中考數學動點運動軌跡題型（求動點運動路徑長方法有講究）

2023-10-11 15:41:29

近年來以幾何圖形的運動為載體，求幾何圖形在運動過程中，圖形上某一動點所經過的路徑的長度在各類幾何試卷中頻頻出現。解決這類問題時，首先要弄清點在運動過程中，其路徑的形狀是什麼圖形，計算出動點運動的起點和終點，再根據相關計算公式計算出路徑的長度。

類型1 路徑為線段

例1．（2018秋•江漢區校級月考）如圖，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，點D是AB上一點，以CD為邊作等邊△CDE，使A、E位於BC異側．當D點從A點運動到B點，E點運動的路徑長為（ ）

A．3B．2√2C．3√2D．3√3

【分析】如圖，作等邊三角形△BCH，連接EH．由△DCB≌△ECH（SAS），推出BD＝EH，可得點E的運動軌跡＝線段AB的長＝3；

【解答】如圖，作等邊三角形△BCH，連接EH．

∵△CDE，△BCH都是等邊三角形，

∴∠DCE＝∠BCH，∴∠DCB＝∠ECH，

∵CD＝CE，CB＝CH，∴△DCB≌△ECH（SAS），∴BD＝EH，

∴點E的運動軌跡＝線段AB的長＝3，故選：A．

【點評】本題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，軌跡等知識，解題的關鍵是正確尋找點E的運動軌跡，屬於中考常考題型．

例2．（2018秋•東營區校級月考）如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC於點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長為_______

【分析】連接OC，OM、CM，如圖，利用斜邊上的中線性質得到OM＝1/2PQ，CM＝1/2PQ，則OM＝CM，於是可判斷點M在OC的垂直平分線上，則點M運動的軌跡為△ABC的中位線，然後根據三角形中位線性質求解．

【解答】如圖，連接OC，OM、CM，

∵M為PQ的中點，∴OM＝1/2PQ，CM＝1/2PQ，∴OM＝CM，

∴點M在OC的垂直平分線上，∴點M運動的軌跡為△ABC的中位線，

∴點M所經過的路線長＝1/2AB＝1．故答案為1．

【點評】本題考查了軌跡：通過計算確定動點在運動過程中不變的量，從而得到運動的軌跡．也考查了等腰直角三角形的性質．

例3．（2018秋•贛榆區期中）如圖，線段AB上有C、D兩點，AB＝6，AC＝BD＝1，點P是線段CD上的一個動點，分別以PA、PB為斜邊在線段AB的同側作等腰直角三角形MAP和等腰直角三角形NBP，連接MN，當點P從點C運動到點D的過程中，△PMN的外接圓圓心經過的路程是_______．

【分析】分別延長AM、BN交於點F，易證△MPN是直角三角形，即△PMN的外接圓圓心是MN的中點O，由於四邊形MPNF為平行四邊形，得出O為PF中點，設點P從距離A點1cm處C沿AB向右運動至距離B點1cm處N，則O的運行軌跡為△CDF的中位線GH．運用中位線的性質求出GH的長度即可．

【解答】如圖，分別延長AM、BN交於點F．

∵△AMP和△PNB都是等腰直角三角形，且∠AMP＝∠BNP＝90°

∵∠A＝∠APM＝∠BPN＝∠B＝45°，

∴∠MPN＝90°，∴△MPN是直角三角形，

∴△PMN的外接圓的圓心是MN的中點O，

∵∠A＝∠BPN，∴AF∥PN，

同理，PM∥BN，∴四邊形MPNF為平行四邊形，∴PF與MN互相平分．

∵O為MN的中點，

∴O為PF中點，即在P的運動過程中，O始終為FP的中點，所以O的運行軌跡為三角形FCD的中位線G，．

∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，

∴GH＝1/2CD＝2，即，△PMN的外接圓圓心經過的路程是2．

故答案為：2．

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質、三角形中位線的性質、平行四邊形的判定和性質，以及動點問題，是中考的熱點，解題的關鍵是正確尋找點R的運動軌跡，屬於中考填空題中的壓軸題．

類型2 路徑為圓弧

例4.（2018秋•江都區校級月考）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點，過P點作PE⊥OC於點E，設△OPE的內心為M，連接OM、PM．當點P在半圓上從點B運動到點A時，內心M所經過的路徑長為_______．

【分析】分兩種情況，當點M在扇形BOC和扇形AOC內，先求出∠CMO＝135°，進而判斷出點M的軌跡，再求出∠OO'C＝90°，最後用弧長公式即可得出結論．

【解答】∵△OPE的內心為M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，

∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，

∴∠PMO＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE）＝180°﹣1/2（180°﹣90°）＝135°，

如圖，∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，

∴△OPM≌△OCM（SAS），∴∠CMO＝∠PMO＝135°，

所以點M在以OC為弦，並且所對的圓周角為135°的兩段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；點M在扇形BOC內時，過C、M、O三點作⊙O′，連O′C，O′O，

在優弧CO取點D，連DA，DO，

∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，

∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，

【點評】本題考查了弧長的計算公式，三角形內心的性質、三角形全等的判定與性質、圓周角定理和圓的內接四邊形的性質，解題的關鍵是正確尋找點M的運動軌跡，屬於中考選擇題中的壓軸題．

例5.（2018秋•柯橋區期中）如圖，一塊∠BAC為30°的直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，點E在量角器的圓弧邊緣處從A到B運動，連接CE，交直徑AB於點D．

（1）當點E在量角器上對應的刻度是90°時，則∠ADE的度數為_____ ；

（2）若AB＝8，P為CE的中點，當點E從A到B的運動過程中，點P也隨著運動，則點P所走過的路線長為______

【分析】（1）連接OE．根據∠ACE＝1/2∠AOE＝45°，∠ADE＝∠A ∠ACE求解即可；

（2）連接OP，設OC的中點為O′．由PE＝PC，推出OP⊥EC，推出∠OPC＝90°，推出點P的運動軌跡是以OC為直徑的半圓，由此即可解決問題；

【解答】（1）如圖，連接OE．

∵直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，∴點A，E，B，C共圓，

∵點E對應的刻度是90°，∴∠AOE＝90°，

∴∠ACE＝1/2∠AOE＝45°，∴∠ADE＝∠A ∠ACE＝75°．故答案為75°．

（2）連接OP，設OC的中點為O′．

∵PE＝PC，∴OP⊥EC，∴∠OPC＝90°，

∴點P的運動軌跡是以OC為直徑的半圓，

∵OC＝1/2AB＝4，∴OO′＝1/2OC＝2，

∴點P的運動路徑的長為π•2＝2π，故答案為2π

【點評】本題考查軌跡，圓周角定理，垂徑定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會正確尋找點的運動軌跡，屬於中考常考題型．

方法總結：在點的運動中，點的位置在不斷變化，由此引發的是許多線段的長度和位置也隨之改變，而解決數學問題則需要在這個變化過程中，尋找其變化規律以及不隨點的運動而改變的性質。

中考中關於點的運動軌跡形狀，通常有兩種可能，一是軌跡是線段，如在坐標系中只要求出兩端點的坐標就可求得路徑長；二是軌跡為圓弧，此時先確定圓弧所在圓心半徑，再確定圓心角就可利用弧長公式求得路徑長，