一種巡航飛彈航路二階平滑方法與流程
2023-06-17 08:05:36 2
本發明涉及航路平滑及跟蹤控制技術領域，特別涉及一種巡航飛彈航路二階平滑方法。
背景技術：
巡航飛彈是現代戰爭中實施精確對地打擊的一種「殺手鐧」武器，航路規劃是其實現地形遮蔽和威脅規避，提高突防概率的有效手段。
現有的航路規划算法多採用空間航路點表示飛行航路，相鄰航路點之間直接用直線段連接。由於巡航飛彈動力學性能的限制和運動學特性的約束，巡航飛彈無法精確、穩定地跟蹤這種折線形式的航路，因此必須進行航路平滑。目前，最為簡單和常用的航路平滑方法是圓弧線連接法。但是，這種由圓弧線和直線構成的航路在連接點處的曲率是突變的，當巡航飛彈進行航路跟蹤時，在兩種航路之間切換的過程中需要從一種運動狀態快速轉向另一種運動狀態，需用過載變化劇烈，飛彈運動狀態不能立刻適應航路跟蹤的需求，從而產生較大的航路跟蹤誤差，同時控制機構的突變也會導致彈體的不穩定。作為航路可飛性的重要保證，航路平滑的目的是對初始航路的拐彎處進行平滑處理，為巡航飛彈生成滿足最大曲率約束、且曲率連續的平滑航路。其中最大曲率約束要求航路上每一點的曲率半徑均大於飛彈的最小轉彎半徑；而曲率連續則包含兩個方面：一是航路曲線的一階平滑，即飛彈速度能夠平滑過渡；二是航路曲線的二階平滑，即飛彈加速度能夠平滑過渡。
技術實現要素：
本發明的目的就是克服現有技術的不足，提供了一種巡航飛彈航路二階平滑方法，解決了巡航飛彈航路精確跟蹤的問題。
本發明一種巡航飛彈航路二階平滑方法，包括：對稱極多項式曲線航路平滑，飛彈運動方程反饋線性化以及設置最優控制器。
進一步的，所述對稱極多項式曲線航路平滑對飛彈初始折線航路進行平滑；
平面上的一條對稱極多項式曲方程為
其中，(r,φ)為極坐標，R為曲線端點處的極徑長，Φ為曲線的兩個端點處的極徑之間的夾角；
由(1)式可知，r(φ)＝r(Φ-φ)，曲線r＝r(φ)關於φ＝Φ/2對稱，點(r,φ)處的切線的方向角α和曲率κ分別為
其中r′和r″分別為極徑r對極角φ的一階導數和二階導數，由(1)式可得
將φ＝0和φ＝Φ分別代入(1)、(4)和(5)式，並根據(3)式可知，κ(0)和κ(Φ)均為零，則對稱極多項式曲線與直線連接時，整條曲線滿足曲率連續的條件。
進一步的，所述飛彈運動方程反饋線性化的具體過程如下：
三維空間中的巡航飛彈運動可用如下的仿射非線性系統描述
其中：狀態向量x＝[x y z V ψ θ]T，(x,y,z)為巡航飛彈在慣性坐標系中的位置；V、ψ和θ分別為巡航飛彈的速度、彈道偏角和彈道傾角；控制向量u＝[nx ny nz]T，nx、ny和nz分別為巡航飛彈過載在彈道坐標系各軸上的分量；f(x)和G(x)分別為
因系統(6)是可全狀態反饋線性化的，則可以通過微分同胚
和狀態反饋變換
v＝α(x)+β(x)u (9)
式中，
使得系統(6)轉換為如下的線性系統
式中，03×3表示3階零矩陣；I3×3表示3階單位矩陣。
進一步的，所述設置最優控制器的具體過程如下：
巡航飛彈航路跟蹤問題可以歸結為對隨時間變化的期望位置，即期望軌跡的跟蹤問題；那麼，解決的關鍵問題就是為巡航飛彈設計跟蹤控制器使得
其中，p(t)＝[x(t) y(t) z(t)]T為飛彈的實際位置；pd(t)＝[xd(t) yd(t) zd(t)]T為其期望位置；
