0)＝α′2(0)β′1(1)κ1(1)＝κ2(0)Px2(1)＝Px3(0)Py2(1)＝Py3(0)Pz2(1)＝Pz3(0)cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1 (4-14)這樣一來，由於對於12個未知數成立12個式，所以能夠求解。對此可用牛頓·拉夫申法解釋，求出解。
此外，一般在考慮插補n個點列時，條件式只要將上述的自然數i擴大為i＜n就可以。然後是未知數和條件式的數量的問題。
例如，在具有n-1個點列時，看作成立N個未知數和N個關係式。此處，如果假設再增加1點，未知數就增加三維迴旋線段Pn-1、Pn的迴旋參數a0n、a1n、a2n、b0n、b1n、b2n和hn等7個。一方面，條件式，由於連接點增加1個，所以在點Pn-1，在位置方面增加3個，在切線矢量方面增加2個，在曲率連續的條件式的大小和方向方面增加2個，合計增加7個。
由於得知在n＝3時，未知數、關係式都是12個，所以在n≥3時，未知數為7(n-2)+5個，對此成立的式也是7(n-2)+5個。這樣一來，由於未知數和與之有關的條件的數相等，所以在n個自由點列時也能用與3點時同樣的方法求解。作為求解法，採用利用在未知數和條件式的之間成立式(4-15)、(4-16)的關係的牛頓-拉夫申法求解。(將條件設為F，將未知數設為u、將誤差雅可比矩陣設為j。)[數式53]
ΔF＝[J]Δu (4-15)Δu＝[J]-1ΔF (4-16)由以上得知，對於n個點列也可進行嚴密地通過插補對象的點，並且達到G2連續的三維迴旋插補。
(C)初始值的確定在牛頓-拉夫申法中，在開始解的探索時需要給出適當的初始值。初始值怎樣給出都可以，但此處只敘述該初始值的一例給出方式。
在插補中，首先，需要從點列確定各未知數的初始值，但在本研究中，生成在Li等的3D Discrete Clothoid Splines的多角形Q的單一形的插補對象點列間具有4個頂點的，從該多角形Q算出其初始值，進行確定。3DDiscrete Clothoid Splines，嚴密地通過插補對象點，具有曲率相對於從始點的移動距離平穩變化的性質。在本說明書中，用於三維迴旋插補的初始值，通過製作如圖13的r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的多角形Q，從此處通過計算確定。
下面，補充說明3D Discrete Clothoid Splines。首先如圖14所示，製作以插補對象的點列為頂點的多角形P，在P的各頂點間插入各相同數r個新的頂點，製作為PQ的多角形Q。此處，如果將P的頂點設定為n個，在多角形Q關閉的情況下具有rn個頂點，在多角形Q打開的情況下具有r(n-1)+1個頂點。以後規定以下標作為從始點的連續號碼，用qi表示各頂點。此外，在各頂點，作為方向確定從法線矢量b，作為大小確定具有曲率κ的矢量k。
此時，將滿足下記的頂點相互間達到等距離的式(4-17)的，曲率最接近與從始點的移動距離成正比的條件時的(使式(4-18)的函數最小化時的)多角形Q，稱為3D Discrete Clothoid Splines。
|qi-1qi|＝|qi+1qi|，(qiP) (4-17)i=1r-1||2kir+1||2,]]>i＝{0...n-1}，Δ2ki＝ki-1-2ki+ki+1(4-18)
在3D Discrete Clothoid Splines中，已經求出各頂點的弗雷涅標架。因此，從其單位切線方向矢量t求出參數a0、b0。該切線方向矢量t在求出多角形Q時已知，通過該t和三維迴旋曲線的切線的式，求出多角形Q的頂點的切線方向旋轉角α、β。由此求出各曲線的a0、b0的初始值。此外，在從始點開始的三維迴旋線段上，給出此值。
u=coscossincos-sin---(4-19)]]>此處，關於3D Discrete Clothoid Splines，如果考慮等距離排列頂點，在圖13的點q4i+1，能夠近似於曲線長變量S是1/4。同樣在點q4(i+1)-1，能夠近似於曲線長變量S是3/4。如果與三維迴旋曲線的α的式合在一起考慮這些，成立下式(4-20)。
a04i+14a14i+(14)2a24i=a04i+1a04i+34a14i+(34)2a24i=a04(i+1)-1---(4-20)]]>此式成為未知數為a14i和a24i的二維聯立方程式，對其進行求解，作為參數a1、a2的初始值。同樣也能夠確定參數b1、b2的初始值。
其餘的未知數是曲線長h，但關於其初始值可由三維迴旋曲線的曲率的式算出。三維迴旋曲線的曲率，可用式(4-21)表示。
=2+2cos2h---(4-21)]]>如果改變此式，成為式(4-22)，可確定h的初始值。

h4i=(a14i+2a24i)2+(b14i+2b24i)2cos2(a04i+a14i+a24i)k4(i+1)]]>(4-22)用以上的方法，對於7個三維迴旋參數能夠確定初始值。採用該確定的初始值，在(b)中敘述的達到G2連續的條件下，用牛頓-拉夫申法求出各曲線的參數的近似值。從由此得到的參數生成三維迴旋線段，用三維迴旋曲線插補點列間。
(d)插補例作為實際用以上所述的方法插補點列的例子，舉例三維迴旋插補(0.0，0.0，0.0)、(2.0，2.0，2.0)、(4.0，0.0，1.0)和(5.0，0.0，2.0)這4點的例子。圖15中示出通過插補生成的三維迴旋曲線的透視圖。圖15中的實線是三維迴旋曲線，虛線、一點劃線、二點劃線的直線，是曲線上的各點上的取大小為log(曲率半徑+自然對數e)，取方向為法線方向的曲率半徑變化模式。
另外，表2中示出各曲線的參數，此外表3示出在各切線點的坐標、切線、法線、曲率的偏斜。從這些表看出，在各切線點生成成為G2連續的三維迴旋曲線。此外，圖16是在橫軸取從始點的移動距離、在縱軸取曲率的曲率變化曲線圖。
表2各三維迴旋線段的模式


表3

(2-4)考慮到在兩端的各值的控制的G2連續的三維迴旋插補(a)插補條件和未知數如在(2-3)中所述，在曲線打開的情況下，在插補對象的點有n個時，用n-1個曲線三維迴旋插補點列。如果嚴格地通過各點，關於各三維迴旋線段，由於未知數有a0、a1、a2、b0、b1、b2、h等7個，所以未知數整體為7(n-1)個。另一方面，關於條件式，由於具有n-2個的連接點都存在坐標、切線、法線、曲率的各7個和終點上的坐標的3個，所以全部為7(n-2)+3個。在(2-3)的方法中，通過對其給出始點·終點上的切線矢量，增加4個條件，使條件式和未知數的數相對。
此處，如果控制始點·終點上的切線·法線·曲率，並且以達到G2連續的方式插補，條件與控制兩端的切線時相比，另外在始點·終點，在法線·曲率方面各增加2個，合計增加4個。於是，條件式全部達到7n-3個。在此種情況下，由於未知數的數比條件少，所以不能用牛頓-拉夫申法求解。因此，需要用什麼方法增加未知數。
因此，此處，通過重新插入插補對象點使未知數和條件式的數相等。例如，如果4個未知數的一方多，就插入2個新的點，作為未知數處理各點的坐標中的2個。
在此種情況下，由於連接點增加2個，所以對於各連接點條件增加坐標、切線、法線、曲率的各7個的14個。另一方面，由於未知數增加2個三維迴旋線段，所以增加a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的各7個的合計14個。由於此時點列所含的點的數為n+2個，所以如果整體考慮，未知數達到7(n+1)個，條件式達到7(n+1)+4個。此處，另外，假設作為未知數處理新插入的點的坐標中的2個，未知數就增加4個。於是，未知數、條件式都達到7(n+2)-3個，能夠求出未知數的解。如此，通過插入新的點，能夠進行嚴密地通過給出的各點，G2連續的並且控制了兩端點的切線·法線·曲率的插補。
另外，考慮到一般的情況。在插補n個點列時，考慮在兩端點控制m個項目時插入的點的數和在該點作為未知數處理的坐標的數。前面也記述過，但在曲線打開時，用n-1個曲線插補點列。如果嚴密地通過各點，由於對於各三維迴旋線段未知數有a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的7個，所以未知數整體有7(n-1)個。一方面，關於條件式，由於具有n-2個的連接點都存在坐標、切線、法線、曲率的各7個和終點上的坐標3個，所以全部為7(n-2)+3個，條件式少，為4個。也就是，在兩端點要控制的項目在4個以上。以下，敘述在說明中m為4以上的自然數、k為2以上的自然數，在插入新的點時使條件式和未知數的數相等的方法。
(i)m＝2k時在兩端合在一起控制m＝2k個項目時，未知數整體有7(n-1)個，條件式整體為7(n-1)-4+2k個。此時，過剩的條件式為2k-4個。現在，如果考慮重新插入k-2個點，由於三維迴旋線段增加k-2根，連接點增加k-2個，所以未知數整體有7(n+k-3)個，條件式整體為7(n+k-3)-4+2k個。此處，另外假設作為未知數處理新插入的各點的坐標的值中的2個(例如x、y)，未知數整體為7(n+k-3)+2(k-2)個，條件式整體為7(n+k-3)+2(k-2)個，未知數和條件式的數相等。
(ii)m＝2k+1時在兩端合在一起控制m＝2k+1個項目時，未知數整體為7(n-1)個，條件式整體為7(n-1)+2k-3個。此時，過剩的條件式為2k-3個。現在，如果考慮重新插入k-1個點，由於三維迴旋線段增加k-1根，連接點增加k-1個，所以未知數整體為7(n+k-2)個，條件式整體為7(n+k-2)-3+2k個。此處，另外假設作為未知數處理新插入的各點的坐標的值中的2個(例如x、y)，未知數整體有7(n+k-2)+2(k-2)個，條件式整體為7(n+k-2)+2k-3個，條件式的數多1個。因此，要在m＝2k+1時插入的點中的1個點上，作為未知數隻處理坐標的值中的1個。這樣一來，未知數整體為7(n+k-2)+2(k-2)個，條件式整體為7(n+k-2)+2(k-2)個，未知數和條件式的數相等。
如以上所述的方法，即使在通過與追加的條件的數對照，調整插入的點的坐標中的成為未知數的數，控制切線、法線、曲率以外的例如切線迴旋角α時等的種種情況下，也能夠使未知數和條件式的數相對，理論上能夠控制兩端點的各值。此外，關於控制項目和未知數、條件式的數，表4列出歸納的數表4n點的插補中在兩端的控制項目和未知數、條件式的數

*k2以上的自然數(b)方法採用在始點·終點控制各值的三維迴旋的插補法，如圖17及圖18所示，按以下的流程進行。
Step1)只採用要控制的條件中的4個，進行嚴密地通過插補對象點，並且G2連續的插補，生成曲線。
Step2)在生成的曲線上插入新的點，調整條件式和未知數的數。
Step3)以Step1的曲線參數作為初始值，用牛頓-拉夫申法求出滿足目的條件的各曲線的參數的近似值。
以下，對各Step進行補充說明。首先在Step1中，只要控制切線方向，就可採用(2-3)的方法生成曲線。此外，即使在不控制切線方向的情況下，作為求出該曲線的參數時的初始值，也採用與(2-3)的方法相同的初始值。
接著，在Step2中插入新的點，進行條件式和未知數的數的調整。此時，新插入的點，在各插補對象點間儘可能地在1個以下。此外，作為插入的點，插入用連結插補對象相互間的在Step1生成的三維迴旋線段的中間的點。另外，插入的點要從兩端依次插入。也就是，最初插入的點是始點和其鄰接的點的之間、和終點和其鄰接的點的之間。
最後是關於Step3，但需要重新確定用於在Step3進行的牛頓-拉夫申法的初始值。因此，對於插入新點的曲線，採用按(1-4)所述的分割三維迴旋曲線的方法分割曲線，從生成的曲線的各值確定。對於未插入點的曲線，直接採用在Step1生成的曲線的值。以上，確定了在Step3中的曲線的各參數的初始值。採用該初始值，從用牛頓-拉夫申法得到的參數生成三維迴旋曲線，用滿足目的條件的三維迴旋曲線插補點列間。
(C)插補例示出以實際用表5的條件控制兩端的切線、法線、曲率的方式，進行三維迴旋插補的例子。向應嚴密地通過的插補對象的點分攤連續號碼，形成P1、P2和P3。
表5 插補對象各點和始點·終點的條件

*θ＝-(π/6)圖19表示在此條件下實際進行插補的結果。實線的曲線表示三維迴旋曲線，虛線·一點劃線·二點劃線·三點劃線表示各曲線的曲率半徑變化。此外，圖20是表示從與圖19的曲線的線種對應的各曲線的始點的移動距離和曲率的關係的曲線圖。由圖中看出，生成的曲線滿足表6所給出的條件。
表6 給出的值和生成的曲線的始點·終點的切線、法線、曲率的差

