中考數學最值問題技巧（聚焦中考最值問題之構造與轉化）

2023-09-17 18:35:29

數學思想方法是數學教學的靈魂，是數學知識的精髓，是把數學知識轉化為能力的橋梁，而轉化思想是數學思想的核心。它是從未知領域發展，通過數學元素之間的因果聯繫向已知領域轉化，從中找出它們之間的本質聯繫，以達到解決問題的一種思想方法。在初中數學中，主要表現為數學知識的某一形式向另一形式轉變，即化新為舊、化繁為簡、化曲為直、化數為形等。

轉化一般可分為兩類，一類是具體的轉化，即通過定理或者性質將條件轉化和結論轉化；另一類是思維轉化，這類一般對學生思維要求較高！為了實施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結論，既可以變換問題的內部結構，又可以變換問題的外部形式，既可以從代數的角度去認識問題，又可以從幾何的角度去解決問題。

構造的方法就是數學中的概念和方法按固定的方式經有限個步驟能夠定義的概念和能夠實現的方法。常見的有構造函數，構造圖形，構造恆等式。平面幾何裡面的添輔助線法就是常見的構造法。構造體現轉化思想的最終體現方式，構造法解題有：直接構造、變更條件構造和變更結論構造等途徑。

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB經過點A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半徑為1（O為坐標原點），點P在直線AB上，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為（　　）

【解析】連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；

根據勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，

∵當PO⊥AB時，線段PQ最短；

又∵A（﹣4，0）、B（0，4），∴OA＝OB＝4，

2．如圖，⊙O的直徑為4，C為⊙O上一個定點，∠ABC＝30°，動點P從A點出發沿半圓弧AB向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側），當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線於D點．

（1）在點P的運動過程中，線段CD長度的取值範圍為　 　．

（2）在點P的運動過程中，線段AD長度的最大值為　 　．

【解析】（1）如圖1中，∵AB是直徑，∠ABC＝30°，AB＝4

∴∠ACB＝90°，∠A＝∠P＝60°，AC＝2，

∵CD⊥PC，∴∠PCD＝90°，CD＝PC•tan60°，

∵PC的最小值＝AC＝2，PC的最大值為直徑＝4，

∴CD的最小值為2√3，最大值為4√3，∴2√3≤CD≤4√3．

故答案為2√3≤CD≤4√3．

（2）如圖2中，∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，∴∠PDC＝30°，

∴點D在以BC為弦的⊙O′（紅弧線）上運動，

∴當A、O′、D共線時，AD的值最大．連接CO′、BO′．

∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，

∴△O′BC是等邊三角形，∴BO′＝BC＝2√3，∠CBO′＝60°，

∵∠ABC＝30°，∴∠ABO′＝90°，

3.如圖，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，點P為AB邊上一動點，連接CP，過點P作PM

CP，交BC於點M，則BM的最大值為____________.

【解析】要求BM的最大值，發現點M隨著點P的運動而運動，反過來思考，一個點P對應一個點M，那麼也可以由點M來確定點P，所以本題的問題就轉化為"在BC邊上找一點P，使得∠MPC=90°，接下去利用圓的知識解決，只需考慮臨界情況，即以MC為直徑的圓恰好與AB相切時，CM最小，即BM最大。

如圖，設PO=OC=r，BO=5-r。

4．（2019秋•雁塔區校級月考）仔細閱讀，解答下列問題

（1）有一長方體的食物包裝紙盒如圖（1），已知長方體的底面長為12，寬為9，高為5，一隻螞蟻想從底面A處爬到B處去吃食物，請問：螞蟻爬行的最短距離是多少？

（2）如圖（2），圓柱形容器的高為1.2米，底面周長為1米，在容器內壁離容器底部0.3米的點B處有一隻蚊子，此處一隻壁虎正好在容器外壁離容器上沿0.3米與蚊子相對的點A處，求壁虎捕捉到蚊子的最短路程是多少？（容器厚度忽略不計）．

【解析】（1）第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，．

則這個長方形的長和寬分別是12cm和14cm，

第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，

則這個長方形的長和寬分別是9cm和17cm，

第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，

則這個長方形的長和寬分別是10cm和4cm，

三種情況比較而言，第一種情況最短，

∴螞蟻爬行的最短距離是2√85cm；

（2）如圖：∵高為1.2m，底面周長為1m，在容器內壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一隻壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，

