微積分入門與應用（五分鐘MIT公開課-多元微積分）

2023-05-01 04:27:50

關於變量的轉換其實在之前的知識中已經有一些接觸了，請參考

五分鐘MIT公開課-多元微積分：極坐標的二重積分

關於二重積分的知識可以回顧：

五分鐘MIT公開課-多元微積分：二重積分

五分鐘MIT公開課-多元微積分：二重積分的應用

這一節是對這一問題更深入的探討。

知道如何在直角坐標系中處理二重積分，也知道直角坐標系和極坐標系的互相轉換，一般情況下，變量轉換更加普遍。這一節講如何在二重積分下做變量變換。

計算一個以a，b為半軸的橢圓面積。

可以在直角坐標系下求面積，但是我們發現並不容易。橢圓是一個被壓扁的的圓，直接使用極坐標也不方便。所以首先，要簡化：

橢圓的參數變換後，是一個單位圓，這樣橢圓的面積就好算了。

用變量替換的方法會使問題變得簡單。

如果問題進一步複雜，就要使用更普遍的方法。關鍵問題是：比例因子（scaling factor）是什麼？dxdy和dudv之間的關係是什麼？

例:

定義：

一般情況下，做線性變換的目的，不是簡化積分就是簡化積分限。（simplify the integrant or the bounds）

單位面積：

要明確的是，這種線性變換將所有的直線進行相同的變換，而且可以找到一個常比例因子（constant scaling factor）.變換的四邊形並不會因為位置的改變而改變。

定義比例因子：不受位置選擇的影響。因為這是對變量的線性變換。

如圖所示，右邊綠色平行四邊形為變換後的區域。

平行四邊形的面積可以通過行列式來求：

負號僅僅表示方向相反。

所以

面積變為原來的三倍，方向相反了。

還有件事情要注意就是積分限也跟著變化了。

通常情況：

使用矩陣表達：

當進行線性變換的時候，變換矩陣的行列式代表縮放面積係數。（可以帶入驗證）

變量替換的雅可比矩陣（Jocabian）表示

注意這裡沒有真的在求偏導數，只是表示dudv和dxdy之間有比例關係的表達方式。

回顧直角坐標繫到極坐標系的變化就是將 dxdy 變化為rdr d theta。現在用新的知識來解釋下到極坐標的變換。

已知變換公式為：

極坐標變換的雅可比矩陣的行列式為：

所以：

補充：

如果計算從xy到uv的雅可比變換矩陣，這個矩陣和uv到xy的變換矩陣互為倒數。

如果不通過變量變換，這是一道很簡單的題目。現在強行進行一組變量變換。

第一步：找到單位面積元

通過雅可比，

第二步：得到被積函數

第三步：確定積分區間

這一步是最難的，這裡給兩種思考方案：

方案一：在xy域上找區間

先看內積分的取值範圍，即u的取值範圍，先將v看做定值。黃線是v取不同值時的函數軌跡，我們關心的是這些黃線在什麼時候進入XY的區域，什麼時候離開，這就是u的積分空間。很明顯，在y=1時，有u=v，在x=1時，有u=1。得到u的積分區間為[v,1]。

在看外積分的取值範圍，xy最小值為0，最大值在XY區間的右上角，為1。所以v的積分區間為[0,1].

方案二： 在uv域上找區間

把xy域上的所有邊界都變化到uv上

最後得到變換變量後的積分：