(d)在中間點的值的控制利用(b)的方法，繼續控制兩端點上的各值，進行G2連續的插補。此處，考慮不在兩端點而在中間點控制值。
例如在插補如圖21的點列的情況下，考慮在中間點Pc控制切線、法線。但是，在前面所述的方法中不能控制中間點上的值。因此，此處通過將該點列分為2個，控制在中間點的值。
也就是，對於點列，不是一舉地進行插補，而是夾著中間點Pc分為曲線C1和曲線C2地進行插補。在此種情況下，由於點Pc相當於端點，所以只要採用(b)的方法就能夠控制值。
如此在有要控制的值的點上分開區分，控制其兩端上的值，進行插補的結果，只要連接生成的曲線，理論上能夠進行可在各點控制切線·法線·曲率的三維迴旋插補。
(2-5)控制兩端點上的切線、法線、曲率的三維迴旋插補(a)方法的流程採用在始點·終點控制各值的三維迴旋的插補法，可按圖22所示的以下的流程進行。下面，沿著該流程說明。
(b-1)給出插補對象的點在本例中，給出三維空間的3點{0.0，0.0，0.0}、{5.0，5.0，10.0}、{10.0，10.0，5.0}。表7歸納地列出在其它各點給出的切線、法線、曲率等的條件。
表7 插補對象各點和始點·終點的條件

(b-2)r＝4的3DDCS的生成在牛頓-拉夫申法中，在開始解的探索時需要給出適當的初始值。此處，進行得出該初始值的準備。先行的研究即3D Discrete Clothoid Splines，具有嚴密地通過插補對象點，相對於從始點的移動距離曲率平穩地變化的性質。因此，在本研究中，製作如圖23的r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的多角形Q，從此處通過計算確定用於三維迴旋插補的初始值。此外，圖24示出實際由該點列生成的多角形，頂點的坐標列入表8。
表8 生成的多角形的頂點坐標

(b-3)初始值的確定要用牛頓-拉夫申法求解，需要確定各未知數的初始值。在本方法中，使用在(b-2)生成的多角形Q，求出各未知數的近似值，確定該值。在3D Discrete Clothoid Splines中，已經求出各頂點的弗雷涅標架。因此由在(b-2)生成的多角形Q的單位切線方向矢量t求出參數a0、b0。該切線方向矢量t在求出多角形Q時已知，通過該t和三維迴旋曲線的切線的式，求出多角形Q的頂點的切線方向迴旋角α、β。由此求出各曲線的a0、b0的初始值。此外，在從始點開始的三維迴旋線段上，給出該值。
u=coscossincos-sin]]>此處，關於3D Discrete Clothoid Splines，如果考慮頂點以等距離排列，在圖23的點q4i+1上，能夠近似於曲線長變量S是1/4。同樣在點q4(i+1)-1上，能夠近似於曲線長變量S是3/4。如果與三維迴旋曲線的α的式合在一起考慮這些，成立下式。
a04i+14a14i+(14)2a24i=a04i+1a04i+34a14i+(34)2a24i=a04(i+1)-1]]>此式成為未知數為a14i和a24i的二維聯立方程式，對其進行求解，作為參數a1、a2的初始值。同樣也能夠確定參數b1、b2的初始值。
其餘的未知數是曲線長h，但關於其初始值可由三維迴旋曲線的曲率的式算出。三維迴旋曲線的曲率，可用下記表示。
=2+2cos2h]]>如果改變此式，成為以下的式，可確定h的初始值。
h4i=(a14i+2a24i)2+(b14i+2b24i)2cos2(a04i+a14i+a24i)k4(i+1)]]>用以上的方法，能夠為7個三維迴旋參數確定初始值。
表9示出實際用此法求出的初始值。
表9 初始值

(b-4)嚴密地通過各點，G2連續的三維迴旋插補採用通過(b-3)確定的初始值，在達到G2連續的條件下，用牛頓-拉夫申法求出各曲線的參數的近似值。從由此得到的參數生成三維迴旋線段，用三維迴旋曲線插補點列間。
此處，在3點的三維迴旋插補中，關於嚴密地通過插補對象點，並且達到G2連續的條件，考慮具體的條件。圖25表示點P1、P2、P3的三維迴旋插補。如果將連結點P1、P2間的曲線作為曲線C1，將連結點P2、P3間的曲線作為曲線C2，由於a01和b01是已知的，所以未知數為曲線C1的參數a11、a21、b11、b21、h1，曲線C2的參數a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2的12個。以後在說明中出現的文字的下標與各曲線的下標對應，作為曲線長變量S的函數，如Pxi、Pyi、Pzi、αi、βi、ni、κi，表示各曲線上的坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率。
首先，在點P1上嚴密地通過插補對象點的條件，如果從三維迴旋曲線的定義考慮，在給出始點時必然達成。此外，關於切線方向，由於已經作為已知的值給出，所以不特別指定在點P1上的條件。
接著，考慮點P2。點P2是曲線相互間的連接點，要達到G2連續需要位置、切線、法線、曲率連續。即在點P2上應成立的條件如下。

Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1n1(1)·n2(0)＝1κ1(1)＝κ2(0)最後考慮點P3。點P3是終點，由於應滿足的條件只是位置、切線，所以成立以下的5個條件。此處，看作α3、β3是確定在給出的終點上的切線矢量的切線方向迴旋角α、β。
Px2(1)＝Px3Py2(1)＝Py3Pz2(1)＝Pz3cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1由以上得知，對於未知數a11、a21、b11、b21、h1、a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2的12個，條件式成立下記的12個。歸納成立的條件式如下。

Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1n1·n2＝1κ1(1)＝κ2(0)Px2(1)＝Px3Py2(1)＝Py3Pz2(1)＝Pz3cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1由於對於12個未知數成立12個式，所以能夠求解。用牛頓-拉夫申法求解該式，求出解。表10列出初始值和解。
表10 初始值和解

(b-5)曲線的生成圖26同時表示以在(b-4)求出的參數為基礎生成的曲線和在(b-2)生成的多角形。實線的曲線是曲線C1，虛線的曲線是曲線C2。在該階段，形成在始點·終點控制切線方向的G2連續的三維迴旋曲線。
(b-6)條件式和未知數此處，另外考慮也將始點P1和終點P3上的法線和曲率確定為表7給出的值。要在始點·終點再控制法線和曲率，需要分別2個增加始點·終點上的條件。但是，在條件增加4個的狀態下，從與未知數的關係考慮不能求出滿足該條件的解。因此，為了使未知數和條件式的數相對，如圖27所示，在曲線C1的曲線長變量S＝0.5的位置重新插入點DP1。此外，對於曲線C2，也在曲線長變量S＝0.5的位置重新插入點DP2。
此時，將連結點P1和點DP1的曲線作為曲線C』1，將連結點DP1和點P2的曲線作為曲線C』2，將連結點P2和點DP2的曲線作為曲線C』3，將連結點DP2和點P3的曲線作為曲線C』4。以後在說明中出現的文字的下標與各曲線名對應，例如作為曲線長變量S的函數，如Pxc、Pyc、Pzc、αc、βc、nc、κc，表示曲線C上的坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率。此外，在始點·終點上，在始點如Pxs、Pys、Pzs、αs、βs、ns、κs，在終點如Pxe、Pye、Pze、αe、βe、ne、κe，表示坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率。
以下說明在各點上成立的條件。
點P1切線、法線、曲率4個cos[αC′1(0)-αs]＝1cos[βC′1(0)-βs]＝1nC′1(0)·ns＝1κC′1(0)＝κs點DP1位置、切線、法線、曲率7個PxC′1(1)＝PxC′2(0)PyC′1(1)＝PyC′2(0)PzC′1(1)＝PzC′2(0)cos[αC′1(1)-αC′2(0)]＝1cos[βC′1(1)-βC′2(0)]＝1nC′1(1)·nC′2(0)＝1κC′1(1)＝κC′2(0)
點P2位置、切線、法線、曲率7個PxC′2(1)＝PxC′3(0)PyC′2(1)＝PyC′3(0)PzC′2(1)＝PzC′3(0)cos[αC′2(1)-αC′3(0)]＝1cos[βC′2(1)-βC′3(0)]＝1nC′2(1)·nC′3(0)＝1κC′2(1)＝κC′3(0)點DP2位置、切線、法線、曲率7個PxC′3(1)＝PxC′4(0)PyC′3(1)＝PyC′4(0)PzC′3(1)＝PzC′4(0)cos[αC′3(1)-αC′4(0)]＝1cos[βC′3(1)-βC′4(0)]＝1nC′3(1)·nC′4(0)＝1κC′3(1)＝κC′4(0)點P3位置、切線、法線、曲率7個PxC′4(1)＝PxePyC′4(1)＝PyePzC′4(1)＝Pzecos[αC′4(1)-αe]＝1cos[βC′4(1)-βe]＝1nC′4(1)·ne＝1κC′4(1)＝κe以上，全部應成立的條件式是32個。此處，各曲線具有的迴旋參數是a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的各7個，並且，由於曲線為4根，所以未知數為28個。但是，照此一來，由於未知數和條件式的數不相等，所以不能求出解。因此作為未知數處理重新插入的2個點DP1、DP2的y、z坐標，增加4個未知數。通過這樣處理，未知數、條件式都為32個，能夠求出解。
(b-7)初始值的確定為了求出滿足在(b-6)中成立的條件式的解，採用牛頓-拉夫申法，但為了提高其收束率確定未知數的初始值。作為方法，通過如圖28所示在新插入的點的前後分割在(b-5)中生成的三維迴旋曲線，製作4根三維迴旋曲線，給出其迴旋參數。
關於曲線的分割法，如果說明將曲線C1分割成曲線C』1和曲線C』2的方法，曲線C』1的迴旋參數h』、a』0、a』1、a』2、b』0、b』1、b』2，採用曲線C1的參數，用下式表示。此處Sd是分割點上的曲線長變量，此處是0.5。
a0=a0a1=a1Sda2=a2Sd2b0=b0b1=b1Sdb2=b2Sd2h=hSd]]>接著考慮以分割點DP1作為始點的曲線C』2。首先，如果將大小、形狀與曲線C1相同而朝向相反的曲線作為曲線C」1，該曲線的迴旋參數h」、a」0、a」1、a」2、b」0、b」1、b」2，採用曲線C1的曲線的參數，用下式表示。
pS=P(1)a0=a0+a1+a2+a1=-(a1+2a2)a2=a2b0=b0+b1+b2b1=-(b1+2b2)b2=b2h=h]]>
在該曲線上，分割點DP1用DP1＝C」1(1-Sd)表示。此處，如果考慮在點DP1分割曲線C」1，以該分割的曲線中的點P2作為始點的曲線C」2，成為大小、形狀與曲線C」2相同而朝向相反的曲線。能夠利用生成曲線C』1的方法生成曲線C」2。此處，另外只要相對於曲線C」2生成大小、形狀相同而朝向相反的曲線，就能生成曲線C2。
用以上的方法，能夠在三維迴旋曲線C1上的曲線長變量S＝0.5的點DP1，將曲線C1分割成C』1和C』2。用同樣的方法，也能夠在曲線C2上的曲線長變量S＝0.5的點DP2，將曲線C2分割成C』3和C』4。
表11列出用該方法分割的4個曲線的參數。將該曲線的參數用於在求出滿足在b-4中成立的條件式的解時所用的牛頓-拉夫申法的初始值。
表11 分割生成的曲線的參數

(b-8)求出滿足條件的迴旋參數以在(b-7)中確定的初始值為基礎，用牛頓-拉夫申法求出滿足在(b-6)中成立的條件式的解。表12是算出的各曲線的參數。此外，表13中示出給出的值和生成的曲線的始點·終點的切線、法線、曲率的差。
表12 生成的曲線的參數

