學習數學和數學史有什麼重要意義（人為什麼要學數學）

2023-10-09 19:08:20

人為什麼要學數學？其實很多人並不清楚，甚至存在許多認識誤區．有學生認為，「數學除了買東西的時候有點用，考試的時候有點用，沒有多大的實際用途．」還有學生認為，「學數學一切為了高考，沒有高考就沒有人會學這些沒有用的東西．」其實，數學是一個意義的領域．

1 數學意義——科學的立場

1.1 時代的特徵

數學一直是形成人類文化的主要力量，通過數學這面鏡子可以了解一個時代的特徵．例如，由於古希臘數學家強調嚴密的推理，他們關心的並不是這些成果的實用性，而是教育人們去進行抽象的推理，激發人們對理想和美的追求．所以，古希臘創造了後世很難超越的優美文學，理性化的哲學，以及理想化的建築與雕刻．中國古代數學崇尚實用，最大的缺點是缺少嚴格求證的思想．這也就不難理解為什麼古代中國缺乏理性思維了，不難解釋「李約瑟難題」：近代自然科學為何不發生在中國？其實，問題的癥結在數學．因為，「數學和各種科學假說的數學化已經成為近代科學的脊梁骨」[1]．一個時代的特徵與這個時代的數學活動密切相關．17世紀以來，由於微積分的創立，藉助微積分工具在尋求自然規律方面所取得的成功遠遠超出了天文學的領域．19 世紀，由於把微積分這個工具改進為嚴格的分析體系，使數學物理強有力的理論成為可能，這些理論最終導致了量子力學、相對論的誕生，使人們對物質和空間的基本性質有更深的了解．20 世紀 50 年代，數學的發展創造了計算機，數學從科學的幕後走向臺前，數位化深入到了人類幾乎所有的活動，人類歷史進入了一個嶄新的資訊時代．

1.2 美妙的樂章

數學是一座險峻的高山，其險峻背後隱藏著美麗的風景．數學能像音樂一樣，給人以巨大的心靈震撼．羅素在自傳中這樣寫道：「我 11 歲時，我開始學習歐幾裡得幾何學，哥哥做我的老師，這是我生活中的一件大事，就像初戀一樣令人陶醉．我從來沒有想像到世界上還有如此美妙的東西．」[2]眾所周知，高斯把數學置於科學之巔，希爾伯特則把數學看作「一幢出奇的美麗又和諧的大廈」．在人們的印象中，數學與藝術很少有共同之處，雖然它們都是人類智慧的結晶．然而，數學始終默默地伴隨著藝術，為它提供豐富的靈感之源和堅實的創作支柱．我們可以毫不費力地發現，數學能產生藝術的靈感，藝術也能使數學產生靈感．從斐波那契數列和圓周率的小數位數字，到四面體和麥比烏斯帶，都可以作為藝術家創作的靈感．音樂是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受．法國數學家傅立葉甚至證明了：所有的聲音，無論是噪音還是儀器發出的聲音，複雜的還是簡單的聲音，都可以用數學方式進行全面的描述．傅立葉的證明具有深刻的哲學意義．美妙的音樂以令人意想不到的美妙方式得到了數學描述，從而，藝術中最抽象的領域能轉換成最抽象的科學；而最富有理性的學問，也有合乎理性的音樂與其密切相聯．所以，數學是推理中的音樂，而音樂則是感覺中的數學．數學和建築間的緊密聯繫應該沒有什麼可驚奇的．數學一直是建築師們取之不盡用之不竭的創造源泉，是建築設計與創新的寶貴工具．

