一種高效變步長數值方法與流程
2024-02-24 03:35:15
本發明涉及一種高效的變步長數值求解方法，屬於數值分析領域，可以應用於電力系統電磁暫態仿真以及計算機輔助電路分析技術等領域。
背景技術：
梯形公式使用梯形近似函數的積分面積，是數值求解微分方程的常用方法；它具有二階精度，並且是一種A穩定的方法，因此在電力系統電磁暫態仿真、計算機輔助電路分析技術等領域獲得了廣泛的應用。但是梯形方法也存在一些不足之處，這主要體現在：
梯形法雖然是A穩定的，但是卻不是L穩定的，有可能導致數值震蕩現象。例如將梯形法用於電磁暫態仿真程序，當系統中有快速的暫態過程的時候，如果仿真步長相對於暫態過程太大，非狀態變量會產生圍繞準確解來回震蕩的現象。目前解決電磁暫態仿真程序數值震蕩問題主要有兩種方法：文獻「Neville Watson and Jos Arrillaga,「Power System Electromagnetic Transients Simulation」Published by Institute of Engineering and Technology,London,United Kingdom,2003.」的NOS方法(Numerical Oscillation Suppression)以及文獻「Marti,Jose R.；Lin,Jiming,"Suppression of numerical oscillations in the EMTP,"in Power Systems,IEEE Transactions on,vol.4,no.2,pp.739-747,May 1989.」中的CDA方法(Critical Damping Adjustment)。NOS的原理簡單直觀，既然變量是圍繞準確的值來回震蕩，那麼相鄰的兩個計算點的中間位置必然很接近準確值，因此NOS使用半個步長的插值來抑制數值震蕩。由於為了準確模擬事件發生時刻，各元件已經實現插值功能，因此通過半步長插值抑制數值震蕩，比較容易實現，電磁暫態仿真程序PSCAD/EMTDC就是使用的這種方式。CDA使用半步長的後退歐拉法抑制數值震蕩，由於後退歐拉法是L穩定的方法，它可以有效地抑制由於快暫態過程造成的數值震蕩，而且使用半步長的後退歐拉法所得到的諾頓等值的導納與整步長的梯形法所得到的諾頓等值的導納是一樣的，這樣可以避免修改和重新分解導納矩陣，有些電磁暫態軟體(如：EMTP-RV)就是使用的這類方法。
梯形法是隱式的方法，需要在每個時步求解一個線性方程組，而且由於通常步長會影響線性方程組的係數矩陣中的元素值；所以當步長改變時，需要重新對線性方程組的係數 矩陣進行LU分解，導致計算速度的下降。在某些應用中需要卻改變計算步長，例如在電磁暫態仿真程序中仿真電力電子設備時，電磁暫態仿真程序通常採用定步長仿真，而電力電子器件的動作時刻卻可能落在非整數步長上，而對於電力電子器件的動作時刻的精確模擬很多情況下卻是必要的。採用變步長可以方便地在電力電子器件的動作時刻插入仿真點，但是改變仿真步長會導致元件的伴隨模型的導納發生變化，這就需要重新形成系統方程的導納陣，並重新進行LU分解，降低仿真的效率。為了解決這個問題，目前主流的電磁暫態仿真都是通過採用插值的方法在步長間插入仿真點，電磁暫態仿真程序依然使用固定的步長仿真，但是當發現某個器件在步長之間發生了事件時，通過線性插值得到事件發生時刻系統的狀態。
本發明以梯形法的離散化公式為基礎，並假定變量在一個步長內線性變化，通過對變量的線性插值，構建了一個新的數值方法。新數值方法可以在不改變線性方程組係數矩陣的條件下實現步長的改變，避免了線性方程組求解過程中的LU分解，大大提高了計算效率；而且新數值方法不但是A穩定的，還可以通過選取合適的參數有效地抑制計算過程中的數值震蕩現象。
技術實現要素：
為克服梯形法的不足，本發明通過對梯形離散化公式進行線性插值，得到一種新的適合於變步長的高效數值方法，新方法的描述如下：
對於如式(1)的微分方程：
梯形法的離散化公式為：
(2)式被用來從t時刻計算t+Δt時刻系統的狀態，對於t時刻到t+Δt時刻間的任何時刻t′∈(t,t+Δt]，設：
t′＝t+kΔt,k∈(0,1] (3)
假設變量x(t)在t時刻到t+Δt時刻是線性變化的，則有：
將(4)和(5)式代入(2)式，整理後可得：
由(3)式可得：
Δt′＝t′-t＝kΔt (7)
將(7)代入(6)可得：
(8)式給出了從t時刻計算t′＝t+Δt′時刻的一個新的離散化公式。
性質1當k＝1時，(8)式是梯形法的離散化公式；當k＝1/2時，(8)式則成為後退歐拉法的離散化公式。
性質1說明當選取k＝1/2時，新方法等價於後退歐拉法，因此像後退歐拉法一樣能夠有效抑制計算過程中可能出現的數值震蕩現象。
性質2對於k∈(0,1]，(8)式給出的離散化公式是A穩定的。
證明：對於形如(9)式的微分方程，
使用(8)式的離散化公式可得：
進一步可得：
當Re{λ}＜0，Δt′＞0時，易知：
說明(8)式給出的離散化公式是A穩定的。
附圖說明
圖1電感元件。
圖2諾頓等值電路結構圖。
具體實施例
例如，對如圖1所示的電感使用新的數值方法進行離散化，可以得到如圖2和(13)式所示的諾頓等值形式的元件伴隨模型：
i(t′)＝gu(t′)+is(t) (13)
其中，t′由(3)式給出，
i′S(t)＝i(t)+(2k-1)gu(t) (15)
當k取1/2時，可知新數值方法所得到的伴隨模型正好與使用半步長的後退歐拉法直接離散化電感所得到的伴隨模型是完全一致的，而對於t時刻到t+Δt時刻間的任何時刻t′∈(t,t+Δt]，伴隨模型的導納g都不受Δt′＝t′-t的影響。