表13 給出的值和生成的曲線的始點·終點的切線、法線、曲率的差

(b-9)曲線的生成圖29表示通過在(b-8)中求出的參數生成的曲線。實線表示三維迴旋曲線，虛線·一點劃線·二點劃線·三點劃線，表示各曲線的方向在主法線方向，尺寸為半徑，滿足自然對數，取對數的曲率半徑變化模式。此外，圖30是表示從與圖29的線種類對應的各曲線的始點的移動距離s和曲率κ的關係的曲線圖。由圖中看出，生成的曲線滿足表12所給出的條件。
以上，說明了採用在兩端控制切線、法線、曲率的三維迴旋插補法生成曲線的例子。
3.採用三維迴旋插補的滾珠絲槓的回歸路徑的設計方法作為在三維迴旋曲線的機械設計中的應用事例，進行反向器方式的滾珠絲槓的回歸路徑的設計。
(3-1)反向器方式的滾珠絲槓的說明圖31～圖35表示反向器方式的滾珠絲槓。反向器構成沿著絲槓槽轉動的滾珠的回歸路徑。反向器，有與螺母分開形成後固定在螺母上的方式、和與螺母一體地形成的方式。圖31表示與螺母分開形成反向器的方式。
以下，說明反向器與螺母一體的方式的滾珠絲杆。圖32是表示反向器為與螺母一體的方式的滾珠絲槓的螺母1。在螺母1的內周面，作為一周未滿的螺旋狀的負荷滾動體滾道槽，形成負荷滾珠滾道槽2。負荷滾珠滾道槽2具有與後述的絲槓軸的滾珠滾道槽一致的導程。作為回歸路徑的滾珠滾道槽3連接負荷滾道槽的一端和另一端，具有方向與負荷滾珠滾道槽2相反的導程。用這些負荷滾珠滾道槽2和滾珠滾道槽3構成一個一卷槽4。圖33A是看見滾珠循環槽3的狀態的螺母1的立體圖，圖33B是看見負荷滾珠滾道槽2的狀態的螺母1的立體圖。
圖34表示在絲槓軸上組裝該螺母1的狀態。
在絲槓軸5的外周面，作為具有規定導程的螺旋狀的滾動體滾道槽，形成滾珠滾道槽6。螺母1的負荷滾珠滾道槽2與絲槓軸5的滾珠滾道槽6對置。在螺母1的負荷滾珠滾道槽2及滾珠循環槽3和絲槓軸5的滾珠滾道槽6的之間，作為可旋轉運動的多個滾動體，排列多個滾珠。隨著螺母1相對於旋轉軸5的相對旋轉，多個滾珠在螺母1的負荷滾珠滾道槽2和絲槓軸5的滾珠滾道槽6的之間，一邊接受負荷一邊旋轉運動。
圖32所示的螺母1的滾珠循環槽3是與圖31所示的反向器對應的部分。滾珠循環槽3，以沿著旋轉軸5的負荷滾珠滾道槽2滾動的滾珠沿著絲槓軸5的周圍轉一個巡迴，返回到原來的負荷滾珠滾道槽的方式，沿滾珠越過絲槓軸5的螺紋牙7。
以往的模式的循環路徑，通過在絲槓軸上卷繞圖35的展開圖時，以不沿著路徑碰到螺紋牙和滾珠的程度從絲槓軸5中心分離進行製作，但從圖36的曲率變化看出，該路徑是曲率不連續的。因此，採用三維迴旋插補，在曲率連續的路徑上再設計循環路徑。
圖37表示滾珠中心的軌道。要使滾珠的循環路徑作為整體達到G2連續，需要在滾珠在回歸路徑上移動的點上達到G2連續。因此在回歸路徑的設計中，認為有在回歸路徑的兩端點控制切線、法線、曲率的必要性。
(3-2)以下，說明採用三維迴旋曲線，設計反向器方式的滾珠絲槓的回歸路徑的例子，(a-1)絲槓軸和滾珠表14列出本設計中所用的絲槓軸和滾珠的尺寸。
表14 絲槓軸和滾珠的尺寸

(a-2)對稱性和坐標性反向器方式的滾珠絲槓的回歸路徑，從其使用用途考慮需要是軸對稱的。因此說明本設計所用的坐標系。
首先，如圖38所示，取z軸為絲槓軸方向。圖38的實線是沿著絲槓槽使滾珠運動時滾珠的中心繪出的軌道。此外，將進入回歸路徑的點作為點Ps，將從回歸路徑返回到絲槓槽的點作為點Pe，將點Ps和點Pe的中點作為點Pm。如圖39所示，如用向xy平面的投影圖看Ps和點Pe，由原點0、Ps和點Pe繪成二等邊三角形，但取該二等邊三角形的∠PsOPe的垂直二等分線的方向為y軸方向。另外從對稱性考慮，規定y軸通過點Pm。關於各軸的方向，如圖38、39所示。如此以採用坐標系達到軸對稱的方式設計回歸路徑。
在實際設計時，以θ＝15°確定各點的坐標。表15列出由此確定的坐標、切線、法線、曲率。
表15 各點的坐標、切線、法線、曲率

(a-3)約束條件研究反向器方式的滾珠絲槓的回歸路徑的設計中的約束條件。首先，與在點Ps和點Pe沿絲槓槽移動的滾珠的中心的軌跡描繪的曲線必須是G2連續。
接著，如考慮舉例滾珠的高度，由於只要考慮回歸路徑是y軸對稱，滾珠的中心就通過y軸上的某點，所以將此點作為點Ph(參照圖38、39)。此時，滾珠要越過螺紋牙，需要點Ph的y坐標的絕對值至少滿足(點Ph的y坐標的絕對值)≥(絲槓軸外徑+滾珠徑)/2因此，在本設計中，是(點Ph的y坐標的絕對值)≥(絲槓軸外徑+滾珠徑×1.2)/2此外，考慮是y軸對稱時的法線方向需要是{0，1，0)，切線方向只具有沿其周圍旋轉的自由度。
滿足以上的條件，用三維迴旋曲線生成y軸對稱的回歸路徑。實際上，除此以外，還必須考慮對絲槓軸的幹涉，但關於幹涉可檢查設計的回歸路徑，在有幹涉時可通過變化插補的初始值，或增加插補對象點，或重新設計路徑來解決。
(a-4)為了避免幹涉與絲槓軸的幹涉容易發生在進入回歸路徑的邊上，由於通過自由插補製作路徑，因此容易引起幹涉。要求回歸路徑離開絲槓軸，越過螺紋牙回到原來的位置，但要避免幹涉，最好在某種程度離開絲槓軸後，越過螺紋牙回到原來的位置。作為生成該回歸路徑的方法，有增加插補對象點，避免幹涉的方法，和用手動生成進入該回歸路徑的第1根曲線，強制地從絲槓軸分離的方法。其中在本設計中，採用用手動生成進入回歸路徑的第1根曲線，強制地從絲槓軸分離的方法。
此處，說明進入從點Ps開始的回歸路徑的第1根曲線C1。作為曲線長變量S的變量，如Px1、(S)、Py1、(S)、Pz1(S)、α1(S)、β1(S)、n1(S)、κ1(s)，表示曲線C1上的坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率。此外，在點Ps·點Ph上，在點Ps如Pxs、Pys、Pzs、αs、βs、ns、κs，在點Ph如Pxh、Pyh、Pz h、αh、βh、nh、κh，表示坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率。與沿絲槓槽移動的滾珠的中心的軌跡描繪的曲線是G2連續的條件，是在點Ps上成立下式。
點Ps切線、法線、曲率4個cos[α1(0)-αs]＝1cos[β1(0)-βs]＝1n1(0)·ns＝1κ1(0)＝κs此外，沿絲槓槽移動的滾珠的中心的軌跡描繪的曲線，採用三維迴旋曲線表示，但從圖40所示的點開始，一圈程度的長度的三維迴旋曲線C0的式用下式表示。此處，將螺紋的間距規定為pit，將絲槓軸外形規定為R，將螺紋的螺距角規定為α0。
α0(S)＝-α0β0(S)＝βe+2πSh0=pit2+(2R)2]]>P0(S)=Pe+h001u(S)dS]]>在曲線C0的式中，點Ps表示為Ps＝P0(11/12)。現在，如果作為從點Ps開始，在點Ps與曲線C0達到G2連續的曲線C1，生成具有下記的參數的曲線，能夠強制地使其從絲槓軸離開。
1(S)=-01(S)=0(12)+160P1(S)=Ps+h06001u1(S)dS(b10+11620)S-115(b10+116b20)S2]]>例如，作為滿足此條件的曲線C1，生成具有表16的參數的三維迴旋曲線。
表16 曲線C1的參數

此時，如果比較點Ps上的曲線C0和曲線C1的切線、法線、曲率的值，形成表17，判斷達到G2連續。
表17 在點Ps的切線、法線、曲率的偏移

此外，該曲線，如從圖41、42判斷，只形成從絲槓軸分開的形狀。因此，關於進入從點Ps開始的回歸路徑的第1根曲線C1，採用該參數的曲線。
(a-5)三維迴旋插補的條件和未知數加進在(a-3)中所述的條件，在達到G2連續的條件下，採用牛頓-拉夫申法求出各曲線的參數的近似值。此處，由於已經生成從點Ps開始的曲線C1，所以，以後在說明中敘述曲線C1的終點P1和點Ph間的徑路的設計。在說明中出現的文字的下標與各曲線的下標對應，作為曲線長變量S的函數，如Pxi、(S)Pyi、(S)Pzi(S)、αi(S)、βi(S)、ni(S)、κi(S)，表示各曲線上的坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率。此外，在點Ph上，將坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率表示為Pxh、Pyh、Pzh、αh、βh、nh、hh。
在路徑的設計中，由於應嚴密地通過的點是點P1和點Ph這2點，所以是該插補2點的三維迴旋插補。此處，如果考慮在兩端點的插補條件，由於條件式的數比未知數多2個，所以為了進行G2連續的三維迴旋插補，如圖43所示，確定在點P1和點Ph的之間插入點P2。此外，將連結點P1和點Ph的曲線作為曲線C2，將連結點P2和點Pe的曲線作為曲線C3。
以下說明各點上的插補條件。
點P1切線、法線、曲率4個cos[α2(0)-α1(1)]＝1cos[β2(0)-β1(1)]＝1n2(0)·n1(1)＝1κ2(0)＝κ1(1)點P2位置、切線、法線、曲率7個Px3(1)＝Px2(0)Py3(1)＝Py2(0)Pz3(1)＝Pz2(0)cos[α3(1)-α2(0)]＝1cos[β3(1)-β2(0)]＝1n3(1)·n2(0)＝1κ3(1)＝κ2(0)點Ph位置、β、法線5個Px3(1)＝PxhPy3(1)＝PyhPz3(1)＝Pzhcos[β3(1)]＝1n3(1)·{0，1，0}＝1以上表明，全部應成立的條件式是16個。此處，每個曲線具有的迴旋參數是a0、a1、a2、b0、b1、b2、h等7個，並且，由於曲線為2根，所以未知數為14個。但是，照此一來，由於未知數和條件式的數不相等，所以不能求出解。因此作為未知數處理重新插入的2個點P2的y、z坐標，增加2個未知數。通過這樣處理，未知數、條件式都為16個，能夠求出解。此外，在本設計例中雖未進行，但該未知數和條件式的數，只要在途中給出應嚴密地通過的點，在該點的前後達成G2連續，通常成立，所以即使在點P1和點Ph的之間增加插補對象點，也能夠求出解。
(a-6)求出滿足條件的迴旋參數用牛頓-拉夫申法求出滿足在(a-5)中成立的條件式的解。插補方法、初始值的生成方法遵循三維迴旋插補的方法。表18列出算出的各曲線的參數，表19列出在描出的連接點上的坐標、切線、法線、曲率的偏移。
表18 生成的曲線的參數

表19 在各切線點的坐標、切線、法線、曲率的偏移

(a-7)路徑的生成通過由(a-5)、(a-6)得到的參數，能夠設計從點Ps到點Ph的路徑。此外，由於從點Ps到點Pe的路徑，因路徑是y軸對稱的，與重取坐標系，將點Pe看作點Ps生成的路徑相同，所以這些也能夠由同樣的曲線生成。
圖44表示用以上的方法生成的路徑。實線是絲槓軸上的滾珠的中心軌道即曲線C0，到點Ps～點Pn的虛線、一點劃線、二點劃線這3根曲線分別是曲線C1、C2、C3。此外，到點Pn～點Pe的二點劃線、一點劃線、虛線這3根曲線分別是曲線C3、C2、C1和與y軸對稱的曲線。
圖45是表示從z軸的正方向看從點Pe逆時針沿著循環路徑移動的移動距離和曲率κ的關係的曲線圖。曲線圖的線種與圖44的曲線的線種對應。
用以上的方法，採用三維迴旋曲線，設計反向器式的滾珠絲槓的循環路徑。另外，採用三維迴旋曲線設計循環路徑的方法，當然不局限於反向器式的滾珠絲槓，也適用於用管構成回歸路徑的所謂回流管式的滾珠絲槓，或者用設在螺母端面上的端隙，從絲槓軸的滾珠滾道槽撈起滾珠，通過螺母中，從相反側的端隙返回到絲槓軸的滾珠滾道槽的所謂端隙式的滾珠絲槓。
可是，在用計算機執行實現本發明的設計方法的程序的時候，在計算機的硬碟裝置等輔助存儲裝置中存儲程序，裝入到主存儲器中進行。此外，如此的程序，可存儲在CD-ROM等可搬型記錄介質中出售，或存儲在經由網絡連接的計算機的記錄裝置中，也能夠通過網絡傳送給其它的計算機。
B.採用迴旋曲線的數值控制方法以下，分1.三維迴旋曲線的定義和特徵、2.利用三維迴旋曲線的插補法、3.採用三維迴旋插補的數值控制方法，依次說明採用迴旋曲線的數值控制方法的發明的實施方式。
1.三維迴旋曲線的定義和特徵(1)三維迴旋的基本式迴旋曲線(Clothoid curve)，別名還稱為柯紐的螺旋(Cornu’s spiral)，是與曲線的長度成正比地變化曲率的曲線。以往已知的二維迴旋曲線，是平面曲線(二維曲線)的一種，在圖46所示的x y坐標上，用下式表示。
P=P0+0sejds=P0+h0SejdS,]]>0≤s≤h，0S=sh1]]>(1)φ＝c0+c1s+c2s2＝φ0+φvS+φuS2(2)此處，[數式74]P＝x+jy，j=-1---(3)]]>是表示曲線上的點的位置矢量，[數式75]P0＝x0+jy0(4)是其初始值(始點的位置矢量)。
ejφ＝cosφ+jsinφ (5)是表示曲線的切線方向的位置矢量(長度為1矢量)，該方向Φ從原線(x軸方向)逆時針測定。如果在該單位矢量中乘以微小長度ds積分，可求出曲線上的點P。
將沿著曲線測定的曲線的從始點的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h。用S表示用h除s的值。S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量。
迴旋曲線的特徵，如式(2)所示，在於用曲線長s或曲線變量S的二次式表示切線方向角Φ。c0、c1、c2或Φo、Φv、Φu是二次式的係數，將這些數及曲線的總長h稱為迴旋的參數。圖47表示一般的迴旋曲線的形狀。
三維擴張以上的關係，製作三維迴旋曲線的式。以往不知道給出三維迴旋曲線的式，所以發明者們最初導出其式。
按以下的式定義三維迴旋曲線。
P=P0+0suds=P0+h0SudS,]]>0≤s≤h，0S=sh1]]>(6)u=EkEj(i)=cos-sin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin]]>(7)α＝a0+a1S+a2S2(8)β＝b0+b1S+b2S2(9)此處，[數式78]P=xyz,]]>P0=x0y0z0---(10)]]>
分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值。i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量。
u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(7)給出。在式(7)中，Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，如圖48所示，分別表示k軸(z軸)系的角度β的旋轉及j軸(y軸)系的角度α的旋轉。將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉。式(7)，表示通過首先使i軸(x軸)向的單位矢量在j軸(y軸)系只轉動α，而後在k軸(z軸)系只轉動β，得到切線矢量u。
也就是，在二維時，由從x軸的傾斜角度Φ得到表示曲線的切線方向的單位矢量ejΦ。在三維時，由從傾角α及偏轉角β得到曲線的切線矢量u。如果傾角α為0，可得到以xy平面捲起的二維迴旋曲線，如果偏轉角β為0，可得到以xz平面捲起的二維迴旋曲線。如果在切線方向矢量u中乘以微小長ds積分，可得到三維迴旋曲線。
在三維迴旋曲線中，切線矢量的傾角α及偏轉角β，分別如式(8)及式(9)所示，可由曲線長變量S的二次式給出。這樣一來，能夠自由選擇切線方向的變化，並且還能在其變化中使其具有連續性。
如以上的式所示，三維迴旋曲線被定義為「是分別用曲線長變量的二次式表示切線方向的傾角及偏轉角的曲線」。
從P0開始的一個三維迴旋曲線，由[數式79]a0，a1，a2，b0，b1，b2，h (11)這7個參數確定。a0～b2的6個變量具有角度的單位，表示迴旋曲線段的形狀。與此相反，h具有長度的單位，表示迴旋曲線段的大小。
作為三維迴旋曲線的典型的例子，有圖49所示的螺旋狀的曲線。
(2)活動標架在式(7)中，如果代替基本切線方向矢量i，代入基本坐標[i、j、k]，得到下個活動標架(moving frame)E。

