小升初數學和差問題應用題（小升初銜接小升初數學）

2023-09-19 17:51:47 5

複雜的雞兔同籠問題專題訓練

一、知識要點和基本方法

1．雞兔同籠的基本問題是：已知雞、兔總頭數和總腳數，求雞、兔各有多少只．

(1)解決雞兔同籠問題的方法通常是用假設法，解題思路是：

先假設籠子裡裝的全是雞，根據雞兔的總數就可以算出在假設下共有幾隻腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看看差多少，每差2隻腳就說明有1隻兔，將所差的腳數除以2，就可以算出共有多少只兔．

(2)解決雞兔同籠問題的基本關係式是：

雞數=(兔腳數×總頭數-總腳數)÷(兔腳數-雞腳數)．

兔數=(總腳數-雞腳數×總頭數)÷(兔腳數-雞腳數)．

注意，這兩個基本關係式不必都用，用其中一個算出兔數或雞數，又知總數，所以另一個也就知道了．

2．雞兔同籠問題的變型有兩類：

(1)將雞、兔的總頭數和總腳數中的「兩數之和」變成「兩數之差」，這樣得到三種情況：

已知雞、兔頭數之差和總腳數，求雞兔各有多少只；

已知雞、兔腳數之差和總頭數，求雞兔各有多少只；

同餘問題專題訓練

一、知識梳理

1、同餘的定義：若兩個整數a,b被自然數m除有相同的餘數,那麼稱a,b對於模m同餘,記作a≡b(mod m),讀作「a同餘b模m」。

例如：17÷3=5……2

23÷3=7……2

17≡23(mod 3) 讀作：17同餘23模3或17，23對於模3同餘。

2、同餘的性質：

（1）一個數一定同餘被模除後的餘數。

（2）如果a≡b(mod m),且a≥b,那麼m|(a-b)。

（3）a≡a(modm)(反身性）。

（4）若a≡b(mod m)，那麼b≡a(modm)(對稱性）。

（5）a≡b(modm), b≡c(mod m)，那麼a≡c(mod m)(傳遞性）。

例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，所以 2≡17(mod 5)。

（6）a≡b(modm), c≡d(mod m)，那麼a±c≡b±d(mod m)(加減性）。

例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，

所以 2 12≡12 17(mod 5) 14≡29(mod 5)。

（7）若 a≡b(mod m), c≡d(mod m)，那麼ac≡bd(mod m)(可乘性）。

例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，

所以 2×12≡12×17(mod 5) 24≡204(mod5)

（8）若 a≡b(mod m),那麼an≡bn(mod m)(可乘方性) 。

例如：2≡12(mod 5)，所以 23≡123(mod 5) 即8≡1728(mod 5)

（9）若ac≡bc(mod m),(c，m)=1互質,那麼 a≡b(mod m)。

如：3×2≡5×2(mod 4)，但 3≡5(mod 4) 不成立。因為（2，4）≠1。

二、例題精講。

例1、求263×13136×914的積除以13的餘數.

分析：如果直接把這個三個數相乘，再用結果去除以13，顯然計算量會很大，不可取。根據同餘的可乘性，我們可先分別求出三個因數除以模13的餘數（一個數一定同餘被模除後的餘數），再用餘數相乘的積去除以模13得到餘數。

解：263≡3(mod 13)，13136≡6(mod 13)，914≡4(mod 13)

根據同餘的可乘性得:263×13136×914≡3×6×4 (mod 13)

3×6×4≡7(mod 13)

263×13136×914的積除以13的餘數為7.

例2、用412、133和257除以一個相同的自然數，所得的餘數相同，這個自然數最大是幾？

分析：假設這個自然數是a，因為412、133和257除以a所得的餘數相同，所以，，說明a是以上三個數中任意兩數差的約數，要求最大是幾，就是求這三個差的最大公約數。

解：412－133＝279，412-257＝155，257－133＝124。

（279，155，124）＝31.三個數的最大公約數是31，所以a最大是31。

例3、求14349除以7的餘數.

分析：根據同餘的可乘方性可解此題，因為49＝32 16 1，所以只要求出143的32次方、16次方和143除以7餘數是幾，然後根據同餘的可乘性來求出最終14349除以7的餘數是幾。

解：143≡3(mod 7),1432≡32≡2 (mod 7)

1434≡22≡4 (mod 7),1438≡42≡2 (mod 7)

14316≡22≡4 (mod 7),14332≡42≡2 (mod 7)

49=32 16 1

14349=14332×14316×1431

14349≡14332×14316×1431≡2×4×3≡3 (mod 7)即餘數為3.

三、專題特訓:1．一個數除以23餘數是2，把被除數擴大到4倍，餘數是多少?

2．310被一個兩位數除，餘數是37，這個兩位數是多少?

3．71427和19的積被7除，餘數是幾?

4．有一個整數，除300、262、205，得到相同的餘數（且餘數都不為0）．問這個整數是幾?

5．某數用3除餘1，用5除餘3，用7除餘5，此數最小為多少?

6．31453×68765×987657的積，除以4的餘數是多少?

7、1991和1769除以某一個自然數n，餘數分別為2和1，那麼n最小是多少?

8、除以3餘1，除以5餘2，除以7餘4的最小三位數是幾?

9、把由1開始的自然數依次寫下來，直寫到第201位為止，這個數除以3的餘數是幾?

10、求1919除以7的餘數.

參考答案

1．解設被除數為a，商為 b，依題意得：a = 23b 2，被除數擴大4倍得：4a=92b 8，8＜23，所以餘數是8．

2．解 310-37=273=3×7×13．大於37的兩位數有3×13=39，7×13=91，這樣的兩位數有兩個：39、91．

3．解 71427÷7餘6，19÷7餘5，那麼兩數的積被7除的餘數是兩數餘數積被7除的餘數，即

71427×19≡6×5 (mod 7)

6×5≡2(mod 7)

71427×19的積除以7的餘數為2.

4．解根據同餘，300-262=38和262-205=57都被這個數整除．這個數是(38，57)=19．

5．解設某數為x，則x 2同時被3、5、7整除，所以x的最小值為3×5×7-2=103．

6．解因為31453÷4=7863……1，68765÷4=17191……1，987657÷4=246914……1，1×1×1=1，所以31453×68765×987657的積除以4餘數是1．

7、解 1991-2=1989能被n整除，同理1769-1=1768也能被這個數n整除．所以n是1989與1768的最大公約數的約數，且應大於2．因為(1989，1768)-13×17，所以n最小是13．

8、解因為除以3餘1，除以5餘2的最小數是22，而3和5的最小公倍數是15，所以符合條件的數可以是22，37，52，67，…．又因為67÷7=9……4，所以67是符合題中三個條件的最小數，而3，5和7的最小公倍數是105，這樣符合條件的數有67，172，277，…．所以，符合條件的最小三位數是172．

9、

解把由1開始的自然數依次寫下來，直寫到第201位為止，一位數寫了1×9=9(個)數碼，兩位數寫了2×90=180(個)數碼，三位數寫了(201-9-180)÷3=4(個)，即寫到了99 4=103，因此由1開始的自然數依次寫下來的201位數是由1開始的103個連續自然數組成的．經過觀察發現，不論從哪開始，每連續3個自然數的各位上數字的和能被3整除．因為一共是103個自然數，所以103÷3=34……1，前102個自然數(3×34=102)的各位上數字之和都能被3整除，而201位數的最後三位數是103，所以：103÷3=34……1，即這個201位數除以3餘數是1．

10、解