定義跟蹤誤差e＝[xe(t) ye(t) ze(t)]T為慣性坐標系下飛彈當前位置和期望位置之差，即
e＝p-pd (12)
對上式分別求一階導數和二階導數，並代入(8)式作變量代換，則反饋線性化後的巡航飛彈運動方程(9)就轉換為以跟蹤誤差e和相對速度誤差表示的形式，即
將(12)式描述為狀態空間形式，有
式中：為系統狀態向量；v為線性化後的飛彈控制向量；中的各項表示虛擬飛彈的加速度在慣性坐標系各個坐標軸上的分量；
對於跟蹤誤差系統(13)，由於存在擾動項控制器的設計相對複雜；令將系統的擾動轉化為輸入端的擾動，則系統(13)簡化為
由於系統(13)中x，y，z三個通道是相互獨立的，為簡化求解過程，可以為三個通道分別設計控制器，則系統(14)就轉化為三個獨立的系統
其中，i分別表示x，y，z三個通道；
根據最優控制理論，對於二次型性能指標
式中，為狀態調節矩陣；ri>0為控制能量權係數；末端時刻tf固定且為有限值；
由於系統(15)可控，最優控制量取為
其中，Pi(t)為二階正定對稱陣，滿足黎卡提方程
根據(17)式，將三個通道的方程結合在一起可得由可得：
再由表示u和v之間的變換關係的(8)式，可得原非線性系統(6)的控制量：
本發明的有益效果為：採用對稱極多項式作為航路平滑的曲線，實現了航路的二階平滑；通過反饋線性化方法，實現了飛彈運動方程的精確線性化；通過三個通道最優控制器的設計，實現了對平滑後航路的穩定跟蹤。通過以上三個步驟，本發明提出的巡航飛彈航路二階平滑方法可有效解決航路的精確跟蹤問題。
附圖說明
圖1所示為對稱極多項式曲線。
圖2所示為本發明實施例三維航路平滑示意圖。
圖3所示為本發明實施例平滑段航路水平投影圖。。
圖4所示為本發明實施例航路曲率變化曲線。
圖5所示為初始折線航路跟蹤軌跡圖。
圖6所示為圓弧線航路跟蹤軌跡圖。
圖7所示為對稱極多項式曲線航路跟蹤軌跡圖。
圖8所示為初始折線航路法向過載變化圖。
圖9所示為圓弧線航路法向過載變化圖。
圖10所示為對稱極多項式曲線航路法向過載變化圖。
圖11所示為跟蹤距離誤差圖。
具體實施方式
下文將結合具體附圖詳細描述本發明具體實施例。應當注意的是，下述實施例中描述的技術特徵或者技術特徵的組合不應當被認為是孤立的，它們可以被相互組合從而達到更好的技術效果。在下述實施例的附圖中，各附圖所出現的相同標號代表相同的特徵或者部件，可應用於不同實施例中。
本發明實施例一種巡航飛彈航路二階平滑方法，包括以下步驟：
步驟一：對稱極多項式曲線的求解
平面上的一條對稱極多項式曲線如圖1所示，其中O為極點，OA為極軸，(r,φ)為極坐標，R為曲線端點處的極徑長，Φ為曲線的兩個端點處的極徑之間的夾角，則如圖1所示的對稱極多項式曲線的方程為
由(21)式可知，r(φ)＝r(Φ-φ)，曲線r＝r(φ)關於φ＝Φ/2對稱，點(r,φ)處的切線的方向角α和曲率κ分別為：
式中r′和r″分別為極徑r對極角φ的一階導數和二階導數，由(21)式可得：
將φ＝0和φ＝Φ分別代入(21)、(24)和(25)式，並根據(23)式可知，κ(0)和κ(Φ)均為零，則對稱極多項式曲線與直線連接時，整條曲線滿足曲率連續的條件。同時，對(23)式求導，得到曲率對極角的變化率為
其中r″′為極徑r對極角φ的三階導數，可由r″求導得到