E=uvw=EkEj[i j k]=EkEjI=EkEj]]>=coscos-sincossinsincoscossinsin-sin0cos---(12)]]>u=coscossincos-sin,]]>v=-sincos0,]]>w=cossinsinsincos---(13)]]>此處，v及w是與曲線的切線垂直的面所含的單位矢量，相互正交，同時與切線方向單位矢量u正交。該3個單位矢量的組(三點螢光組)是與動點P一同作用的架(坐標系、標架)，將其稱為活動標架。
由於可用上式求出活動標架，所以能夠容易進行主法線、副法線的計算，容易進行曲線的形狀解析。
此外，能夠採用E求出機器人的工具點的姿勢，能夠求出由機器人手柄把持的物體的位置姿勢。
如果將E的初始值及最終值分別作為E0、E1，為[數式81]E0=Ekb0Eja0---(14)]]>E1=Ek(b0+b1+b2)Ej(a0+a1+a2)---(15)]]>(3)滾動通過考慮活動標架，能夠處理第3個旋轉「滾動(roll)」。滾動是切線方向周圍的旋轉。滾動的存在不影響三維迴旋本身的形狀，但影響三維迴旋誘導的活動標架。通過曲折的金屬細的算盤珠，能夠自由地在金屬絲的周圍旋轉，但並不是通過其改變金屬細的形狀。
在考慮滾動旋轉時，活動標架為下式。
E＝EkβEjαEiγI＝EkβEjαEiγ(16)
關於滾動角度γ，能夠作為S的函數表現。
γ＝c0+c1S+c2S2(17)(4)三維迴旋曲線的幾何學的性質(a)三維迴旋曲線的法線已知，三維曲線的法線矢量，採用切線方向u，用下式表示。
n=u||u||---(18)]]>此處，由式(7)三維迴旋曲線的切線適量的1次微分如下。
u(S)=-(S)cos(S)sin(S)+(S)sin(S)cos(S)-(S)sin(S)sin(S)+(S)cos(S)cos(S)-(S)cos(S)]]>||u(S)||=(S)2+(S)2cos2(S)]]>(19)也就是，三維迴旋曲線的法線適量，採用S，用以下的形式表示。
n(S)=u(S)||u(S)||]]>=1(S)2+(S)2cos2(S)-(S)cos(S)sin(S)-(S)sin(S)os(S)-(S)sin(S)sin(S)+(S)cos(S)cos(S)-(S)cos(S)]]>(20)(b)採用旋轉的三維迴旋曲線的法線此處，與(7)的切線u的確定同樣，也考慮一下法線n。對於初期切線方向(1，0，0)，假定採用常數γ，用(0，cosγ，-sinγ)表示初期法線方向。如果與切線相同地使其旋轉，法線n表示如下。
n(S)=cos(S)-sin(S)0sin(S)cos(S)0001cos(S)0sin(S)010-sin(S)0cos(S)0cos-sin]]>=-sincos(S)sin(S)-cossin(S)-sinsin(S)sin(S)+coscos(S)-sincos(S)]]>(21)比較(20)、(21)的式，得知，sinγ、cosγ與下記對應。
sin=(S)(S)2+(S)2cos2(S)]]>cos=(S)cos(S)(S)2+(S)2cos2(S)]]>(22)(c)三維迴旋插補中的在連接點的法線連續要達成三維迴旋插補中的在連接點的法線連續，由式(22)得出，只要[數式89]tan=(S)(S)cos(S)---(23)]]>是連續的就可以。
(d)三維迴旋曲線的曲率三維迴旋曲線的曲率，用下式表示。

(S)=||P(S)P(S)||||P(S)||=||u(S)u(S)||h=||u(S)||h---(24)]]>由式(19)得出，曲率表示為[數式91](S)=2+2cos2h---(25)]]>(5)三維迴旋曲線的特徵(a)曲線的連續性在一個迴旋曲線段(用同一參數表示的迴旋曲線)中，由於分別按曲線長或曲線長變量S的二次式給出其切線方向的傾角及偏轉角，所以關於曲線長變量S，可保證1次微分其得到的法線方向、及2次微分其得到的曲率是連續的。換句話講，在一個迴旋曲線段中，法線方向及曲率是連續的。因此，可得到流暢、性質良好的曲線。即使在連結兩個迴旋曲線的情況下，為在其接頭上切線、法線、曲率達到連續，通過選擇參數，能夠製作光滑的一根連接的曲線。將其稱為迴旋樣條。
(b)適用性由於能夠用兩個角度(傾角及偏轉角)分攤曲線的切線方向，所以能夠任意製作符合各種條件的三維曲線，能夠用於各種用途。
(c)與幾何曲線的整合性直線、圓弧、螺旋曲線等幾何曲線，能夠通過將迴旋參數的幾個置於0，或在幾個參數間設定特定的函數關係進行製作。這些曲線是迴旋曲線的一種，能夠採用迴旋的格式表現。因此，不需要像以往的NC那樣，通過直線、圓弧、自由曲線等變化所述的格式來進行處理，能夠採用相同的格式進行計算或控制。
此外，由於通過通常將α或β中的任何一種置於0，能夠製作二維迴旋，所以能夠應用以前就二維迴旋已經得到的資源。
也就是，通過適當設定α或β，包括已經知道的二維迴旋，還能夠表現圓弧或直線等個別的曲線。由於對於這樣的個別的曲線，能夠採用同一形式的三維迴旋曲線式，因此能夠簡化計算手續。
(d)推測的良好性在樣條插補等以往的插補法中，在使自由曲線數式化時，多難分開其整體的形式、或局部的形式，但在三維迴旋中，通過設想傾角及偏轉角各自，能夠比較容易把握整體形象。
此外，在作為迴旋曲線表現的中途端，線長、切線方向、曲率等的值是已知的，不需要像以往的插補法那樣重新計算。也就是，與曲線的參數S對應地，按式(7)、(20)及(26)所示，直接求出曲線的切線、或法線、曲率。這對於後述的數值控制方式是非常有效的特徵。這樣一來，能夠大幅度縮短計算時間，節省存儲器等資源，此外，能夠進行實時的插補運算。
在NC加工中，工具軌跡的最小曲率半徑是重要的問題，在樣條插補等中，要對其進行求解，需要繁雜的計算，但在迴旋中，由於一般在每個線段，最小曲率半徑的值是已知的，所以在刀具徑的選定等中是有利的。
(e)運動控制的容易性曲線的主變量是長度s或標準化的長度S，曲線的方程式用相對於該長度的自然方程式給出。因此，通過作為時間t的函數確定長度s，能夠任意給出加減速度等運動特性，通過採用以往凸輪等所用的特性良好的運動曲線，能夠謀求加工作業的高速化。由於可作為實際存在的笛卡爾空間中的值給出長度s，相對於切線方向求出速度、加速度，所以不需要像以往的插補法那樣合成按每個軸給出的值。此外，由於曲率的計算容易，因此也容易求出運動時的離心加速度，能夠進行符合運動軌跡的控制。
(6)曲線的生成和各參數的性質根據定義，三維迴旋曲線的各參數對曲線的影響如下。通過給出各參數，如圖49所示能夠生成三維迴旋曲線。
表20匯總了三維迴旋曲線的各參數的性質。
表20

2.採用三維迴旋曲線的插補法(1)流暢的連接的數學條件在1根三維迴旋曲線中，曲線的形狀表現具有界限。此處，以利用數值控制的工具的運動控制為主要目的，多根連接三維迴旋曲線(三維迴旋線段)，通過該多根三維迴旋線段控制工具的運動。
在其端點流暢地連接2根三維迴旋曲線，被定義為是連續連接端點位置、切線及曲率。採用上述的定義式，按以下敘述此條件。最初的3式表示位置的連續性，下個2式表示切線的連續性，下個1式表示法線的一致，最後的式表示曲率的連續性。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)αi(1)＝αi+1(0)βi(1)＝βi+1(0) (26)tanγi(1)＝tanγi+1(0)κi(1)＝κi+1(0)這是滿足切線矢量和法線矢量連續、曲率和α、β在連接點連續的條件，有時條件過嚴。因此，也可以按以下所示變更條件，來單一地滿足條件。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1 (27)tanγi(1)＝tanγi+1(0)κi(1)＝κi+1(0)此處，另外， cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1如果將上面的關係也考慮在內，[數式95]tanγi(1)＝tanγi+1(0)被用下記的條件置換。
tanγi(1)＝tanγi+1(0)i(1)i(1)cosi(1)=i+1(0)i+1(0)cosi+1(0)]]>∵α′i(1)β′i+1(0)＝α′i+1(0)β′i(1)結果得出，如果滿足下記的條件，能夠達到目的。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1 (28)αi′(1)βi+1′(0)＝αi+1′(0)βi′(1)κi(1)＝κi+1(0)在式(28)中，最初的3式表示位置的連續性，下個2式表示切線的連續性，下個1式表示法線的一致，最後的式表示曲率的連續性。要進行G2連續的插補，需要2根三維迴旋曲線在其端點滿足式(28)的7個條件式。
關於G2連續(G為Geometry的字頭)進行補充。圖50表示G2連續的插補的條件。
所謂G0連續指的是2根三維迴旋曲線在其端點位置一致，所謂G1連續指的是切線方向一致，所謂G2連續指的是接觸平面(法線)及曲率一致。在以下的表21中對比樣條曲線所用的C0～C2連續和本發明的迴旋曲線所用的G0～G2連續。
表21