1.3 從皇后到夥伴

數學以其卓越的智力成就被人們尊稱為「科學的皇后」．數學造就了柏拉圖哲學，亞里斯多德在他的《後分析篇》中提倡將全部科學論述化歸成三段論．笛卡爾認為，數學可為一切知識的形式．笛卡爾思想的進展並不是從「我思故我在」原理開始的，而是從普通的數學概念和理想開始的．他的理想導致了一個數學分支——解析幾何的建立．伽利略主張，在數學的領域中人可以達到一切可能知識的頂點，這種知識並不低於神聖理智的知識．法國思想家孔多塞認為，代數是迄今存在的唯一真正精確的和分析的語言，其中蘊含著一些普遍適用的原理，可應用於所有的概念的組合．康德在《純粹理性批判》中試圖證明確立數學和數學性的自然科學的基礎．他說，任何一門自然科學，只有當它能應用數學工具進行研究時，才能算是一門發展漸趨完善的真實科學．其實，數學不僅是「科學的皇后」，還是「科學的僕人」，這是由於數學作為一種工具被廣泛地應用於其他科學，服務於其它科學的功能．幾乎所有重大科學理論在發展和完善過程中，數學起到不可或缺的作用，數學研究的成果往往是重大科學發明的催生素．不僅自然科學，各門社會科學也同樣地不斷求助於數學．隨著數學與其它科學之間關係的更深入的揭示，數學又獲得了一種新的稱謂——夥伴．美國數學家斯蒂恩對數學與其它學科作了這樣的比喻：許多有學問的人，特別是科學家和工程師，把數學想像成一棵知識之樹，公式、定理和結論就像掛在樹上的成熟的果實，讓路過的科學家採摘，用以豐富他們的理論．數學家則與之相反，他們視數學如迅速生長的熱帶雨林，需要從數學之外的世界吸取養分，同時它又奉獻給人類文明豐富的、變化無窮的智慧動植物．數學對其它學科做出了許多貢獻，同時，這些學科正用一些有趣的新型問題向數學家發出了挑戰，這些問題

又導致了新的應用，且越基本的數學其用處更廣．可以想像，隨著人類社會的發展，數學會成為最基本的學科，會成為所有科學的框架．如果採用後現代諺語來說，就是幾乎沒有什麼東西能夠避開數學的「文本」．可以說，如果我們的世界裡數學突然被抽走，人類社會將頃刻崩潰；如果我們的世界裡數學被凍結，人類文明將即刻倒退．沒有數學的文明是不可以想像的．

2 數學意義——教育的立場

2.1 數學——人的基本素質

數學作為人的基本素質，在古希臘社會尤其明顯．希臘哲人以知識為善，追求真善美乃是希臘教育的宗旨．柏拉圖認為數學是具備公民資格的前提．他認為，忘卻正方形的對角線與其邊之比是不可公度的這個事實，那他就不配有人的名字．柏拉圖把受過教育的人與沒有受過教育的人的本質比作「洞穴假象」．人想要認識宇宙，他的靈魂就必須先受到磨鍊和拯救，數學就是理想的手段，特別是幾何學，它是由洞穴中的黑暗到達普照的光明之橋梁．人的靈魂受到數學的陶冶之後，就有可能超凡脫俗，回到聖潔至上的理念世界而得到拯救．接受訓練而能以邏輯和數學進行推理的人，將更有可能逃出無知的洞穴．數學不僅是人的基本素質，數學還能提升智能，增進才能．柏拉圖認為，那些天性擅長算術的人，往往也敏於學習其它一切學科；而那些反應遲緩的人，如果受了算術的訓練，他們的反應也總會有所改善．對於軍人來說，計算和數數是一個軍人的必不可少的本領．對於哲學家呢？柏拉圖認為，哲學家必須脫離可變世界，把握真理，因而他們應該學會它，否則他們永遠不會成為真正的計算者．柏拉圖特別強調，幾何學中高深的東西能夠幫助人們較為容易地把握善的理念．理念世界是一切真知的本原，是最高的善．對於柏拉圖來說，數學不僅是人的基本素質，而且國王——哲學王更應該具有超出常人的數學素質．社會的發展要求人們具有更高的數學素質．不知道基本的數學語言，不理解基本的數學符號，不掌握基本的數學推理，不懂得基本統計圖表，這樣的人將不能適應現代社會的快速發展．在信息社會，數學作為現代人的基本素質，已經越來越被人們所認識．數學以它的思維性、理性精神和優美性成為當今社會文化中的一個基礎組成部分．一個人如果不知道數學為何物，理性思維貧乏而又缺乏審美意識，那麼他的整體素質、洞察能力、判斷能力以及創造能力必將受到很大的影響．數學對於一個現代人來說已不是一種時髦，而是工作、學習和人際交往中的一種實在需要．對於國家的安寧與福利來說，數學在勞動力培養中的作用是至關重要的．科學家和工程師要依靠數學，而且為了獲得成就需要有堅實的數學基礎．對於想要取得現代公民資格的一般公民來說，至少具有中學水平的數學基礎是絕對必要的．數盲和文盲一樣是極其有害的．可以說，沒有數學，我們幾乎不能很好地生活；沒有數學，我們幾乎不能很好地工作；沒有數學，我們幾乎不能很好地思考；沒有數學，我們幾乎不能很好地交流；沒有數學，我們幾乎不能很好地欣賞．

