動態分析有限元法的一般步驟（仿真小白必須知道的）

2023-10-15 21:53:29

有限元方法（FEM）是一種數值技術，用於對任何給定的物理現象進行有限元分析（FEA）。

必須使用數學來全面理解和量化任何物理現象，例如結構或流體行為，熱傳輸，波傳播和生物細胞的生長。其中大多數過程都是使用偏微分方程（PDE）進行描述的。但是，對於用於解決這些PDE的計算機，在過去的幾十年中已經開發了數值技術，而當今最傑出的技術之一就是有限元法。

首先，了解不同類型的偏微分方程及其在有限元中的適用性是非常重要的。理解這一點對每個人來說都是特別重要的，不管使用的動機是什麼。有限元分析。重要的是要記住，FEM是一個工具，任何工具只有它的用戶好。

圖01：環空上的拉普拉斯方程。圖像四十二[CC by-SA3.0(https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]，通過維基共享。

PDE可分為橢圓型、雙曲型和拋物線型。在求解這些微分方程時，需要提供邊界和/或初始條件。根據PDE的類型，可以評估必要的輸入。每一類PDE的例子包括Poisson方程(橢圓型)、波動方程(雙曲型)和Fourier定律(拋物型)。

求解橢圓型偏微分方程的方法主要有兩種：有限差分法(FDM)和變分法(或能量法)。有限元法屬於第二類。變分方法主要是基於能量最小化的哲學。

雙曲型偏微分方程通常與解決方案的跳躍有關。例如，波動方程是雙曲PDE。由於解中存在間斷(或跳躍)，原有限元技術(或Bubnov-Galerkin法)不適合求解雙曲型偏微分方程。然而，多年來，為了擴大有限元技術的適用性，人們對有限元技術進行了改進。

在結束這一討論之前，有必要考慮使用不適合於PDE類型的數值框架的後果。這樣的使用會導致被稱為「不恰當定位」的解決方案。這可能意味著域參數的微小變化會導致解的大振蕩，或者解只存在於域或時間的某一部分，這是不可靠的。適定性解釋被定義為對定義的數據持續存在唯一解決方案的解釋。因此，考慮到可靠性，獲得良好的解是非常重要的.

有限元是如何工作的？主要的驅動力是什麼？能量最小化原理是有限元法的主要支柱。換句話說，當一個特定的邊界條件被應用到一個物體上時，這可能導致幾種配置，但實際上只有一種特定的配置是可能的或實現的。即使在多次進行仿真時，也會獲得相同的結果。為什麼會這樣？

圖02：虛擬工作原理的描述

這是遵循能量最小化原則的。它指出，當施加邊界條件(如位移或力)時，在物體可以採取的眾多可能配置中，只有總能量最小的配置才是所選擇的配置。

從技術上講，根據一個人的觀點，有限元可以說起源於歐拉的作品，早在16世紀。然而，最早的關於有限元的數學論文可以在Schellback[1851]和Courant[1943]的著作中找到。

有限元法是由工程師獨立開發的，用於解決與航空航天和土木工程有關的結構力學問題。這些發展始於20世紀50年代中期，分別發表了特納、克勞夫、馬丁和託普[1956]、阿吉裡斯[1957]和巴布斯卡(Babuska)和阿齊茲(Aziz)[1972]的論文。Zienkiewicz[1971]、Strang和Fix[1973]的著作也為有限元的未來發展奠定了基礎。

對這些歷史發展的有趣回顧載於Oden[1991]。

有限元的第一步是識別與物理現象相關的PDE。PDE(或微分形式)稱為強形式，積分形式稱為弱形式。考慮簡單的PDE，如下所示。該方程由兩邊的試函數v(X)相乘，並與區域[0，1]積分。

現在，利用零件的積分，可以將上述方程的lhs簡化為

可以看出，未知函數u(X)所需的連續性階約為1。以前的微分方程要求u(X)至少可微兩次，而積分方程則要求u(X)僅可微一次。多維函數也是如此，但導數被梯度和散度所取代。