∴將容器側面展開，作A關於EF的對稱點A′，

連接A′B，則A′B即為最短距離，

答：壁虎捕捉到蚊子的最短路程是1.3m．

5．（2019秋•金水區校級月考）數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化，數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過"以形助數"或"以數解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的．

（1）【思想應用】已知m，n均為正實數，且m n＝2，

通過分析，愛思考的小明想到了利用下面的構造解決此問題：如圖，AB＝2，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，點E是線段AB上的動點，且不與端點重合，連接CE，DE，設AE＝m，BE＝n，

①用含m的代數式表示CE＝　　，用含n的代數式表示DE＝　　；

而CE DE≥CD（若且唯若C、E、D共線時取等號），

作DH⊥CA交CA的延長線於H，如圖，易得四邊形ABDH為矩形，

∴AH＝BD＝2，DH＝AB＝2，

6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是AB邊上的一個動點，連接CP，過點P作PC的垂線交AD於點E，以PE為邊作正方形PEFG，頂點G在線段PC上．對角線EG、FP相交於點O．

（1）若AP＝3，求AE的長；

（2）連接AC，判斷點O是否在AC上，並說明理由；

（3）在點P從點A到點B的運動過程中，正方形PEFG也隨之運動，求DE的最小值．

【解析】（1）只要證明△APE∽△BCP，可得AE/BP=AP/BC由此即可解決問題；

（2）點O在AC上．過點O分別作AD、AB的垂線，垂足分別為M、N，只要證明△OME≌△ONP，可得OM＝ON；

（3）利用相似三角形的性質構建二次函數即可解決問題；

7．如圖1，拋物線y＝﹣1/2x2 3/2x 2與x軸交於A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交於點C，連結BC．

（1）求直線BC的解析式；

（2）如圖2，點D是CB上方拋物線上一動點，連結DC，DB，過點A作CB的平行線，交對稱軸於點E，交DB的延長線於點F，連接CF，當△CDF的面積最大時，在對稱軸上找一點R，使得DR 2√5/5RE的值最小，求出此時點R的坐標；

【解析】（1）利用待定係數法求出B、C兩點坐標即可解決問題；

（2）如圖2中，連接OD，作DH⊥AF於H，RQ⊥AF於Q，DH交對稱軸於R′．由AF∥BC，推出S△BCF＝S△ABC＝定值，由S△CDF＝S△BCD S△BCF，

直線DH的解析式為y＝2x﹣1，R′（3/2，2）．

8．（2019•清江浦區一模）問題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP、BP，求AP 1/2BP的最小值．

（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有CD/CP=CP/CB=1/2，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PD/BP=1/2，∴PD＝1/2BP，∴AP 1/2BP＝AP PD．

請你完成餘下的思考，並直接寫出答案：AP 1/2BP的最小值為　　．

（2）自主探索：在"問題提出"的條件不變的情況下，1/2AP BP的最小值為　　．

（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點P是弧CD上一點，求2PA PB的最小值．

【解析】（1）如圖1，連結AD，

∵AP 1/2BP＝AP PD，要使AP 1/2BP最小，

∴AP AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP AD最小，

即：AP 1/2BP最小值為AD，

在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，

∴由勾股定理可求得AD＝√37，

AP 1/2BP的最小值為√37，故答案為：√37；

（2）如圖2，連接CP，在CA上取點D，使CD＝2/3，

∴CD/CP=CP/CA=1/3，

∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD/AP=1/3，

∴PD＝1/3AP，∴1/3AP BP＝BP PD，

（3）如圖3，延長OA到點E，使CE＝6，

∴OE＝OC CE＝12，連接PE、OP，

萬法歸宗：構造完成的目標圖形：

路徑成最短，折線到直線。所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時即為最短路徑）

基本圖形：動點有軌跡，動線居兩邊。動點軌跡可以是線或圓，動線指動點與定點或定線、定圓的連線，動線與折線同指）

核心方法：同側變異側，分散化連續。

動線在同側進，要變為異側，一般用翻折、三角、相似的方法構造；動折線被定長線段分散時需化為連續折線，一般用平移的方法構造。