2.2 數學——促進人的發展

通過合適的知識載體能不斷地、自覺地提高人的素質，培養人的優良品質，數學正是這樣一種重要的載體．因為，當我們面對一串串數學符號進行計算和推理時，表面上，我們是在操作符號，實際上，是計算和推理在引導著我們的精神．所以，對數學知識的掌握就意味著領悟一種現代科學的語言和工具，學到一種理性的思維模式，培育一種審美情操．數學是一個蘊藏智慧的寶庫，是培育人的優秀品格的園地．通過數學的學習，「能夠促進學生的學習態度、思維習慣、思維模式、思維策略等的發展，讓每個學生面對全新的情景都能做出適當的回應」[3]．傳統實證主義知識觀將知識描述成線性積累和價值中立，忽略知識創造中人的活動，忽視知識所蘊涵的倫理意義．然而，知識本質上是一種社會建構，它必然體現人的價值選擇，表現人的倫理關懷．數學也不例外，對於數學來說，它可以促進人的下列優秀品質的形成．

第一，誠實正直，崇尚真理．計算、證明並不是一個簡單的操作步驟或形式化過程，而是一系列的觀點與洞察．數學結論對任何人都一樣，必須接受理性法庭的裁決，對就是對，錯就是錯．數學計算、數學演繹、數學證明都不能靠投機取巧，而只能靠一步一步的計算與推理．通過數學的學習，可以培養誠實正直、以理服人、堅持真理、有錯就改的優良品格．

第二，勤於思考，勇於創新．要啟發人類這種獨有的、高貴的創新能力，莫過於數學．沒有哪一門學科能像數學這樣集中、加速和強化人們的注意力．事實證明，數學家的成功並不在於他們的天賦有多高，而主要取決於他們的勤奮和創新．

第三，堅韌不拔，敢於攀登．幾何中沒有王者之路，數學研究需要有堅強的毅力．因為數學命題的證明猶如登山，只有那些堅忍不拔、勇於探索的人，才能達到勝利的彼岸．數學是一所優秀的思維學校，數學是一門睿智的訓練學科，數學是一種抽象的思維模式．精確的數學語言讓我們有條不紊地思考複雜的決策，而不是只憑軼事、猜測和雄辯．數學自誕生起就與思維結下了不解之緣，數學要通過思維來反映，數學又是思維的工具．學習數學的人更能有效地進行思維，發展人的思維能力是數學重要的文化功能，沒有數學就不會有有組織的邏輯思維．許多著名的哲學家都經過嚴格的數學訓練，古希臘的蘇格拉底、柏拉圖、亞里斯多德，近代的笛卡爾、斯賓諾莎、萊布尼茨、洛克、休謨、貝克萊、康德，當代的羅素、維根斯坦、胡塞爾等．數學是一種思維方法．數學能使人們的思維方式嚴格化，養成有步驟地進行推理的習慣．數學思維可以幫助我們由日常思維過渡到形式思維．數學對我們思維的貢獻在於其概念的極大適應性，這種適應性是其它非數學模式很難達到的．恩斯特• 卡西爾把人定義為符號的動物，認為「符號化的思維和符號化的行為是人類生活中最富於代表性的特徵」[4]．數學的一個重要特徵就是它的符號語言，數學用符號表示數量關係和空間形式．憑藉數學語言的嚴密性和簡潔性，人們就可以表達和研究數學思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪，這種簡潔性有助於提高思維的效率．