在考慮2根三維迴旋曲線的連續性時，隨著達到C0→C1→C2、G0→G1→G2，插補條件變嚴。在C1連續中需要切線的大小及方向都一致，但在G1連續中可以只有切線方向一致。在用2根三維迴旋曲線平穩地連接切線的時候，優選用G1連續做成條件式。如樣條曲線，如果用C1連續做成條件式，由於增加使在幾何學上無關係的切線的大小一致的條件，所以條件過嚴。如果用G1連續做成條件式，具有自由設定一次微分係數的大小的優點。
在G2連續中使接觸平面(法線)一致。所謂接觸平面，如圖51所示，指的是局部含有曲線C的平面S1、S2。圖51表示在點P切線方向連續，但接觸平面S1、S2不連續的例子。在考慮三維曲線的連續性時，切線方向的一致後必須考慮的是接觸平面的一致。在議論曲率時，不意味著接觸平面不一致，需要在使接觸平面一致後使曲率一致。用2根三維曲線使坐標、切線方向、接觸平面(法線)及曲率一致達到滿足G2連續的條件。
(2)具體的計算順序具有以下2種計算順序。
(a)給出曲線的參數h、α、β，發生1根三維迴旋曲線，在其端點，以滿足式(28)的方式，確定下個三維迴旋曲線的參數。如此，能夠發生逐個流暢連接的三維迴旋曲線。根據該計算順序，容易算出曲線參數，將其稱為順解。根據此方式，能夠容易發生多種形狀的曲線，但不能明確指定曲線通過的連接點。
(b)能以預先指定的點群成為曲線的連接點的方式，連接三維迴旋曲線。此處，在每個離散地任意給出的點列的各區間做成短的迴旋曲線(迴旋線段)。在此種情況下，以滿足式(28)的方式確定曲線參數的計算順序比(a)更複雜，為重複收束計算。由於從連接條件相反地確定曲線參數，所以該計算順序稱為逆解。
關於上述(b)的逆解，詳細地敘述計算方法。要解決的計算問題，按以下被公式化。
未知參數曲線參數約束條件式(28)或其一部根據要求的問題，變化約束條件的數量，可以作為未知參數設定與之相符的數量的曲線參數。例如，在不要求曲率的連續性的情況下，能夠自由地使一部分曲線參數工作。或者，在曲率連續且指定切線方向的情況下，需要通過分割增加插補所用的三維迴旋曲線的數量，增加對應的未知曲線參數。
為了使上述重複收束計算穩定收束，需要在計算上下功夫。為了避免計算的發散，加快收束，對於未知參數，有效的方法是設定更好的初始值。因此，有效的方法是，發生滿足給出的連接點等約束條件的、更單一的插補曲線，例如線形樣條曲線等，從其曲線形狀推算三維迴旋曲線的曲線參數，作為重複收束計算的初始值。
或者，不一氣滿足應滿足的約束條件，而是依次增加條件式的方式，作為穩定得到解的方法也是有效的。例如，將曲線發生的順序分為下面的三個STEP，依次進行。作為第1 STEP在以位置信息和切線方向一致的方式插補後，作為第2 STEP以使法線方向一致的方式進行插補，在第3 STEP以曲率一致的方式插補。圖52表示該方法的簡要流程。已示出必要的三維迴旋曲線式及其切線、法線或曲率的定義式。
(3)採用三維迴旋曲線的插補法的實施例(a)插補法的流程詳細說明採用三維迴旋曲線流暢地插補給出的點列間的方法的一實施例。以下，將採用三維迴旋曲線的插補法稱為三維迴旋插補。將通過插補生成的曲線群全體稱為三維迴旋曲線，將構成其的單位曲線稱為三維迴旋線段。
作為三維迴旋插補的基本的流程，以連結插補對象的點間的三維迴旋線段的各參數作為未知數，嚴密地通過插補對象的點，並且用牛頓·拉夫申法求出滿足達到G2連續的條件的解，生成曲線。圖53是歸納該流程的概要的圖示。所謂G2連續，指的是2根三維迴旋曲線在其端點，位置、切線方向、法線方向及曲率一致。
(b)G2連續的插補的條件在三維迴旋插補中，關於嚴密地通過插補對象的點，並且成為G2連續的條件，考慮具體的條件。
現在，簡單地具有3個點P1＝{Px1、Py1、Pz1}、P2＝{Px2、Py2、Pz2}和P3＝{Px3、Py3、Pz3}，考慮用三維迴旋線段插補該點。圖54表示點P1、P2和P3的三維迴旋插補。如果將連結點P1、P2間的曲線設定為曲線C1，將連結點P2、P3間的曲線設定為曲線C2，在此種情況下，未知數為曲線C1的參數a01、a11、a21、b01、b11、b21、h1，曲線C2的參數a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2等14個。此外，以後在說明中出現的文字的下標與各曲線的下標對應。
下面考慮嚴密地通過插補對象的點，並且達到G2連續的條件。首先，在始點嚴密地通過插補對象的點的條件，如果從三維迴旋曲線的定義考慮，由於在給出始點時必然達成，所以沒有插補條件。接著在連接點P1，在位置方面成立3個，在切線矢量方面成立2個，在曲率連續的條件式的大小和方向方面成立2個，合計成立7個。此外關於終點，在點P2在位置方面是3個。由以上得出條件式合計為10個。但是，照這樣對於未知數14個，由於條件式只存在10個，所以不能求出未知數的解。因此，在本研究中，給出兩端點的切線矢量，在兩端點各增加兩個條件，使條件式和未知數的數相等。此外，如果確定在始點的切線方向，由於能夠從其定義式求出a01、b01，所以可不作為未知數處理。以下，考慮各條件。
首先，如果考慮位置的條件，由式(1-1)、(1-2)、(1-3)成立下記的3個式。(以下，規定自然數i＜3。)[數式98]Pxi+hi01cos(a0i+a1iS+a2iS2)cos(b0i+b1iS+b2iS2)dS-Pxi+1=0]]>(1-1)
Pyi+hi01cos(a0i+a1iS+a2iS2)sin(b0i+b1iS+b2iS2)dS-Pyi+1=0]]>(1-2)Pzi+hi01(-sin(a0i+a1iS+a2iS2))dS-Pzi+1=0]]>(1-3)接著，如果考慮切線方向，成立(1-4)、(1-5)2個式。
cos(a0i+a1i+a2i-a0i+1)＝1 (1-4)cos(b0i+b1i+b2i-b0i+1)＝1 (1-5)關於曲率κ的大小，成立下式(1-6)。
κi(1)-κi+1(0)＝0(1-6)最後考慮法線方向矢量n。三維迴旋曲線的法線矢量n，用式(21)表示。
此處，與三維迴旋曲線的切線矢量u的確定同樣，也採用旋轉，考慮一下法線矢量n。對於初期切線方向(1，0，0)，假定採用常數γ，用(0，cosγ，-sinγ)表示初期法線方向。如果與切線相同地使其旋轉，法線n如式(1-7)所表示。
n(S)=cos(S)-sin(S)0sin(S)cos(S)0001cos(S)0sin(S)010-sin(S)0cos(S)0cos-sin]]>=-sincos(S)sin(S)-cossin(S)-sinsin(S)sin(S)+coscos(S)-sincos(S)]]>(1-7)
比較式(21)、(1-7)，得知，sinγ、cosγ與式(1-8)對應。
sin=(S)(S)2+(S)2cos2(S)]]>cos=(S)cos(S)(S)2+(S)2cos2(S)]]>(1-8)即，由式(1-8)得知，要達成三維迴旋插補中的在連接點的法線連續，只要tanγ是連續就可以。
tan=(S)(S)cos(S)---(1-9)]]>即，得知法線連續的條件是式(1-10)。
tanγi(1)＝tanγi+1(0) (1-10)此處，另外，如果將[數式105]cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1 (1-11)考慮在內，條件式(1-10)，可用下記的條件式(1-12)置換。即，法線連續的條件是式(1-12)。
α′i(1)β′i+1(0)＝α′i+1(0)β′i(1) (1-12)綜上所述，得知，嚴密地通過插補對象點，並且達到G2連續的條件，在連接點為式(1-13)。此外，即使在始點·終點，也可以選擇其中的幾個條件。
Pxi(1)＝Pxi+1(0)Pyi(1)＝Pyi+1(0)Pzi(1)＝Pzi+1(0)cos[αi(1)-αi+1(0)]＝1cos[βi(1)-βi+1(0)]＝1 (1-13)αi′(1)βi+1′(0)＝αi+1′(0)βi′(1)κi(1)＝κi+1(0)由以上得知，對於未知數a11、a21、b11、b21、h1、a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2等12個，條件式成立下記的12個。(將點P3上的切線方向旋轉角規定為α3、β3。)[數式108]Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1α′1(1)β′2(0)＝α′2(0)β′1(1)κ1(1)＝κ2(0) (1-14)Px2(1)＝Px3(0)Py2(1)＝Py3(0)Pz2(1)＝Pz3(0)cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1這樣一來，由於對於12個未知數成立12個式，所以能夠求解。對此可用牛頓·拉夫申法解釋，求出解。
此外，一般在考慮插補n個點列時，條件式只要將上述的自然數i擴大為i＜n就可以。然後是未知數和條件式的數量的問題。
例如，在具有n-1個點列時，看作成立N個未知數和N個關係式。此處，如果假設再增加1點，未知數就增加三維迴旋線段Pn-1、Pn的7個迴旋參數a0n、a1n、a2n、b0n、b1n、b2n和hn。一方面，條件式，由於連接點增加1個，所以在點Pn-1，在位置方面增加3個，在切線矢量方面增加2個，在曲率連續的條件式的大小和方向方面增加2個，合計增加7個。
由於得知在n＝3時，未知數、關係式都是12個，所以在n≥3時，未知數為7(n-2)+5個，對此處理的式也是7(n-2)+5個。這樣一來，由於未知數和與之有關的條件的數相等，所以在n個自由點列時也能用與3點時同樣的方法求解。作為求解法，採用利用在未知數和條件式的之間成立式(1-15)、(1-16)的關係的牛頓-拉夫申法求解。(將條件設為F，未將知數設為u、將誤差雅可比矩陣設為j。)[數式109]ΔF＝[J]Δu (1-15)Δu＝[J]-1ΔF (1-16)由以上得知，對於n個點列也可進行嚴密地通過插補對象的點，並且可進行G2連續的三維迴旋插補。
(c)初始值的確定在牛頓-拉夫申法中，在開始解的探索時需要給出適當的初始值。初始值怎樣給出都可以，但此處只敘述該初始值的一例給出方式。
先行進行的研究即3D Discrete Clothoid Splines，具有嚴密地通過插補對象點，曲率相對於從始點的移動距離平穩變化的性質。因此，在本研究中，用於三維迴旋插補的初始值，通過製作如圖55的r＝4的3D DiscreteClothoid Splines的多角形Q，從此處通過計算確定。
下面，補充說明3D Discrete Clothoid Splines。首先如圖56所示，製作以插補對象的點列為頂點的多角形P，在P的各頂點間插入各相同數r個新的頂點，製作為PQ的多角形Q。此處，如果將P的頂點設定為n個，在多角形Q關閉的情況下具有r n個頂點，在多角形Q打開的情況下具有r(n-1)+1個頂點。以後規定以下標作為從始點的連續號碼，用qi表示各頂點。此外，在各頂點，作為方向確定從法線矢量b，作為大小確定具有曲率κ的矢量k。
此時，將滿足下記的頂點相互間達到等距離的式(1-17)的，曲率最接近與從始點的移動距離成正比的條件時的(使式(1-18)的函數最小化時的)多角形Q，稱為3D Discrete Clothoid Splines。
|qi-1qi|＝|qi+1qi|，(qiP)(1-17)i=1r-1||2kir+1||2,]]>i＝{0...n-1}，Δ2ki＝ki-1-2ki+ki+1(1-18)在3D Discrete Clothoid Splines中，已經求出各頂點的弗雷涅標架。因此，從其單位切線方向矢量t求出參數a0、b0。該切線方向矢量t在求出多角形Q時已經知道，通過該t和三維迴旋曲線的切線的式，求出多角形Q的頂點的切線方向旋轉角α、β。由此求出各曲線的a0、b0的初始值。此外，在從始點開始的三維迴旋線段上，給出其值。
u=coscossincos-sin---(1-19)]]>此處，關於3D Discrete Clothoid Splines，如果考慮等距離排列頂點，在圖55的點q4i+1，能夠近似於曲線長變量S是1/4。同樣在點q4(i+1)-1，能夠近似於曲線長變量S是3/4。如果與三維迴旋曲線的α的式合在一起考慮這些，成立下式(1-20)。
a04i+14a14i+(14)2a24i=a04i+1a04i+34a14i+(34)2a24i=a04(i+1)-1--(1-20)]]>此式成為未知數為a14i和a24i的二維聯立方程式，對其進行求解，作為參數a1、a2的初始值。同樣也能夠確定參數b1、b2的初始值。
其餘的未知數是曲線長h，但關於該初始值可由三維迴旋曲線的曲率的式算出。三維迴旋曲線的曲率可用式(1-21)表示。
=2+2cos2h---(1-21)]]>如果改變此式，成為式(1-22)，可確定h的初始值。
h4i=(a14i+2a24i)2+(b14i+2b24i)2cos2(a04i+a14i+a24i)4(i+1)]]>(1-22)用以上的方法，能夠對7個三維迴旋參數確定初始值。採用該確定的初始值，在(b)中敘述的達到G2連續的條件下，用牛頓-拉夫申法求出各曲線的參數的近似值。從由此得到的參數生成三維迴旋線段，用三維迴旋曲線插補點列間。
(b)插補例作為實際用以上所述的方法插補點列的例子，舉例三維迴旋插補(0.0，0.0，0.0)、(2.0，2.0，2.0)、(4.0，0.0，1.0)和(5.0，0.0，2.0)這4點的例子。圖57中示出通過插補生成的三維迴旋曲線的透視圖。圖57中的實線是三維迴旋曲線，虛線、一點劃線、二點劃線的直線，是曲線上的各點上的取大小為log(曲率半徑+自然對數e)，取方向為法線方向的曲率半徑變化模式。
另外，表22中示出各曲線的參數，此外表23示出在各切線點的坐標、切線、法線、曲率的偏斜。從這些表看出，在各切線點生成成為G2連續的三維迴旋曲線。此外，圖58是在橫軸取從始點的移動距離、在縱軸取曲率的曲率變化曲線圖。
表22各三維迴旋線段的參數

