數學的發展與由來（數學概念的由來和演變）

2023-10-16 01:55:54

數學是一門抽象的學科，這首先表現在它的概念上。

抽象性在簡單的計算中就已經表現出來。我們運用抽象的數字，卻並不打算每次都把它們同具體的對象聯繫起來，我們在學校學的是抽象的乘法表——它們總是數字的乘法表，而不是男孩的數目乘上蘋果的數目，或者蘋果的數目乘上蘋果的價錢等等。

同樣地在幾何中研究的，例如，是直線而不是拉緊了的繩子，並且在幾何線的概念中捨棄了所有性質，只留下在一定方向上的伸長，總之，關於幾何圖形的概念是捨棄了現實對象的所有性質，只留下其形式和大小的結果。

全部數學都具有這種抽象的特徵。

關於整數的概念和關於幾何圖形的概念——這只是一些最原始的數學概念。之後才是其他許多達到像複數、函數、積分、微分、泛函、n維甚至無限維空間等等這樣抽象程度的概念。這些概念的抽象化好像是一個高於一個一直高到這樣的抽象程度，以致看上去已經失去了同生活的一切聯繫，以致「凡夫俗子」除感到「莫名其妙」以外什麼也不能理解。事實上情形當然不是這樣，雖說n維空間的概念的確非常抽象，但它卻有完全現實的內容，要了解這內容並不那麼困難。比如我們要研究光照量、水分、施肥量、密植程度等n個因素對小麥農作物產量的影響函數，可能這裡就需要設n個變量，把它放到n維空間裡研究。

當然，我們在這裡不想過多探討數學概念本身的抽象性。

我們想問的是，抽象的數學概念本身反映什麼東西？換句話說，抽象的數學概念是怎樣形成的？

它是否就是像大多數人所認為的是人頭腦中純粹思維的產物？

我們不妨先考察一下數學概念的發展歷程，以便於我們從中尋找答案。首先從算術和幾何開始。

在早期的遠古人類那裡往往只有一和多的概念，儘管他們能夠用自己的方式判斷出在實踐中某一物品的數量。比如在狩獵後，人們往往可以通過結繩的繩結多少或在洞壁上或骨頭上刻痕的多少來記錄捕獲獵物的數量。隨著人類認識水平的提高，數的概念擺脫了具體的物被抽象出來,人們能夠理解更大的數和更一般的數……

算術的概念反映了物體集合的量的關係。這些概念是在分析和概括大量實際經驗的基礎上加以抽象化而產生的，並且它們是逐漸地產生的，最初是與具體對象相聯的數，然後是抽象的數，最後才是關於一般的數、關於任何可能的數的概念。每一階段都是以應用先前的概念積累起來的經驗作準備的。比如關於整數概念的抽象，起先是捨棄具體的物體集合而進入關於單個數的概念（比如數字1、2、5等等），再進一步抽象就進入任意整數的概念。

幾何如同算術的發展一樣，同樣是在分析和概括大量實際經驗的基礎上加以抽象化而產生的。人從自然界本身提取出幾何的形式。諸如月亮的圓形和鐮刀形，湖的水平面，光線或樹木的筆直，人們把它改進到自己的手工品中。關於幾何量的概念——長度、面積、體積——也同樣是從生產實踐活動中產生了。從事農業生產，人們需要丈量土地的面積。把糧食放入糧倉裡或從事買賣，同樣需要計算倉庫或容器的容量。幾何是從實踐中產生的，地理上從埃及傳到希臘，在古希臘人那裡得到更大發展，並且朝著積累新的事實和闡明它們相互間關係的方向發展的。

不錯，幾何從事於「幾何物體」和圖形的研究，研究它們的量的關係和相互位置。但是幾何物體不是什麼別的東西，正是捨棄了其他性質比如密度、顏色、重量等等，而僅僅從它的空間形式的觀點來加以考察的現實的物體。

這樣，幾何以捨棄了所有其他性質換句話說即採取「純粹形式」的現實物體的空間形式和關係作為自已的對象。正是這種抽象程度把幾何同其他也是研究物體的空間形式和關係的科學區別開來。例如，在天文學中，研究物體的相互位置，但只是天體的相互位置，在測地學中研究地球的形式，在結晶學中研究晶體的形式等等。在所有這些情形中，研究具體物體的形式和位置是與它們的其他性質關聯著或者相互依賴著的。

