幾何中的輔助線思路（99條作幾何輔助線的規律）

2023-05-14 16:47:07

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幾何中的輔助線思路

幾何題添加輔助線規律

1、直角三角形常用輔助線方法:

(1)作斜邊上的高

(2)作斜邊中線，

當有下列情況時常作斜邊中線:

①有斜邊中點時

②有和斜邊倍分關係的線段時

2、正方形一條對角線上一點到另一條對角線上的兩端距離相等。

3、有正方形一邊中點時常取另一邊中點。

4、利用正方形進行旋轉變換。旋轉變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特徵時，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點旋轉到另一位置的引輔助線方法。旋轉變換主要用途是把分散元素通過旋轉集中起來，從而為證題創造必要的條件。旋轉變換經常用於等腰三角形、等邊三角形及正方形中。

5、有以正方形一邊中點為端點的線段時，常把這條線段延長構造全等三角形。

6、從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形。

7、從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉化成一個矩形和兩個三角形。

8、從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉化成平行四邊形和三角形。

9、延長梯形兩腰使它們交於一點，把梯形轉化成三角形。

10、有梯形一腰中點時，常過此中點作另一腰的平行線，把梯形轉化成平行四邊形。

11、有梯形一腰中點時，也常把一底的端點與中點連結並延長與另一底的延長線相交，把梯形轉換成三角形。

12、梯形有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線。

13、任意四邊形的對角線互相垂直時，它們的面積都等於對角線乘積的一半。

14、有線段中點時，常過中點作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題。

15、有下列情況時常作三角形中位線

(1)有一邊中點;

(2)有線段倍分關係;

(3)有兩邊(或兩邊以上)中點。

16、有下列情況時常構造梯形中位線

(1)有一腰中點

(2)有兩腰中點

(3)涉及梯形上下底和

17、連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形為平行四邊形。

18、連接對角線相等的四邊形中點所得的四邊形為菱形。

19、連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為矩形。

20、連結對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為正方形。

21、連結平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形。

22、等腰梯形的對角線互相垂直時，梯形的高等於兩底和的一半(或中位線的長)。

23、等腰梯形的對角線與底構成的兩個三角形為等腰三角形。

24、如果矩形對角線相交所成的鈍角為1200，則矩形較短邊是對角線長的一半。

25、梯形的面積等於一腰的中點到另一腰的距離與另一腰的乘積。

26、若菱形有一內角為120°，則菱形的周長是較短對角線長的4倍。

27、當圖形中有叉線時，常作平行線

28、有中線時延長中線（有時也可在中線上截取線段)構造平行四邊形。

29、當已知或求證中，涉及到以下情況時，常構造直角三角形

(1)有特殊角時，

如有30」、45°、60%、120」、135角時。

(2)涉及有關銳角三角函數值時

構造直角三角形經常通過作垂線來實現

30、當已知條件中有切線時，常作過切點的半徑，利用切線的性質定理證題。

31、兩圓相交時，常連結兩圓的公共弦。

32、任意銳角的正弦值等於它的餘角的餘弦值;任意銳角的餘弦值等於它的餘角的正弦值。

33、任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值:任意銳角的餘切值等於它的餘角的正切值。

34、三角形的面積等於任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。

35、等腰直角三角形斜邊的長等於直角邊的√2倍。

36、在含有30°角的直角三角形中，60°角所對的直角邊是30°角所對的直角邊的√3倍。

37、直角三角形中，如果較長直角邊是較短直角邊的2倍，則斜邊是較短直角邊的√5倍

38、圓中解決有關弦的問題時，常常需要作出圓心到弦的垂線段(即弦心距)這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構造直角三角形，利用勾股定理解題。

39、有等弧或證弧等時常連等弧所對的弦或作等弧所對的圓心角。

40、有弦中點時常連弦心距。

41、證明弦相等或已知弦相等時常作弦心距。

42、有弧中點(或證明是弧中點)時，常有以下幾種引輔助線的方法:

(1)連結過弧中點的半徑

(2)連結等弧所對的弦

(3)連結等弧所對的圓心角

43、圓內角的度數等於它所對的弧與它對頂角所對的弧的度數之和的一半。

44、圓外角的度數等於它所截兩條弧的度數之差的一半。

45、有直徑時常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓周角為直角證題。

46、有垂直弦時也常作直徑所對的圓周角。

47、有等弧時常作輔助線有以下幾種:

(1)作等弧所對的弦

(2)作等弧所對的圓心角

(3)作等弧所對的圓周角

48、有弦中點時，常構造三角形中位線。

49、圓上有四點時，常構造園內接四邊形。