表23

(4)考慮在兩端的各值的控制的G2連續的三維迴旋插補(a)插補條件和未知數如在(3)中所述，在曲線打開的情況下，在插補對象的點有n個時，用n-1個曲線三維迴旋插補點列。如果嚴格地通過各點，關於各三維迴旋線段，由於未知數有a0、a1、a2、b0、b1、b2、h等7個，所以未知數整體為7(n-1)個。另一方面，關於條件式，由於具有n-2個的連接點都存在坐標、切線、法線、曲率的各7個和終點上的坐標的3個，所以全部為7(n-2)+3個。在(3)的方法中，通過對其給出始點·終點上的切線矢量，增加4個條件，使條件式和未知數的數相對。
此處，如果控制始點·終點上的切線·法線·曲率，並且以達到G2連續的方式插補，條件與控制兩端的切線時相比，在始點·終點，在法線·曲率方面各增加2個，合計增加4個。於是，條件式全部達到7n-3個。在此種情況下，由於未知數的數比條件少，所以不能用牛頓-拉夫申法求解。因此，需要用什麼方法增加未知數。
因此，此處，通過重新插入插補對象點使未知數和條件式的數相等。例如，如果4個未知數的一方多，插入2個新的點，作為未知數處理各點的坐標中的2個。
在此種情況下，由於連接點增加2個，所以對於各連接點條件增加坐標、切線、法線、曲率的各7個的14個。另一方面，由於未知數增加2個三維迴旋線段，所以增加a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的各7個的合計14個。由於此時點列所含的點的數為n+2個，所以如果整體考慮，未知數達到7(n+1)個，條件式達到7(n+1)+4個。此處，另外，假設作為未知數處理新插入的點的坐標中的2個，未知數就增加4個。於是，未知數、條件式都為7(n+2)-3個，能夠求出未知數的解。如此，通過插入新的點，能夠進行嚴密地通過給出的各點，G2連續的並且控制了兩端點的切線·法線·曲率的插補。
另外，也考慮一般的情況。在插補n個點列時，考慮在兩端點控制m個項目時插入的點的數和在該點作為未知數處理的坐標的數。前面也記述過，但在曲線打開時，用n-1個曲線插補點列。由於如果嚴密地通過各點，對於各三維迴旋線段，未知數就有a0、a1、a2、b0、b1、b2、h等7個，所以未知數整體有7(n-1)個。一方面，關於條件式，由於具有n-2個的連接點都存在坐標、切線、法線、曲率的各7個和終點上的坐標的3個，所以全部為7(n-2)+3個，條件式少，為4個。也就是，在兩端點要控制的項目在4個以上。以下，敘述在說明中m為4以上的自然數、k為2以上的自然數，在重新插入點時使條件式和未知數的數相等的方法。
(i)m＝2k時在兩端合在一起控制m＝2k個項目時，未知數整體為7(n-1)個，條件式整體為7(n-1)-4+2k個。此時，過剩的條件式為2k-4個。現在，如果考慮重新插入k-2個點，由於三維迴旋線段增加k-2根，連接點增加k-2個，所以未知數整體有7(n+k-3)個，條件式整體為7(n+k-3)-4+2k個。此處，另外假設作為未知數處理新插入的各點的坐標的值中的2個(例如x、y)，未知數整體為7(n+k-3)+2(k-2)個，條件式整體為7(n+k-3)+2(k-2)個，未知數和條件式的數相等。
(ii)m＝2k+1時在兩端合在一起控制m＝2k+1個項目時，未知數整體是7(n-1)個，條件式整體是7(n-1)+2k-3個。此時，過剩的條件式為2k-3個。現在，如果考慮重新插入k-1個點，由於三維迴旋線段增加k-1根，連接點增加k-1個，所以未知數整體為7(n+k-2)個，條件式整體為7(n+k-2)-3+2k個。此處，另外假設作為未知數處理新插入的各點的坐標的值中的2個(例如x、y)，未知數整體為7(n+k-2)+2(k-2)個，條件式整體為7(n+k-2)+2k-3)個，條件式的數多1個。因此，要在m＝2k+1時插入的點中的1個點上，作為未知數隻處理坐標的值中的1個。如此一來，未知數整體為7(n+k-2)+2(k-2)個，條件式整體為7(n+k-2)+2(k-2)個，未知數和條件式的數相等。
如以上所述的方法，即使在通過與追加的條件的數加在一起，調整插入的點的坐標中的成為未知數的數，控制切線、法線、曲率以外的例如切線迴旋角α時等的種種情況下，也能夠使未知數和條件式的數相對，理論上能夠控制兩端點的各值。此外，關於控制項目和未知數、條件式的數，表24列出匯總的數表24n點的插補中在兩端的控制項目和未知數、條件式的數


*k2以上的自然數(b)方法採用在始點·終點控制各值的三維迴旋的插補法，如圖59及圖60所示，按以下的流程進行。
Step1)只採用要控制的條件中的4個，進行嚴密地通過插補對象點，並且G2連續的插補，生成曲線。
Step2)在生成的曲線上插入新的點，調整條件式和未知數的數。
Step3)以Step1的曲線參數作為初始值，用牛頓-拉夫申法求出滿足目的條件的各曲線的參數的近似值。
以下，對各Step進行補充說明。首先在Step1中，只要控制切線方向，就可採用(3)的方法生成曲線。此外，即使在不控制切線方向的情況下，作為求出該曲線的參數時的初始值，也採用與(3)的方法相同的初始值。
接著，在Step2中插入新的點，進行條件式和未知數的數的調整。此時，新插入的點，在各插補對象點間儘可能地在1個以下。此外，作為插入的點，插入用連結插補對象相互間的在Step1生成的三維迴旋線段的中間的點。另外，插入的點要從兩端依次插入。也就是，最初插入的點是始點和其鄰接的點的之間、和終點和其鄰接的點的之間。
最後是關於Step3，但需要重新確定用於在Step3進行的牛頓-拉夫申法的初始值。因此，對於插入新點的曲線，採用按(1-4)所述的分割三維迴旋曲線的方法分割曲線，從生成的曲線的各值確定。對於未插入點的曲線，直接採用在Step1生成的曲線的值。以上，確定了在Step3中的曲線的各參數的初始值。採用該初始值，從用牛頓-拉夫申法得到的參數生成三維迴旋曲線，用滿足目的條件的三維迴旋曲線插補點列間。
(C)插補例示出以實際用表25的條件控制兩端的切線、法線、曲率的方式，進行三維迴旋插補的例子。向應嚴密地通過的插補對象的點分攤連續號碼，形成P1、P2和P3。
表25 插補對象各點和始點·終點的條件

*θ＝-(π/6)圖61表示在此條件下實際進行插補的結果。實線的曲線表示三維迴旋曲線，虛線·一點劃線·二點劃線·三點劃線表示各曲線的曲率半徑變化。此外，圖62是表示從與圖61的曲線的線種對應的各曲線的始點的移動距離和曲率的關係的曲線圖。由圖中看出，生成的曲線滿足表26所給出的條件。
表26 給出的值和生成的曲線的始點·終點的切線、法線、曲率的差

(d)在中間點的值的控制利用(b)的方法，繼續控制兩端點上的各值，進行G2連續的插補。此處，考慮不在兩端點而在中間點控制值。
例如在插補如圖63的點列的情況下，考慮在中間點Pc控制切線、法線。但是，在前面所述的方法中不能控制中間點上的值。因此，此處通過將該點列分為2個，控制在中間點的值。
也就是，對於點列，不是一舉地進行插補，而是夾著中間點Pc分為曲線C1和曲線C2地進行插補。在此種情況下，由於點Pc相當於端點，所以只要採用(b)的方法就能夠控制值。
如此在有要控制的值的點上分開區分，控制其兩端上的值，進行插補的結果，只要連接生成的曲線，理論上能夠進行可在各點控制切線·法線·曲率的三維迴旋插補。
(5)控制兩端點上的切線、法線、曲率的三維迴旋插補(a)方法的流程採用在始點·終點控制各值的三維迴旋的插補法，可按圖64所示的以下的流程進行。下面，沿著該流程說明。
(b-1)給出插補對象的點在本例中，給出三維空間的3點{0.0，0.0，0.0}、{5.0，5.0，10.0}、{10.0，10.0，5.0}。表27匯總列出在其它各點給出的切線、法線、曲率等的條件。
表27 插補對象各點和始點·終點的條件

(b-2)r＝4的3DDCS的生成在牛頓-拉夫申法中，在開始解的探索時需要給出適當的初始值。此處，進行得出該初始值的準備。先行的研究即3D Discrete Clothoid Splines，具有嚴密地通過插補對象點，相對於從始點的移動距離曲率平穩地變化的性質。因此，在本研究中，製作如圖65的r＝4的3D Discrete Clothoid Splines的多角形Q，從此處通過計算確定用於三維迴旋插補的初始值。此外，圖66示出實際由該點列生成的多角形，頂點的坐標列入表28。
表28 生成的多角形的頂點坐標

(b-3)初始值的確定要用牛頓-拉夫申法求解，需要確定各未知數的初始值。在本方法中，使用在(b-2)生成的多角形Q，求出各未知數的近似值，確定該值。在3D Discrete Clothoid Splines中，已經求出各頂點的弗雷涅標架。因此由在(b-2)生成的多角形Q的單位切線方向矢量t求出參數a0、b0。該切線方向矢量t在求出多角形Q時已知，通過該t和三維迴旋曲線的切線的式，求出多角形Q的頂點的切線方向迴旋角α、β。由此求出各曲線的a0、b0的初始值。此外，在從始點開始的三維迴旋線段上，給出該值。
u=coscossincos-sin]]>此處，關於3D Discrete Clothoid Splines，如果考慮頂點以等距離排列，在圖65的點q4i+1上，能夠近似於曲線長變量S是1/4。同樣在點q4(i+1)-1上，能夠近似於曲線長變量S是3/4。如果與三維迴旋曲線的α的式合在一起考慮這些，成立下式。
a04i+14a14i+(14)2a24i=a04i+1a04i+14a14i+(34)2a24i=a04(i+1)-1]]>此式成為未知數為a14i和a24i的二維聯立方程式，對其進行求解，作為參數a1、a2的初始值。同樣也能夠確定參數b1、b2的初始值。
其餘的未知數是曲線長h，但關於其初始值可由三維迴旋曲線的曲率的式算出。三維迴旋曲線的曲率，可用下記表示。
=2+2cos2h]]>如果改變此式，成為以下的式，可確定h的初始值。
h4i=(a14i+2a24i)2+(b14i+2b24i)2cos2(a04i+a14i+a24i)4(i+1)]]>用以上的方法，能夠對7個三維迴旋參數確定初始值。
表29示出實際用此法求出的初始值。
表29 初始值

(b-4)嚴密地通過各點，G2連續的三維迴旋插補採用通過(b-3)確定的初始值，在達到G2連續的條件下，用牛頓-拉夫申法求出各曲線的參數的近似值。從由此得到的參數生成三維迴旋線段，用三維迴旋曲線插補點列間。
此處，在3點的三維迴旋插補中，關於嚴密地通過插補對象點，並且達到G2連續的條件，考慮具體的條件。圖67表示點P1、P2、P3的三維迴旋插補。如果將連結點P1、P2間的曲線作為曲線C1，將連結點P2、P3間的曲線作為曲線C2，由於a01和b01是已知的，所以未知數為曲線C1的參數a11、a21、b11、b21、h1，曲線C2的參數a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2等12個。以後在說明中出現的文字的下標與各曲線的下標對應，作為曲線長變量S的函數，如Pxi、Pyi、Pzi、αi、βi、ni、κi，表示各曲線上的坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率。
首先，在點P1上嚴密地通過插補對象點的條件，如果從三維迴旋曲線的定義考慮，在給出始點時必然達成。此外，關於切線方向，由於已經作為已知的值給出，所以不特別指定在點P1上的條件。
接著，考慮點P2。點P2是曲線相互間的連接點，要達到G2連續需要位置、切線、法線、曲率連續。即在點P2上應成立的條件如下。
Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1n1(1)·n2(0)＝1κ1(1)＝κ2(0)最後考慮點P3。點P3是終點，由於應滿足的條件只是位置、切線，所以成立以下的5個條件。此處，看作α3、β3是確定在給出的終點上的切線矢量的切線方向迴旋角α、β。
Px2(1)＝Px3Py2(1)＝Py3Pz2(1)＝Pz3cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1由以上得知，對於未知數a11、a21、b11、b21、h1、a02、a12、a22、b02、b12、b22、h2等12個，條件式成立下記的12個。歸納成立的條件式如下。

Px1(1)＝Px2(0)Py1(1)＝Py2(0)Pz1(1)＝Pz2(0)cos[α1(1)-α2(0)]＝1cos[β1(1)-β2(0)]＝1n1·n2＝1κ1(1)＝κ2(0)Px2(1)＝Px3Py2(1)＝Py3Pz2(1)＝Pz3cos[α2(1)-α3]＝1cos[β2(1)-β3]＝1這樣一來，由於對於12個未知數成立12個式，所以能夠求解。用牛頓-拉夫申法求解該式，求出解。表30列出初始值和解。
表30 初始值和解