美是善的象徵，美必然地與人類的心靈相聯繫．數學美在於數學的雅致，雅致是不同部分的和諧、對稱和巧妙的協調．美是數學的第一試金石，世界上不存在畸形醜陋的數學．哪裡有數學，哪裡就有美，數學中處處存在美，不僅有數學知識的美，數學方法的美，還有數學家的心靈美．藝術能夠美化人們的心靈，但卻沒有哪一種藝術能比數學更有成效地去美化和修飾人們的心靈．數學具有審美的價值，就像音樂和詩歌的價值那樣清晰明確．對於數學美對人的薰陶，許多數學家進行了論述．羅素有一段名言：數學，如果正確地看待它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純淨到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地．一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高於人的意識——這些至善至美的標準，能夠在詩裡得到，也能夠在數學裡得到．龐加萊指出，無私利地為真理本身的美而追求真理也是合情合理的，並且能使人變得更加完善．哈代曾說過，數學可以像詩歌或音樂一樣，增進和保持心靈的高尚的習性，並因此而增加數學家甚至是其他人的快樂．所以，要找到一個受過教育，但對數學之美的魅力感覺相當遲鈍的人，是非常困難的．

數學是打開機會大門的鑰匙．數學不僅是科學的語言，而且以直接的方式為商業、財政、經濟、國防做出貢獻，為學生打開職業的大門．一個人懂得的數學越多，就會有更多的職業之門向他開放．今天，那些理解數學並且能做數學的人，將比那些不懂數學的人獲得更多的機會．從保險公司統計員、系統分析家、營銷專家、網絡管理人，到金融分析家，等等．實際上，數學歷來都在幫助教育當局甄別哪些學生應該得到社會的報酬這一點上起到重要的作用．在某種程度上，數學水平和能力的不同決定了一個人將來從事的職業和發展前景．在未來世界中，求職和晉升的最好機會將提供給那些有信心應付數學的人，作為科學和技術的基礎，數學提供通向成功的鑰匙．資訊時代就是數學的時代，正如未來的科學家和工程師需要廣泛的數學一樣，未來的公民將需要極其多樣的數學，以對付工作中大量以數學為基礎的工具、設備和技術．當學生離開學校並進入工作生涯時，數學極大地決定了一個人能從事什麼樣的工作與不能從事什麼樣的工作．

在世界上所有的國家中，中小學的數學課程內容較為一致，具有突出的相似性．具體地說，各國選取的數學課程內容與社會的需求、數學的發展以及學生的發展密切相關．數學在課程中佔據中心位置，在不同的國家或文化中，沒有任何一門其它學科的教育時間有數學這樣長．我們很少看到數學學得好而其它學科學得不好的學生．在中學裡很少有這樣的情況，即某個學生在數學上是第一名，而在其它學科上卻屬於最差的行列．反之，那些所謂「差生」，往往首先就是數學沒有學好，數學對於這些學生而言竟然成了「篩子」．篩掉了他們的就業機會，篩掉了他們的發展機會．數學真正成了打開通向未來的大門，每個人的發展都依賴於數學教育的成功．在所有文明中，一代又一代的兒童學習數學以獲得更加美好的生活．

人的生存是一個永無止境的完善過程和學習過程，任何人都是一個未完成的人．數學對於一個人的終身發展是非常有益的．事實上，數學作為培養公民素質的基礎課程，不僅為學生進一步學習提供了必要的準備，而且在學生終身發展過程中有不可替代的作用．通過數學的學習，可以構建學生的可持續發展，進而促進學生的終身發展．因為縱然學生把數學知識忘記了，但數學的精神、思想和方法卻會深深地銘刻在頭腦中，長久地活躍於日常生活中，隨時隨地地發生作用，使學生終身受益．試想，哪一個數學家不是從數學中終身受益．陳省身就曾說過：「數學陶冶我一生．」《數學課程標準》明確提出：數學課程設置的基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展．數學教育作為教育的組成部分，在發展和完善人的教育活動中、在形成人們認識世界的態度和思想方法方面、在推動社會進步和發展的進程中起著重要的作用．在現代社會中，數學教育是終身教育的重要方面，它是公民進一步深造的基礎，是終身發展的需要．數學教育意味著一生，我們都是「終身的學生」．

