數學邏輯問題及解決方案（數學邏輯方法原因與結果）

2023-04-20 15:10:22 1

從原因到結果，這種因果觀念是人們一切自覺活動必不可少的邏輯條件。本文將介紹數理邏輯如何推演因果關係，從而認識數理邏輯的思想和意義。

原因和結果是一對哲學範疇，它反映事物、現象之間的相互聯繫和相互制約。當我們把事物從普遍聯繫中抽象出來，就會看到有序地不斷更替的運動，一種現象會引起另一種現象。前者為原因，後者為結果，這種因果觀念是人們一切自覺活動必不可少的邏輯條件。

原因和結果是有客觀內容的。例如，由於地心吸力的原因，產生了「蘋果落地」的結果。但是，人們撤去這些具體內容，僅僅考察它的形式方面，就會看到人類的思維具有形式結構，遵循某種形式推理的規律。例如，有A必有B，那麼沒有B便一定沒有A。無論A和B是什麼含義，以上的形式推演都是對的。研究思維形式結構及其規律的科學稱為形式邏輯，形式邏輯的任務是研究因果關係的形式方面。

狹義的數理邏輯就是精確化、數學化的形式邏輯。它研究命題間的「形式的推理規律」。

數學地表示一個命題，要用謂詞和八個邏輯常項，即∀(任意)，∃(存在)，∧(並且)，∨(或)，=(等於)，¬(非)，→(蘊涵)，↔(若且唯若)。我們用⊢表示「推出」。謂詞S(a)，P(b)意即a是S，b是P。你也可以賦以實際含義，如S(a)表示a是質數，P(b)表示b是奇數等等。倘若我們有以下三個命題：

(1)∀x[S(x)→P(x)]；

(2)¬P(a)

(3)¬S(a)

那麼，我們就能從(1)、(2)推出(3)，不論S(a)、P(b)的含義是什麼。如果賦以上述特定含義，原(1)表明若對任何x，由x是質數蘊涵x是奇數，現在a不是奇數，那麼a必不是質數。

由這一簡單例子，我們看到(1)、(2)是原因，(3)是結果。不管它們含義是什麼，形式的推演總是對的。

數學是形式化了的思想材料，但它畢竟有它自己的內容。例如，二次方程ax2 bx c =0是一種符號形式，但它畢竟是方程，二次的，是一個有內容的對象。數學的內容是現實內容經抽象而成。數理邏輯則純粹是思維形式，它的內容是沒有真實意義的。S(a)可表示a是奇數，也可以表示a不是奇數，留下的只是形式化的不表示真假現實意義的內容S(a)。這是數理邏輯的特點，它把因果關係，命題的關聯作了最高程度的抽象。

數理邏輯的思想可遠溯到萊布尼茨(G.W.Leibniz)。近代的最重要代表是羅素(B.A.W.Russell)。他認為數學即邏輯。數學無非是由條件(原因)推出結論(結果)，因此羅素提出由邏輯規則可以生出全部數學來，這就是邏輯主義的觀點。但是，羅素最後失敗了，首先是因為邏輯推演只能是有限步，跨越不了無限，連自然數全體都達不到，更不可能得出整個數學了。其次，如前所說，數學有它自身的概念、理論和現實價值，它不可能被沒有現實意義的純粹思維形式所取代。羅素的失敗在意料之中。

但是，數理邏輯方法畢竟是一門精緻的學問，用它來描述演繹推理，反映因果關係十分準確而簡明，自有其特殊的價值。計算機的出現，更為數理邏輯方法提供了用武之地。計算機只需要做命題的形式推理，這些形式命題的真實含義是由人去賦予的，把機械的形式演繹工作交給計算機，讓計算機來承受人的一部分工作，並進而使思維過程中的因果關係演算化，計算化(在某種程度上)，這便是數理邏輯方法的重大意義。