則由極值定理和曲線的對稱性可知，當φ＝Φ/2，曲率κ取得最大值
前面已證明，以對稱極多項式曲線為平滑曲線時，航路曲率能夠連續變化。接下來的問題就是在三維空間中，如何確定該曲線的參數R及φ。
如圖2所示，PiPi+1、Pi+1Pi+2是待平滑的相鄰航路段，Pi、Pi+1和Pi+2在慣性系中的坐標分別為(xi,yi,zi)、(xi+1,yi+1,zi+1)和(xi+2,yi+2,zi+2)。採用對稱極多項式曲線對其進行平滑處理，首先定義巡航飛彈曲線運動的平面為PiPi+1、Pi+1Pi+2所在直線確定的平面，則該平面的單位法向量bp為
其中||·||表示向量的模。
以Pi為坐標系原點，為切向量、bp為副法向量，並通過右手定則得到主法向量np＝bp×tp，建立曲線運動坐標系fp，該坐標系可表示為
fp＝[tp np bp] (31)
在曲線運動坐標系fp下，航路點Pi的坐標值為(0,0,0)。根據坐標系fp和慣性坐標系之間的轉換關係，可以得到航路點Pi+1、Pi+2在坐標系fp中的坐標值分別為：
由於Pi、Pi+1和Pi+2均在tp、np構成的平面內，因此和均為0，則在該平面內，求解連接(0,0)、和三點的對稱極多項式曲線，然後再將曲線轉換到慣性坐標系中，即可解決三維航路平滑問題。
為簡化表達，在不引起混淆的情況下，將(0,0)、和分別表示為p0(0,0)、p1(x1,y1)和p2(x2,y2)，則p0p1和p1p2之間的夾角β滿足
根據(22)式可知，對稱極多項式曲線的兩個端點處的切線與極徑的夾角均為π/2，則對稱極多項式曲線的參數Φ為
Φ＝π-β (35)
由於巡航飛彈機動性能的限制，巡航飛彈機動運動時有一個最小轉彎半徑rmin的限制，因此平滑航路的曲率半徑必須大於或等於rmin，即
為使平滑後航路與初始航路之間的偏差儘可能的小，選擇κmax＝1/rmin，則
至此，我們就獲得了平面極坐標系中的多項式曲線的方程。而要將曲線從極坐標系轉換到慣性坐標系中，需要獲得極坐標系的極點和極軸等參數。計算可得如圖2所示的切點A、切點B和極點O的坐標分別為
則經過坐標轉換即可獲得對稱極多項式曲線在巡航飛彈曲線運動坐標系fp中的坐標，然後將曲線轉換到慣性坐標系中，即可獲得三維空間中的平滑航路。進而通過積分計算對稱極多項式曲線的弧長為
步驟二：飛彈運動方程線性化
三維空間中的巡航飛彈運動可用如下的仿射非線性系統描述
其中：狀態向量x＝[x y z V ψ θ]T，(x,y,z)為巡航飛彈在慣性坐標系中的位置；V、ψ和θ分別為巡航飛彈的速度、彈道偏角和彈道傾角；控制向量u＝[nx ny nz]T，nx、ny和nz分別為巡航飛彈過載在彈道坐標系各軸上的分量；f(x)和G(x)分別為
因系統(41)是可全狀態反饋線性化的，則可以通過微分同胚
和狀態反饋變換
v＝α(x)+β(x)u (44)
式中，
使得系統(41)轉換為如下的線性系統
式中，03×3表示3階零矩陣；I3×3表示3階單位矩陣。
步驟三：最優控制器的設計
巡航飛彈航路跟蹤問題可以歸結為對隨時間變化的期望位置，即期望軌跡的跟蹤問題。那麼，本文所要解決的關鍵問題就是為巡航飛彈設計跟蹤控制器使得
其中，p(t)＝[x(t) y(t) z(t)]T為飛彈的實際位置；pd(t)＝[xd(t) yd(t) zd(t)]T為其期望位置。