3 對數學教育的啟示

在數學課程改革的背景下，我們為什麼要學習數學？數學對學生的發展意味著什麼？數學到底要塑造學生什麼？數學到底能塑造學生什麼？這些問題看似平凡，實則非凡；看似簡單，實則複雜；看似淺顯，實則深遠．其實．每個問題都是我們教育工作者必須弄清的數學教育哲學的基本問題．事實表明，無論是從人類文明的發展來看，還是從學生個人的發展來說，數學是一個不容忽視的意義的領域．數學是人類最高超的智力成就，是人類心靈最獨特的創造，是人類文明的核心部分．數學是了解世界及其發展的主要鑰匙之一．作為人類文明發展標誌的數學，在人的發展中扮演著重要的角色．數學已成為個人參與社會的基本條件，每個人都需要學習數學．數學應該走進學生的生活世界，成為每個學生生活的組成部分，激發他們對生活的熱愛，體現更多的人文關懷．數學應該促進學生的發展，震撼學生心靈，培養學生的好奇心，體現數學的文化價值．數學應該發展學生的能力，體現數學的思維價值．數學應該培養學生對美的追求，體現數學的藝術價值．從而，數學教學不是把數學各個領域的片段知識灌輸給學生，不是把數學作為一個封閉系統，從那些完美的數學結論開始，而是從學生熟悉的現實生活、已有的數學經驗開始，把數學作為一項人類的基本活動．應該少些強制，少些令人厭惡的機械訓練．讓學生思考！思考！再思考！教師不是為考試而教，學生不是為考試而學．數學不是無意義的符號，數學不是無意義的公式遊戲，數學不是無意義的運算和推理．數學是一個意義的領域，數學並非虛無飄渺，其中萌動著思想的生命．今天，數學教育中的種種困惑與迷茫，都與數學意義的失落密切相關．走向意義的數學教育是時代的呼喚．在這裡，數學意義不是一個邏輯概念，而是被理解為生命的表現．數學意義不是從文本中提煉出來的，而是從對話中創造出來的．數學意義蘊涵在運算和推理中，蘊涵在每一個數學概念的學習中，蘊涵在每一個數學定理的探究中，蘊涵在每一個數學問題的研究中．走向意義的數學教育要給每一個學生一片陽光，喚醒他們的心靈，成為學生難忘的人生經歷．它讓學生領略現代數學思想中令人鼓舞的概念，像夏天喝冰水那樣令人清新．它讓學生欣賞數學，感受數學定理與數學概念的美妙，像藝術那樣令人振奮．它讓學生發現優美定理、概念的形成過程，創造出更有內涵、更有意義的數學文化，像呼吸那樣順乎自然．在數學教育中，當做題、考試、成績成為數學教育關注的焦點時，數學就變成了一種無意義的諸多公式、定義、過程的羅列，數學意義——無論是科學意義還是教育意義——就離我們遠去了．然而，遠離了意義的數學教育，也就從根本上遠離了學生的生活．從而將數學知識局限於認識論的窠臼，片面強調數學知識的客觀性、抽象性和確定性，遮蔽了數學知識所蘊涵的意義世界．所以，數學教育必須超越抽象的世界、符號的世界、邏輯的世界、知識的世界、絕對真理的世界以及升學工具的世界，邁向意義的世界．可以說，回歸數學意義是每一個數學教育工作者神聖的使命．走向意義的數學教育理所當然應該成為新的教育方向，新的教育追求．

［參 考 文 獻］

[1] 李約瑟．中國科學技術史（第三卷數學）[M]．北京：科學出版社，1978．

[2] 羅素．羅素自傳（第一卷）[M]．羅素著，胡作玄，趙慧琪譯．北京：商務印書館，2002．

[3] Afzal Ahmed, Alison Clark-Jeavons, Adrian Oldknow. How can Teaching Aids Improve the Quality of MathematicsEducation [J]. Educational Studies in Mathematics, 2004, (56): 313–328．

[4] 恩斯特·卡西爾．人論[M]．甘陽譯．上海：上海譯文出版社，2004．

（胡典順，華中師範大學 數學與統計學學院）侵權請聯繫刪除