數學概念形成的基本規律之一正是如此:數學概念是以應用先前的抽象概念積累起來的經驗為基礎，通過一系列的抽象與概括過程而產生的。

當然，我們還要謹記一點，在數學中研究的不僅是直接從現實中抽象出來的量的關係和空間形式，而且還研究那些在數學內部已經形成的數學概念和理論為基礎定義出來的關係和形式。這是數學概念形成的基本規律之二。

虛數不是像我們說過的整數那樣從現實界中提取出來的，這是一個歷史事實。它最初出現於數學內部，作為方程

在由羅巴切夫斯基幾何和精確虛數理論奠定基礎的數學發展的新階段上，產生了和不斷產生著許多新的概念和理論，這些概念和理論是在已經形成的概念和理論的基礎上建立的，而不是從現實界直接提取出來的。數學規定和研究現實界的各種可能形式，這正是數學發展到現代數學的決定性特點之一。

在數學概念當中，是否有絕對精確化的定義？

歐幾裡得和他以後兩千年之內的所有數學家，毫無疑問，都認為歐幾裡得的《原本》一書幾乎是邏輯嚴格性的標準。但是現在，從現代的觀點看起來，歐幾裡得對幾何的論證是十分表面的。這個歷史的例子告訴我們，不應該迷惑於對現代數學的「絕對」和「徹底」的嚴格性的估計。

我們不妨考察一下變量和函數演變的歷史。變量和函數的概念不是一下子就現成地從伽利略、笛卡兒、牛頓或任何人那裡產生出來的，它們在許多數學家那裡萌芽（例如，在納皮爾那與對數聯繫著），然後在牛頓和萊布尼茨那裡採取了或多或少清晰的，但還遠不是最終的形式，以後它們隨著分析的發展而精確化和概括化。它們的現代定義直到十九世紀才形成，但是這種定義也不是絕對嚴格和完全終結了的。函數概念本身的發展直到現在還在繼續著。

對於分析來說，批判，系統化和論證的必要時期是在十九世紀中葉來到的。這項重要和困難的工作由於許多傑出學者的努力而勝利地完成了。特別是獲得了實數、變量、函數、極限、連續性等基本概念的嚴格定義。

不但如此，新概念本身只是在它加以解決的那些問題的基礎上，只是在把它們包括在內的那些定理的基礎上才能發生、發展、精確化和概括化。

當然我們還可以舉出更多的例子。但是，這些定義的任一個都不能認為是絕對嚴格和完全終結了的，這些概念正在繼續發展。在還沒死去和變成木乃伊的科學中，沒有也不可能有什麼完全終止了的東西。但是我們可以確信地說：第一，現在已經確立的分析基礎能夠很好地適應現代科學任務，適應關於邏輯準確性的現代概念；第二，這些概念的繼續深化和圍繞這些概念正在進行著的討論沒有引起也不會引起人們簡單地拋棄這些基礎：但是卻將導向對這些概念的新的、更準確和更深刻的理解，至於其結果，現在也許還難於完全判斷。

在數學中研究量的關係時，注意到的僅僅是它們的定義本身中所包含的東西。相應地，數學結論是用從定義出發的推理得到的。我們僅從字面上來理解這些話可能會認為數學概念十分嚴格的定義的形成真正先於相應的數學理論的建立，那是不正確的；事實上，概念本身隨著理論的發展，由於理論發展的結果而更加精確化，對整數概念的深刻分析，正如幾何公理的精確公式化一樣，不是在古代，而是直到十九世紀末才作出來。設想似乎有一種絕對精確地定義了的數學概念，那是更加錯誤的，任一概念，不管它是怎樣被精確地定義了，也還是要變動的，它隨著科學的發展而發展和精確化。這已經由全部數學概念的發展所證明，這只是再一次證實了辯證法的這樣一條基本定理：世界上沒有任何東西是完全不變和無論如何也不發展的。

所以對於數學概念，第一，只能說到它們的充分的確定性，無論如何也不能說到它們的完全的確定性。第二，應該注意到它們的定義的精確性和明顯性以及對它們分析的深度都是隨著數學的發展而不斷發展著的。在這裡我們注意的是數學概念的充分確定性。總之，這是數學概念形成的基本規律之三。

因此，我們說數學概念，它絕不是唯心主義者們所認為的只是人頭腦中思維的產物。它的形成和演變，是社會實踐和經驗的總結。這種總結在未來不僅不會終止，還會繼續深層次演變和發展。