牟合方蓋的發現及歷史意義 計算體積的方法是什麼?

2023-03-30 22:45:32

牟合方蓋是什麼？相信很多人對於這個都很陌生，牟合方蓋是由我國古代的數學家劉徽發現的一種用於計算球體體積的方式，他希望可以用牟合方蓋來證實《九章算術》的公式有錯誤，但是最後也沒有實現，但是牟合方蓋的發現有重大的歷史意義，牟合方蓋是如何計算球體的體積計算方法的？

牟合方蓋是什麼？

牟合方蓋，由我國古代數學家劉徽首先發現並採用的一種用於計算球體體積的方法，類似於現在的微元法。由於其採用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋。

牟合方蓋指的是什麼？

牟合方蓋就是當一個正立方體用圓規從縱橫兩側面作內切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分。劉徽在他的注中對「牟合方蓋」有以下的描述：「取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按合蓋者，方率也。丸其中，即圓率也。」其實劉徽也是希望通過構作一個立體圖形，它的每一個橫切面皆是正方形，而且會外接於球體在同一高度的橫切面的圓形，而這個圖形就是牟合方蓋，因為劉徽只知道一個圓及它的外接正方形的面積比為π：4，他希望可以用牟合方蓋來證實《九章算術》的公式有錯誤。

當然他也希望由這方面入手求球體體積的正確公式，因為他知道牟合方蓋的體積跟內接球體體積的比為4：3，只要有方法找出牟合方蓋的體積便可，只可惜，劉徽始終不能解決，他只可以指出解決的方法是通過計算出外棋的體積，但由於外棋的形狀複雜，所以沒有成功，他無奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法：「觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。」

牟合方蓋的體積計算方法：

上面右圖是一個正方體挖去了兩個四稜錐（這兩個四稜錐分別以上下底面為底面，以正方體的中心為頂點），設正方體邊長為2r。以平行於底面的平面同時截「牟合方蓋」和「右圖的幾何體」，所得截面如上圖所示。左圖的截面是一個正方形，設中心到截面的距離為h，可得該正方形邊長為2√r²-h²，所以左圖的截面面積為4（r²-h²）

右圖的截面像一個正方環形，面積是大正方形的面積減去小正方形的面積，邊長為2r，所以大正方形面積為4r²，同樣設中心到截面的距離為h，可知小正方形的邊長為2h，所以小正方形的面積為4h²，即截面面積為4r²-4h²。

由上可知，兩幾何體在同一水平位置的截面面積相等，根據祖𣈶原理，它們的體積相等，右圖的體積等於正方體的體積減去兩個四稜錐的體積，根據錐的體積公式可知，兩個錐的體積之和為正方體體積的1/3，所以該幾何體的體積為正方體體積的2/3，即「牟合方蓋」的體積為正方體體積的2/3，正方體體積為8r³，所以最終，「牟合方蓋」的體積為16r³/3。

牟合方蓋的歷史意義：

「牟合方蓋」的提出，充分體現了古人豐富的想像能力，以及為解決問題建立模型的智慧。劉徽是1700多年前的人，以千年前的社會知識水平，就在思考這種問題，簡直令人嘆為觀止，這種智慧的光芒，震古爍今，光耀寰宇。他們對數學或者哲學問題的執著思考與純粹探索的精神，是現代人身上及其缺乏的，也是現行教育缺失的一個重要方面。