(b-5)曲線的生成圖68同時表示以在(b-4)求出的參數為基礎生成的曲線和在(b-2)生成的多角形。實線的曲線是曲線C1，虛線的曲線是曲線C2。在該階段，形成在始點·終點控制切線方向的G2連續的三維迴旋曲線。
(b-6)條件式和未知數此處，另外考慮也將始點P1和終點P3上的法線和曲率確定為表27給出的值。要在始點·終點再控制法線和曲率，需要分別2個增加始點·終點上的條件。但是，在條件增加4個的狀態下，從與未知數的關係考慮不能求出滿足該條件的解。因此，為了使未知數和條件式的數相對，如圖69所示，在曲線C1的曲線長變量S＝0.5的位置重新插入點DP1。此外，對於曲線C2，也在曲線長變量S＝0.5的位置重新插入點DP2。
此時，將連結點P1和點DP1的曲線作為曲線C』1，將連結點DP1和點P2的曲線作為曲線C』2，將連結點P2和點DP2的曲線作為曲線C』3，將連結點DP2和點P3的曲線作為曲線C』4。以後在說明中出現的文字的下標與各曲線名對應，例如作為曲線長變量S的函數，如Pxc、Pyc、Pzc、αc、βc、nc、κc，表示曲線C上的坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率。此外，在始點·終點上，在始點如Pxs、Pys、Pzs、αs、βs、ns、κs，在終點如Pxe、Pye、Pze、αe、βe、ne、κe，表示坐標、切線迴旋角α、β、法線、曲率以下說明在各點上成立的條件。
點P1切線、法線、曲率4個cos[αC′1(0)-αs]＝1cos[βC′1(0)-βs]＝1nC′1(0)·ns＝1κC′1(0)＝κs點DP1位置、切線、法線、曲率7個
PxC′1(1)＝PxC′2(0)PyC′1(1)＝PyC′2(0)PzC′1(1)＝PzC′2(0)cos[αC′1(1)-αC′2(0)]＝1cos[βC′1(1)-βC′2(0)]＝1nC′1(1)·nC′2(0)＝1κC′1(1)＝κC′2(0)點P2位置、切線、法線、曲率7個PxC′2(1)＝PxC′3(0)PyC′2(1)＝PyC′3(0)PzC′2(1)＝PzC′3(0)cos[αC′2(1)-αC′3(0)]＝1cos[βC′2(1)-βC′3(0)]＝1nC′2(1)·nC′3(0)＝1κC′2(1)＝κC′3(0)點DP2位置、切線、法線、曲率7個PxC′3(1)＝PxC′4(0)PyC′3(1)＝PyC′4(0)PzC′3(1)＝PzC′4(0)cos[αC′3(1)-αC′4(0)]＝1cos[βC′3(1)-βC′4(0)]＝1nC′3(1)·nC′4(0)＝1κC′3(1)＝κC′4(0)點P3位置、切線、法線、曲率7個
PxC′4(1)＝PxePyC′4(1)＝PyePzC′4(1)＝Pzecos[αC′4(1)-αe]＝1cos[βC′4(1)-βe]＝1nC′4(1)·ne＝1κC′4(1)＝κe以上，全部應成立的條件式是32個。此處，各曲線具有的迴旋參數是a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的各7個，並且，由於曲線為4根，所以未知數為28個。但是，照此一來，由於未知數和條件式的數不相等，所以不能求出解。因此作為未知數處理重新插入的2個點DP1、DP2的y、z坐標，增加4個未知數。通過這樣處理，未知數、條件式都為32個，能夠求出解。
(b-7)初始值的確定2為了求出滿足在(b-6)中成立的條件式的解，採用牛頓-拉夫申法，但為了提高其收束率而確定未知數的初始值。作為方法，通過如圖70所示在新插入的點的前後分割在(b-5)中生成的三維迴旋曲線，製作4根三維迴旋曲線，給出其迴旋參數。
關於曲線的分割法，如果說明將曲線C1分割成曲線C』1和曲線C』2的方法，曲線C』1的迴旋參數h』、a』0、a』1、a』2、b』0、b』1、b』2，採用曲線C1的參數，用下式表示。此處Sd是分割點上的曲線長變量，此處是0.5。
a0=a0a1=a1Sda2=a2Sd2b0=b0b1=b1Sdb2=b2Sd2h=hSd]]>
接著考慮以分割點DP1作為始點的曲線C』2。首先，如果將大小、形狀與曲線C1相同而朝向相反的曲線作為曲線C」1，該曲線的迴旋參數h」、a」0、a」1、a」2、b」0、b」1、b」2，採用曲線C1的曲線的參數，用下式表示。
pS=p(1)a0=a0+a1+a2+a1=-(a1+2a2)a2=a2b0=b0+b1+b2b1=-(b1+2b2)b2=b2h=h]]>在該曲線上，分割點DP1用DP1＝C」1(1-Sd)表示。此處，如果考慮在點DP1分割曲線C」1，以該分割的曲線中的點P2作為始點的曲線C」2，成為大小、形狀與曲線C」2相同而朝向相反的曲線。能夠利用生成曲線C』1的方法生成曲線C」2。此處，另外只要相對於曲線C」2生成大小、形狀相同而朝向相反的曲線，就能生成曲線C2。
該曲線C2的迴旋參數h」、a」0、a」1、a」2、b」0、b」1、b」2，採用曲線C0的曲線的參數，用下式表示。
a0=a0+a1Sd+a2Sd2a1=(1-Sd){a1+2a2Sd}a2=a2(1-Sd)2b0=b0+b1Sd+b2Sd2b1=(1-Sd){b1+2b2Sd}b2=b2(1-Sd)2h=h(1-Sd)]]>用以上的方法，能夠在三維迴旋曲線C1上的曲線長變量S＝0.5的點DP1，將曲線C1分割成C』1和C2。用同樣的方法，也能夠在曲線C2上的曲線長變量S＝0.5的點DP2，將曲線C2分割成C』3和C』4。
表31列出用該方法分割的4個曲線的參數。將該曲線的參數用於在求出滿足在b-6中成立的條件式的解時所用的牛頓-拉夫申法的初始值。
表31 分割生成的曲線的參數

(b-8)求出滿足條件的迴旋參數以在(b-7)中確定的初始值為基礎，用牛頓-拉夫申法求出滿足在(b-6)中成立的條件式的解。表32是算出的各曲線的參數。此外，表33中列出給出的值和生成的曲線的始點·終點的切線、法線、曲率的差。
表32 生成的曲線的參數