不涉及數學，Riesz表示定理可以證明u(X)對於積分和微分形式是唯一的解。另外，如果f(X)是光滑的，它也保證u(X)是光滑的。

一旦建立了積分或弱形式，下一步就是對弱形式進行離散化。積分形式需要進行數值求解，因此積分被轉換為可以數值計算的求和。此外，離散化的主要目標之一也是將積分形式轉化為一組矩陣方程，這些方程可以用眾所周知的矩陣代數理論來求解。

域被劃分為稱為「元素」的小塊，每個元素的角點稱為「節點」。在節點處計算未知泛函u(X)。為每個元素定義插值函數，對元素內部的值使用節點值進行插值。這些插值函數也常被稱為形狀函數或ansatz函數。因此，未知泛函u(X)可以簡化為

其中，nen是元素中的節點數，Ni和UI分別是與節點I相關聯的插值函數和未知數。同樣，也可以對其他函數v(X)和f(X)進行弱形式的插值，以便將弱形式重寫為

求和格式可轉化為矩陣積，並可重寫為

弱形式現在可以歸結為矩陣形式[K]{u}={f}。

請注意，先前的試用函數v(X)被乘以後的矩陣方程中不再存在。[K]也稱為剛度矩陣，{u}是節點未知數的向量，{R}是剩餘向量。此外，利用數值積分格式，如Gauss和Newton-Cotes求積法，還可以方便地處理構成切線剛度和殘差矢量的弱形式的積分。

插值函數的選擇需要大量的數學知識(如Hilbert和Sobolev)。關於這方面的更多細節，本文所列的參考資料「如何學習有限元分析？「建議。

一旦建立了矩陣方程，這些方程就傳遞給求解者來求解方程組。根據問題的類型，通常使用直接或迭代求解。更詳細的解說員概況和他們的工作方式，以及如何在他們之間作出選擇的技巧，都可以在博客文章中找到。「如何選擇S老者：直接還是反覆？「

有限元分析連杆在web瀏覽器中執行西姆斯代爾

正如前面所討論的，傳統的有限元技術在流體力學和波傳播的建模問題上存在缺陷。為了改進求解過程並將有限元分析的適用範圍擴大到廣泛的問題，最近進行了一些改進。仍在使用的一些重要問題包括：

Bubnov-Galerkin方法要求單元間位移的連續性。雖然接觸、斷裂和損傷等問題都涉及到不連續和跳躍，但有限元法不能直接處理這些問題。為了克服這一缺點，XFEM誕生於20世紀90年代，XFEM通過擴展Heaviside階躍函數來擴展形狀函數。額外的自由度被分配到不連續點周圍的節點，這樣就可以考慮跳躍。

GFEM是在90年代與XFEM同時引入的，它結合了傳統有限元法和無網格法的特點。形狀函數主要由全局坐標定義，並進一步乘以單元的分割來創建局部元素形狀函數。GFEM的優點之一是防止圍繞奇點重新嚙合.

在一些問題中，如接觸或不可壓縮性，約束是通過拉格朗日乘子施加的。這些由拉格朗日乘子產生的額外自由度是獨立求解的。方程組的求解類似於耦合方程組。

HP-FEM是自動網格細化(h-精化)和多項式(p-精化)的結合.這與分別進行h-和p-細化是不一樣的。當使用自動hp-細化，並將一個元素劃分為較小的元素(h-精化)時，每個元素也可以有不同的多項式順序。

在傳統有限元方法較弱的情況下，DG-FEM在利用有限元思想求解雙曲型方程方面具有重要的應用前景。此外，它還顯示了彎曲和不可壓縮問題的改進，這些問題通常在大多數材料過程中被觀察到。在這裡，附加的約束被添加到包含懲罰參數(以防止相互滲透)和元素之間的其他應力平衡項的弱形式。

希望這篇文章已經回答了你最重要的關於什麼是有限元方法的問題的答案。