貓耳朵定理（貓爪定理之七）
2023-05-24 17:10:37 1
題目為：
已知：如圖，△ABC中,AB=AC,D,E,F在三邊BC,CA,AB上且DFAE為平行四邊形。圓ABC,圓AEF交於A,G,DE交圓AEF於K。M,L在圓AEF,ABC上且LG⊥GK,MG⊥CG.P,Q為△DGL,△DGM外心。
求證：A,G,P,Q共圓。（2018年中國國家隊選拔考試4-3）
思路分析：
此題顯然是前面的問題的進一步深化，
此圖形結構我還是比較熟悉的。所以
基本思路是
首先按順序作出準確圖形，
並了解各個元素的生成過程。
然後分析圖形的基本性質，
設△ABC,△EF外心為O,O',
AD中點為H,
在前面結論的基礎上，可以得到：
1、O在圓O'上且為EF弧的中點，故
O'HO共線且為EF中垂線；
2、EF為DG中垂線，從而P,Q,H均在EF上；
3、GAEF為等腰梯形；
4、OP為GL中垂線，O'Q為GM中垂線；
其次我們從結果入手開始分析，
由前面結論得到GAQP為梯形，
故欲證GAQP四點共圓，
即證GAQP為等腰梯形，
即證HP=HQ即可。
圖形還是比較複雜的，看起來沒有頭緒。
下面我們希望能充分利用已知條件，
通過消點簡化圖形。
此題中最關鍵的顯然是描述清楚Q、P。
已得Q、P在EF上，還需要一個條件。
圖形中最「討厭」的顯然是點M、L，
由他們才能確定圓心Q、P，
由LG⊥GK及OP⊥GL知OP//KG,
這樣我們就能通過OP//KG確定P，就能消去點L了，
同理O'Q//CG,這樣就能消去心腹大患——點M、L了，
這個思路應該是有希望的，從而我們
消去M、L得到下圖。
這樣一來本題轉化為：
已知：如圖，AB=AC,D,E,F在三邊上且DFAE為平行四邊形。
H為AD中點，O,O'為△ABC,△AEF外心，
P,Q在EF上，且O'Q//CG,OP//GK,
求證HP=HQ。
下面的思路當然是「得寸進尺」，
希望能利用條件中的O'Q//CG及OP//GK,
進一步消去點P、Q。從而繼續簡化圖形。
自然的思路是將HP=HQ轉化為∠OPH和∠O'QH之間的關係。
設EF交GC,GK於T、S，顯然
HP=HQ
tan∠OPH/tan∠O'QH=HO/HO'
tan∠GSN/tan∠GTN=HO/HO'
這樣就能如願的消去P、Q得到下圖，
在此圖中，
我們只需證明tan∠GSN/tan∠GTN=HO/HO'，
連接O』E,OE,
顯然HO/HO'=tan∠EO'H/tan∠HOE，
從而需證
tan∠GSN/tan∠GTN=tan∠EO'H/tan∠HOE,
最好得結果是比例中的兩對角能對應相等。
這確實是可以通過倒角證明的。
這是因為
∠GSN=∠AGK=∠KEC=∠A=∠EO'H,
而∠GTN=∠AGC=∠ABC=90°-0.5∠A=∠EOH,
從而成立。
這樣我們就通過消點法，先消去M、L，再消去P、Q，
最後通過倒角及簡答的計算完成了最終證明。
下面我們將上述證明整理出來，將其中的跳步補上，
並只用倒角、全等、相似等基本知識證明清楚其中的關係。
敘述如下：
證明：
設△ABC,△EF外心為O,O',AD中點為H,
依題意顯然△OAB≅△OCA,
又BF/FA=BD/DC=AE/EC,
則F、E為全等對應點，
故∠BFO=∠AEO,
則AFOE共圓，
故O在圓O'上且為EF弧的中點。
則O'HO共線且為EF中垂線；
又OO'⊥AG,
則GAEF為等腰梯形。
則GF=AE=DF且GE=AF=ED,
故EF為DG中垂線，
從而P,Q,H均在EF上；
又由LG⊥GK及OP為GL中垂線，
知OP//GK，
同理O'Q//CG。
則∠HPO=∠GSN=∠AGK=∠KEC=∠BAC=∠EO'H,
∠O'QH=∠GTN=∠AGC=∠ABC
=90°-∠BAO=90°-∠HEO=∠EOH,
故tan∠HPO/tan∠O'QH=tan∠EO'H/tan∠EOH
即HO/HP*HO'/HQ=HO/HO',
故HP=HQ，
故GAQP為等腰梯形，
則GAQP共圓。
,