表33 給出的值和生成的曲線的始點·終點的切線、法線、曲率的差

(b-9)曲線的生成圖71表示通過在(b-8)中求出的參數生成的曲線。實線表示三維迴旋曲線，虛線·一點劃線·二點劃線·三點劃線，表示各曲線的方向在主法線方向，尺寸為半徑，滿足自然對數，取對數的曲率半徑變化模式。此外，圖72是表示從與圖71的線種類對應的各曲線的始點的移動距離s和曲率κ的關係的曲線圖。由圖中看出，生成的曲線滿足表33所給出的條件。
以上，說明了採用在兩端控制切線、法線、曲率的三維迴旋插補法生成曲線的例子。
3.採用三維迴旋插補的數值控制方式上述的三維迴旋插補曲線，有效地用於為了工作機械的工具或其它運動對象物的運動控制的數值控制信息的發生。其特徵在於，能夠易於速度控制，並且使速度變化平穩。
(1)採用三維迴旋插補的數值控制方式採用三維迴旋插補曲線的數值控制方式，由圖73所示的以下順序構成。
(a)工具運動軌跡的設計(圖73，S1)利用上節所述的方法，確定滿足條件的三維迴旋插補曲線。在機器人等的工具工作時，能夠考慮其工具的代表點(工具點，tool center point)，按時間沿著平面或空間地繪出的連續的軌跡曲線(包括直線)上移動。工具點的位置用坐標(x、y、z)表示，工作點的姿勢，例如用相對於x、y、z軸的旋轉角度表示。無論是怎樣複雜的工作，工具點的軌跡都不會斷斷續續，而是連續地連接。運動控制的第1階段在於按三維迴旋曲線設計該軌跡的形狀。
(b)運動曲線的吻合(圖73，S2)根據來自數值控制的要求，沿著三維迴旋插補曲線，指定曲線上的控制對象點的移動速度的分布。也就是，運動控制的第2階段，是確定沿著設計的軌跡上作用的工具點的速度·加速度。其通過工具點以怎樣的時間函數沿軌跡上作用，或確定工具點的速度·加速度來確定。工具點的速度·加速度，有時相對時間確定，有時隨著軌跡的形狀確定。一般多相對時間確定，但例如在進行曲面加工時，由於有在平坦的部分使其高速移動，在彎曲的部分使其低速移動的要求，所以隨著軌跡的形狀確定速度。
在本實施方式中，例如採用凸輪機構所用的特性良好的曲線。構成用笛卡爾空間(實際存在空間)定義的位置·姿勢連續的曲線群，但在其一個一個曲線中應用運動曲線，指定加速度。所謂笛卡爾空間，是採用在原點相互正交的x、y、z的3軸製作的三維坐標系，不僅能夠表示工具點的位置，也能表示姿勢。
(c)時間分割(圖73、S3)及利用笛卡爾坐標系的工具的位置·姿勢的計算(圖73、S3)此處，每隔計算數值控制信息的單位時間，按照控制對象指定的移動速度，算出工具點的移動位置及姿勢。由於確定了軌跡和運動，所以能作為時間t的函數給出工具點的位置·姿勢。由此，在按微小的時間間隔給出時間t時，能夠求出相對於各個時刻的工具點的變位。(c)的計算，具體按以下進行。在現在的點上，得知位置信息或切線、曲率等的值。只要在指定的移動速度乘以單位時間，就可得知單位時間中的移動曲線長，由此能計算出移動後的曲線長參數。通過該移動後的曲線長參數，能夠計算在移動後的點上的位置信息或切線、曲線等的值。
通過以上的工序，可計算相對於笛卡爾坐標系(實際存在空間)上的時間t的工具點的位置和姿勢。作為變量，在三維中為(x、y、z、γ、μ、ν、θ)。但是，(γ、μ、ν、θ)是用等價旋轉表示姿勢E的，其中(γ、μ、ν)表示等價旋轉的軸，θ表示旋轉角。
此外，根據來自數值控制的要求，求出沿著三維迴旋插補曲線，向法線方向只偏移規定尺寸的偏移點，將其作為刀具(工具中心的軌跡)。該計算因求出法線方向而變得容易。
(d)逆機構解(圖73、S5)接著，求出給出上述的工具點的位置·姿勢所需的各軸的旋轉角。該過程一般稱為逆機構解(inverse kinematics)。例如如果是6軸的機器人，由於有6個關節，所以通過多少度旋轉肩的關節、胳膊的關節、肘的關節、手腕的關節等，確定工具點的位置·姿勢。將其稱為逆機構解。逆機構解，是與其相反地從空間的位置·姿勢求出軸空間的旋轉角θ1～θ6的。各軸的傳動機構也不局限於是旋轉電機，有時也可以是線性電機等直動傳動機構，但在此時，需要將最低限度實際變位變換成線性電機的輸入脈衝數的電子傳動裝置的計算。逆機構解，是機器人等機構的每種型號固有的，對於各種機器人等要單個準備解。
(e)利用軸坐標系的各軸電機變位的計算(圖73、S6)就時間分割的各工具點求出逆機構解，作為各軸電機(包括直動傳動機構)的變位脈衝使其整數化。在不是脈衝控制的情況下，採用各軸變位的最少分解單位(分解能)，作為相當脈衝數的被整數化的數據求出。
上述(a)及(b)是準備的順序，只進行一次。(c)～(e)每隔指定的單位時間進行，一直進行到滿足目的時間或目的的條件。
在數值控制裝置中也可進行上述的全部計算，或利用另外的計算機計算及設定(a)及(b)，也能夠向數值控制裝置送入該曲線參數，在數值控制裝置內進行(c)及(e)的計算。
(2)NC裝置和CNC裝置以下，說明使用獨立的數值控制裝置(NC裝置)時的情況、和使用具有程序的作用的計算機和NC裝置被一體化的CNC裝置時的情況。
(a)在採用獨立的NC裝置時在以往的通常的NC機械中，將硬體分離成進行程序設計製作NC數據的程序裝置、和採用該NC數據使機械裝置工作的NC裝置這兩個裝置。與此相反，在最近的CNC機械中，將進行程序設計的計算機設在NC裝置內，成為被一體化的裝置。
首先，在前者的、採用獨立的裝置的情況下，提出了利用三維迴旋的數值控制方式。在此種情況下，在迴旋數據的交接中規定採用迴旋參數，在G代碼中定義迴旋的格式。這例如，如以下所示。
G***A0、A1、A2、B0、B1、B2、H此處，G***表示G代碼的號碼。A0～H表示三維迴旋線段的7個參數。在執行該代碼之前，工具來到P0的位置。在NC裝置中採用該參數，運行計算瞬時的工具位置或工具位置的差值。將該操作稱為「順解」。在NC裝置側進行順解的理由是為了防止數據的大量化，因此在NC裝置中需要進行某種的運算。通過用G代碼表現迴旋，能夠將迴旋曲線裝入已設的NC裝置中。
(b)CNC方式下面敘述具有程序的作用的計算機和NC裝置一體化的CNC裝置。在此裝情況下，有關迴旋的計算用哪部分的硬體進行不成問題。此外，數據的量或輸送的速度也正在解決。
一般，在該程序中，包含確定適合各個條件的迴旋的參數的過程。將其稱為「逆解」。在逆解中，例如，也包含給出幾個離散的點列的，計算嚴密地通過這些點的平穩的曲線程序(自由點列插補)。此外，也多包含加工上所需的工具軌跡的確定程序(所謂CAM)。
(3)採用三維迴旋插補的數值控制方式的特徵在採用三維迴旋插補的數值控制方式中，具有以下的優點。
(a)如上所述，由於以從基準點的曲線長作為獨立參數表現曲線，所以能夠生成與指定的移動速度對應的數值控制信息。在利用與曲線長無關係的獨立參數表現的樣條曲線等其它曲線上，即使算出移動後的點，也難算出與該點對應的獨立參數的值，也不易生成與指定的移動速度對應的數值控制信息。
為了詳細說明此情況，如圖74所示，考慮從用樣條曲線R(t)表現的軌跡上的點R0，以某一線速度使工具運動的情況。在每隔固定時間間隔算出工具的目標點時，可得知經過單位時間後的工具移動量ΔS，但由於自變量t不是涉及到時間或曲線長的參數，所以自變量的變化量Δt不能立即求出。由於在解R0+ΔS＝R(t0+Δt)的式時，如果不求出Δt，就不能算出目標點，所以每隔一定時間間隔必須重複該計算。
(b)在三維迴旋曲線上，期待相對於曲線長的曲率的變化方式，近似固定不變，與此對應的數值控制信息，從運動控制的觀點考慮，期待成為力學上合理的控制信息。在一般的樣條插補等中，很難預測·控制曲率的變化。
(c)三維迴旋曲線，作為其特殊情況，包含直線、圓弧、螺旋曲線等，能夠在不裝入個別的曲線式的情況下，細緻地表現相對於多種曲線的數值控制信息。
(d)三維迴旋曲線是不依賴坐標軸的設立方法的自然方程式。在用x、y、z軸表示曲線的以往的NC裝置中，例如在傾斜加工工件時，根據工件的安裝方法，有時容易加工，有時難加工。在三維迴旋曲線中，由於根據線長給出曲線，所以即使在加工斜面時，只要在斜面上做成軌跡，就能夠與加工水平面時同樣加工。
另外，在採用本發明的、用曲線長或曲線長變量的二次式給出切線方向的傾角及偏轉角各自的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，由計算機執行表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的程序時，將程序存儲在計算機的硬碟裝置等輔助記憶裝置中，裝載在主存儲器中運行。此外，如此的程序，可存儲在CD-ROM等可搬型記錄介質中出售，或存儲在經由網絡連接的計算機的記錄裝置中，也能夠通過網絡傳送給其它的計算機。此外，也能夠將利用如此的程序得出的計算結果(三維迴旋曲線的曲線參數、各軸電機的變位脈衝等)，存儲在CD-ROM等可搬型記錄介質中出售。
根據本發明的三維迴旋曲線，能夠提供一種工業製品的設計生產所需的空間曲線廣泛採用的發生方法。在物體沿著空間曲線伴隨加減速度運動的情況下，可進行約束力變化平穩的設計。其特徵可廣泛用於具有質量的機械元件的運動軌道的設計方法。本次作為設計的應用例，說明了滾珠絲槓的回歸路徑的設計方法，但除此以外，例如也能夠用於沿著上下左右彎彎曲曲的軌道上急速行走的噴射慣性動力裝置的軌道的設計方法、線性導軌等。除此以外，由於能夠相對於曲線長適當設計曲率的變化，所以可有效地用於審美的意匠曲線設計等多種產業領域。
權利要求
1.一種工業製品的設計方法，其特徵是採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計工業製品的形狀。
2.如權利要求1所述的工業製品的設計方法，其特徵是所述工業製品是包含使具有質量的機械元件運動的機構的機械，採用所述三維曲線(稱為三維迴旋曲線)設計所述機械元件的運動的軌道。
3.如權利要求2所述的工業製品的設計方法，其特徵是所述機械是作為所述機械元件包含使滾珠運動的機構的螺絲裝置；所述螺絲裝置具備在外周面具有螺旋狀的滾動體滾道槽的絲槓軸；在內周面具有與所述滾動體滾道槽對置的負荷滾動體滾道槽，同時具有連接所述負荷滾動體滾道槽的一端和另一端的回歸路徑的螺母；和排列在所述絲槓軸的所述滾動體滾道槽和所述螺母的所述負荷滾動體滾道槽的之間及回歸路徑上的多個滾動體，採用所述三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計所述螺絲裝置的所述回歸路徑。
4.如權利要求1～3中任何一項所述的工業製品的設計方法，其中按以下式定義所述三維迴旋曲線，[數式126]P=P0+0suds=P0+h0SudS,0sh,0S=sh1---(1)]]>u=EkEj(i)=cossin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin---(2)]]>α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此處，[數式127]P=xyz,P0=x0y0z0---(5)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值，將從始點的曲線的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h，用S表示用h除s的值，S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量，i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量，u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(2)給出，Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，分別表示k軸系的角度β的旋轉及j軸系的角度α的旋轉，將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉，式(2)，表示通過首先使i軸向的單位矢量在j軸系只轉動α，而後，在k軸系只轉動β，得到切線矢量u，a0、a1、a2、b0、b1、b2是常數。
5.如權利要求4所述的工業製品的設計方法，其特徵是在三維坐標內指定多個空間點，通過採用所述三維迴旋曲線插補這些空間點，設計所述工業製品的形狀。
6.如權利要求5所述的工業製品的設計方法，其特徵是以在所述多個空間點，用一個三維迴旋線段(構成通過插補生成的曲線群的單位曲線)和下個三維迴旋線段(構成通過插補生成的曲線群的單位曲線)，連接兩者的位置、切線方法、法線方向及曲率的方式，算出所述三維迴旋線段的7個參數a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
7.如權利要求6所述的工業製品的設計方法，其特徵是指定所述多個空間點中的始點及終點的切線方向、法線方向及曲率，在預先指定的所述空間點間重新插入插補對象，從而，使將所述始點及所述終點的切線方向、法線方向及曲率的條件式、和用所述多個空間點上的一個三維迴旋線段和下個三維迴旋線段使兩者的位置、切線方向、法線方向及曲率連續的條件式進行加運算的條件式的數，與所述三維迴旋線段的7個參數a0、a1、a2、b0、b1、b2、h的未知數一致；通過使條件式和未知數的數一致，算出所述三維迴旋線段的7個參數a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
8.一種工業製品，用如權利要求1～7中任何一項所述的工業製品的設計方法設計。
9.一種程序，用於為了設計工業製品的形狀，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計工業製品的形狀的手段而發揮作用。
10.一種計算機可讀取的記錄介質，在其上記錄程序，該程序用於為了設計工業製品的形狀，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計工業製品的形狀的手段而發揮作用。
11.一種數值控制方法，其中，採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀，通過該三維曲線控制工具的運動。
12.如權利要求11所述的數值控制方法，其中按以下式定義三維迴旋，[數式128]P=P0+0suds=P0+h0SudS,0sh,0S=sh1---(1)]]>u=EkEj(i)=cos-sin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin---(2)]]>α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此處，[數式129]P=xyz,P0=x0y0z0---(5)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值，將從始點的曲線的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h，用S表示用h除s的值，S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量，i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量，u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(2)給出，Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，分別表示k軸系的角度β的旋轉及j軸系的角度α的旋轉，將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉，式(2)，表示通過首先使i軸向的單位矢量在i軸系只轉動α，而後，在k軸系只轉動β，得到切線矢量u，a0、a1、a2、b0、b1、b2是常數。
13.一種數值控制裝置，其中，採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀，通過該三維曲線控制工具的運動。
14.一種程序，用於為了數值控制工具的運動，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的手段而發揮作用。
15.一種計算機可讀取的記錄介質，在其上記錄程序或由該程序得出的計算結果，該程序用於為了數值控制工具的運動，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的手段而發揮作用。
16.一種數值控制方法，其中，採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(三維迴旋線段)，插補在三維坐標內任意給出的點列間，通過該三維迴旋線段控制工具的運動。
17.一種數值控制方法，其中，將切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(三維迴旋線段)連接多根，通過該多根三維迴旋線段控制工具的運動。
18.如權利要求16或17所述的數值控制方法，其中按以下式定義三維迴旋曲線，[數式130]P=P0+0suds=P0+h0SudS,0sh,0S=sh1---(1)]]>u=EkEj(i)=cos-sin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincossin---(2)]]>α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此處，[數式130]P=xyz,P0=x0y0z0---(5)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值，將從始點的曲線的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h，用S表示用h除s的值，S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量，i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量，u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(2)給出，Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，分別表示k軸系的角度β的旋轉及j軸系的角度α的旋轉，將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉，式(2)，表示通過首先使i軸向的單位矢量在j軸系只轉動α，而後，在k軸系只轉動β，得到切線矢量u，a0、a1、a2、b0、b1、b2是常數。
19.如權利要求18所述的數值控制方法，其特徵是在一個三維迴旋線段和下個三維迴旋線段的接頭上，以兩者的位置、切線方向(及根據情況曲率)連續的方式，算出所述三維迴旋線段的7個參數a0、a1、a2、b0、b1、b2、h。
20.一種數值控制裝置，其中，採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維迴旋線段，插補在三維坐標內任意給出的點列間，通過該三維迴旋線段控制工具的運動。
21.一種程序，用於為了數值控制工具的運動，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維迴旋線段，插補在三維坐標內任意給出的點列間的手段而發揮作用。
22.一種計算機可讀取的記錄介質，在其上記錄程序或由該程序得出的計算結果，該程序用於為了數值控制工具的運動，使計算機作為採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維迴旋線段，插補在三維坐標內任意給出的點列間的手段而發揮作用。
23.一種數值控制方法，其中採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀；指定沿著所述三維曲線移動的工具的運動；按照指定的運動，按每單位時間算出工具的移動位置，此處，所謂運動指的是作為時間的函數變化的位置信息。
24.如權利要求23所述的數值控制方法，其中按以下式定義三維迴旋曲線，[數式132]P=P0+0suds=P0+h0SudS,0sh,0S=sh1---(1)]]>u=EkEj(i)=cos-sin0sincos0001cos0sin010-sin0cos100=coscossincos-sin---(2)]]>α＝a0+a1S+a2S2(3)β＝b0+b1S+b2S2(4)此處，[數式133]P=xyz,P0=x0y0z0---(5)]]>分別表示三維迴旋曲線上的點的位置矢量及其初始值，將從始點的曲線的長度設為s，將其總長(從始點到終點的長度)設為h，用S表示用h除s的值，S是無綱量的值，將其稱為曲線長變量，i、j、k分別是x軸、y軸及z軸方向的單位矢量，u是表示點P上的曲線的切線方向的單位矢量，由式(2)給出，Ekβ及Ejα是旋轉矩陣，分別表示k軸系的角度β的旋轉及j軸系的角度α的旋轉，將前者稱為偏轉(yaw)旋轉，將後者稱為傾斜(pitch)旋轉，式(2)，表示通過首先使i軸向的單位矢量在j軸系只轉動α，而後，在k軸系只轉動β，得到切線矢量u，a0、a1、a2、b0、b1、b2是常數。
25.一種數值控制裝置，其中採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀；指定沿著所述三維曲線移動的工具的運動；按照指定的運動，按每單位時間算出工具的移動位置，此處，所謂運動，指的是作為時間函數變化的位置信息。
26.一種程序，用於為了數值控制工具的運動，而使計算機作為以下手段發揮作用採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維回曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的手段；指定沿著所述三維曲線移動的工具的運動的手段；按照指定的運動，按每單位時間算出工具的移動位置的手段，此處，所謂運動，指的是作為時間函數變化的位置信息。
27.一種計算機可讀取的記錄介質，在其上記錄程序或由該程序得出的計算結果，該程序用於為了數值控制工具的運動，而使計算機作為以下手段發揮作用採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維回曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀的手段；指定沿著所述三維曲線移動的工具的運動的手段；按照指定的運動，按每單位時間算出工具的移動位置的手段，此處，所謂運動，指的是作為時間函數變化的位置信息。
全文摘要
A.採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，設計機械元件的運動的軌道。B.採用切線方向的傾角及偏轉角分別由曲線長或曲線長變量的二次式給出的三維曲線(稱為三維迴旋曲線)，表現工具軌跡或工件的輪廓形狀，通過該三維曲線控制工具的運動。
文檔編號G05B19/41GK1934512SQ20058000605
公開日2007年3月21日 申請日期2005年2月14日 優先權日2004年2月27日
發明者木村文彥, 牧野洋, 松尾芳一 申請人:Thk株式會社