歐拉公式立體幾何證明（被稱為上帝公式的歐拉公式你還不會推導嗎）

2023-10-15 05:19:48 1

一般地，我們可以用 表示複數，其中

若將複數看作在複平面上一個的一個點

考慮把該點轉化為極坐標表示：

我們使 ，其中

得到複數還可以表示為

即

我們先考慮一個引理：

引理1：如果一個複數表示為那麼它的n次方就可以表示為

證明：我們用一般的代數方式可以得到：

整理得

類推可知 證畢

接下來我們考慮另一個引理：

引理2： 證明

證明：我們知道

那麼 證畢

接下來我們嘗試將引理2這個公式推廣到複數域：

設 ， ，其中

則根據引理2有 ，接下來證明右邊的極限存在。

首先

利用引理1可以將上式表示為極坐標形式

我們先考慮一次形式： ，它也可以寫為極坐標形式

易得

又 得到

所以 且

我們分別計算這兩個部分的極限：

由於 這一極限不好求，所以我們求 的極限。

我們根據等價無窮小 得到

即

所以知道 故

接下來計算

我們根據等價無窮小

得到：

所以

故：

所以

這就是著名的歐拉公式：

我們取 代入得 ，它將數學裡幾個特殊的量以一種簡潔且明確的方式聯繫在了一起。