羅爾定理拉格朗日定理證明題（利用三角形面積行列式）

2023-09-13 12:58:24 2

羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特例。但是你知道嗎？我們也可以運用羅爾中值定理，證明拉格朗日中值定理，這裡要應用到三角形面積的行列式公式。問題是這樣的：

以S(x)記由(a,f(a)),(b,f(b)),(x,f(x))三點組成的三角形面積，試對S(x)應用羅爾中值定理證明拉格朗日中值定理.

分析：求由已知三點為頂點，組成的三角形面積，有一個行列式公式：

S(x)=|a, f(a), 1；b, f(b), 1；x, f(x), 1|，（其中元素間用逗號分隔，行與行間用分號分隔,下同）。

順便介紹一下這個公式是怎麼來的。如下圖：

S(x)=(f(x)-f(a))(b-a)-(f(x)-f(a))(x-a)/2-(f(b)-f(a))(b-a)/2-(f(x)-f(b))(b-x)/2(正方形的面積減去三個三角形的面積)，

化簡得：S(x)=(xf(a)-af(x)-bf(a) af(b) bf(x)-xf(b))/2

而行列式S(x)=(af(b) xf(a) bf(x)-xf(b)-af(x)-bf(a))/2，因此有上述的行列式公式。需要特別指出的是，上圖中三點的順序不可更改，即x屬於[a,b]. 否則行列式的行就要交換位置，同時也會影響到後面的證明。

想要利用羅爾中值定理證明拉格朗日中值定理，就要假設S(x)符合羅爾中值定理。只要f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，那麼S(x)也就在[a,b]上連續，在(a,b)上可導。因為S(x)是由x和f(x)以及常數加減乘除四則運算得到的。即S(x)是一個初等函數。

又S(a)=S(b)=0。從而S(x)就符合羅爾中值定理的條件，即在(a,b)上存在一點ξ，使得S』(ξ)=0.

又S『(a)=|a, f(a), 1；b, f(b), 1；1, f'(x), 0|=|a, f(a), 1；b-a, f(b)-f(a), 0；1, f'(x), 0|

=(f'(x)(b-a)-(f(b)-f(a)))/2.

所以S』(ξ)=(f'(ξ)(b-a)-(f(b)-f(a)))/2=0. 即有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，這就是拉格朗日中值定理的一個變形公式，從而拉格朗日中值定理得證。

你體會到整個過程的精粹了嗎？請自行組織證明過程，你肯定會更加理解這個證明過程的。