定義跟蹤誤差e＝[xe(t) ye(t) ze(t)]T為慣性坐標系下飛彈當前位置和期望位置之差，即
e＝p-pd (47)
對上式分別求一階導數和二階導數，並代入(43)式作變量代換，則反饋線性化後的巡航飛彈運動方程(44)就轉換為以跟蹤誤差e和相對速度誤差表示的形式，即
將(47)式描述為狀態空間形式，有
式中：為系統狀態向量；v為線性化後的飛彈控制向量；中的各項表示虛擬飛彈的加速度在慣性坐標系各個坐標軸上的分量。
對於跟蹤誤差系統(48)，由於存在擾動項控制器的設計相對複雜。令將系統的擾動轉化為輸入端的擾動，則系統(48)簡化為
由於系統(48)中x，y，z三個通道是相互獨立的，為簡化求解過程，可以為三個通道分別設計控制器，則系統(49)就轉化為三個獨立的系統
其中，i分別表示x，y，z三個通道。
根據最優控制理論，對於二次型性能指標
式中，為狀態調節矩陣；ri>0為控制能量權係數；末端時刻tf固定且為有限值。
由於系統(50)可控，最優控制量取為
其中，Pi(t)為二階正定對稱陣，滿足黎卡提方程
根據(52)式，將三個通道的方程結合在一起可得由可得：
再由表示u和v之間的變換關係的(43)式，可得原非線性系統(41)的控制量：
下面結合具體實例及附圖對本發明做進一步描述：
針對三維空間的航路點P1(0,500,200)、P2(1000,500,100)和P3(2000,1000,250)，分別採用圓弧線和對稱極多項式曲線進行航路平滑，並進行航路跟蹤仿真。巡航飛彈初始位置位於P1點，初始速度方向指向P2點，最小轉彎半徑為1km，速度變化範圍為[220,300]m/s，三個控制通道的慣性時間常數均為0.9s，虛擬飛彈的速度為260m/s。
圖3分別給出了兩種方法的平滑航路的局部水平投影，圖4給出了兩條航路的曲率曲線。從圖中可以看出，對稱極多項式曲線的曲率按照0→最大值→0的規律變化，能夠實現與初始折線航路的二階平滑過渡，符合巡航飛彈的動力學特性；同時，由於在求解對稱極多項式的過程中能夠得到曲率最大值的顯式表達式，進而對航路曲線最大曲率進行限制，所生成的平滑航路能夠保證滿足巡航飛彈機動性能的約束。
圖5-7分別給出了初始折線航路、圓弧線航路和對稱極多項式航路上的實際跟蹤軌跡；圖8-10給出了法向過載變化曲線；圖11給出了航路跟蹤距離誤差。
在初始航路和圓弧線連接航路上，由於巡航飛彈無法提供航路精確跟蹤的需用過載，在航路的切換過程中產生了較大的軌跡跟蹤誤差。與之相比，在基於對稱極多項式曲線的平滑航路上，由於航路平滑的過程中考慮到過載的約束和變化特性，在航路的過渡段巡航飛彈能夠提供軌跡跟蹤所需過載，且能夠獲得虛擬飛彈的位置、速度和加速度等信息，在非線性最優控制器的作用下能夠保持對虛擬飛彈的穩定跟蹤，使得巡航飛彈沿期望航路飛行。
本發明的有益效果為：採用對稱極多項式作為航路平滑的曲線，實現了航路的二階平滑；通過反饋線性化方法，實現了飛彈運動方程的精確線性化；通過三個通道最優控制器的設計，實現了對平滑後航路的穩定跟蹤。通過以上三個步驟，本發明提出的巡航飛彈航路二階平滑方法可有效解決航路的精確跟蹤問題。
本文雖然已經給出了本發明的幾個實施例，但是本領域的技術人員應當理解，在不脫離本發明精神的情況下，可以對本文的實施例進行改變。上述實施例只是示例性的，不應以本文的實施例作為本發明權利範圍的限定。